মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা এবং বর্গমূল
গণিত ৭ম শ্রেণির অনুশীলনী ১.২ এর প্রশ্ন ১ – ১৫ পর্যন্ত সমাধান
১. ২৮৯∕৩৬১ এর বর্গমূল কত (Which one of the following is the square root of 289/361)?
(ক) ১৩∕১৯
(খ) ১৭∕১৯
(গ) ১৯∕১৩
(ঘ) ১৯∕১৭
উত্তরঃ খ
২. ১.১০২৫ এর বর্গমূল কত (Which one of the following is the square root of 1.1025)?
(ক) ১.৫
(খ) ১.০০৫
(গ) ১.০৫
(ঘ) ০.০৫
উত্তরঃ গ
৩. একটি মূলদ সংখ্যা হলো (A rational number is)-
(i) ০
(ii) ৫
(iii) ৫∕২
নিচের কোণটি সঠিক (Which of the following is correct)?
(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯ (The difference of squares of two consequtive numbers is 19)।
এই তথ্য থেকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও (Answer to question no. 4 and 5 following the information)।
৪. একটি সংখ্যা ১০ হলে অপর সংখ্যা কত (If one number is 10, what is the other number)?
(ক) ১২
(খ) ১১
(গ) ৯
(ঘ) ৮
উত্তরঃ গ
৫. সংখ্যা দুইটির বর্গের যোগফল কত (What is the sum total of squares of the two numbers)?
(ক) ২৮১
(খ) ২২১
(গ) ১৮১
(ঘ) ১৬৪
উত্তরঃ গ
৬. ০.০১ এর বর্গমূল কত (Which of the following is the square root of 0.01)?
(ক) ০.০১
(খ) ০.১
(গ) ০.২
(ঘ) ১
উত্তরঃ খ
৭. কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ২ বা ৮ হলে তার বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে (If the digit in unit place of a number is either 2 or 8, the digit in unit-place-of-its square will be)-
(ক) ২
(খ) ৪
(গ) ৬
(ঘ) ৮
উত্তরঃ খ
৮. ৩⤬৭⤬৫⤬৭⤬৩ কে কত দ্বারা গূণ বা ভাগ করলে পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে (By which number the multiplication or division of 3x7x5x7x3 will be perfect square number)?
(ক) ৩
(খ) ৫
(গ) ৭
(ঘ) ১১
উত্তরঃ খ
৯. নিচের কোণটি অমূলদ সংখ্যা (Which one of the irrational number)
(ক) √২
(খ) √৯
(গ) √১৬
(ঘ) √২৫
উত্তরঃ ক
১০. একজন কৃষক বাগান করার জন্য ৫৯৫টি চারাগাছ কিনে আনল (A farmer buys 595 plants for making a garden)। প্রত্যেকটি চারাগাছের মূল্য ১২ টাকা (The price of each plant is 12 taka)।
(ক) চারাগাছগুলো কিনতে তার কত খরচ হয়েছে (How much money did he spend to buy the plants)?
সমাধানঃ
১টি চারাগাছের দাম ১২ টাকা
৫৯৫টি চারাগাছের দাম = ৫৯৫⤬১২ টাকা
=৭১৪০ টাকা।
(খ) বাগানে প্রত্যেক সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর কয়টি চারাগাছ অবশিষ্ট থাকবে (How many of the plants will be left if number of plants in each row of the garden is equal to number of rows)?
সমাধানঃ
---------
৪৪|১৯৫
১৭৬
---------
১৯
অর্থাৎ ৫৯৫ এর বর্গমূল নির্ণয়ের বেলায় দেখা যাচ্ছে ১৯ ভাগশেষ থাকে।
অতএব, বাগানের প্রতিটি সারিতে সমান সংখ্যক গাছ লাগানোর পর ১৯টা চারাগাছ অবশিষ্ট থেকে যাবে।
(গ) খরচের টাকার সংখ্যা ও চারাগাছের সংখ্যার বিয়োগফলের সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণসংখ্যা হবে (What is the least number which is to be added to the difference of the number of spending of total taka (TK.) and the number of plants, so that the sum will be square number)?
সমাধানঃ
খরচের টাকার সংখ্যা ৭১৪০ - চারাগাছের সংখ্যা ৫৯৫
=(৭১৪০-৫৯৫)
=৬৫৪৫
এখন,
---------
১৬০|১৪৫
০
---------
১৪৫
যেহেতু ভাগশেষ ১৪৫ রয়েছে সেহেতু ৬৫৪৬ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গসংখ্যা নয়।
৫৬৪৫ এর সাথে নির্দিষ্ট একটা ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে এবং সেক্ষেত্রে সংখ্যাটির বর্গমূল হবে ৮০+১=৮১।
৮১ এর বর্গ=৮১⤬৮১=৬৫৬১
∴নির্নেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৬৫৬১-৬৫৪৫=১৬।
১১. বর্গমূল নির্ণয় কর (Determine the square root):
(ক) ০.৩৬
সমাধানঃ
-----
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.৬
(খ) ২.২৫
সমাধানঃ
১
------
২৫|১২৫
১২৫
-------
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ১.৫
(গ) ০.০০৪৯
সমাধানঃ
-------
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.০৭
(ঘ) ৬৪১.১০২৪
সমাধানঃ
------------
৪৫|২৪১
২২৫
-------------
৫০৩|১৬১০
১৫০৯
--------------
৫০৬২|১০১২৪
১০১২৪
-----------
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ২৫.৩২
(ঙ) ০.০০০৫৭৬
সমাধানঃ
------
৪৪|১৭৬
১৭৬
------
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.০২৪
(চ) ১৪৪.৮৪১২২৫
সমাধানঃ
----------------
২২|৪৪
৪৪
--------------
২৪০৩|৮৪১২
৭২০৯
----------------
২৪০৬৫|১২০৩২৫
১২০৩২৫
----------------
০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ১২.০৩৫
১২. দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর (Determine the square root up to two decimal places)।
(ক) ৭
সমাধানঃ
-------------
৪৬|৩০০
২৭৬
--------------
৫২৪|২৪০০
২০৯৬
------------------
৫২৮৫|৩০৪০০
১২৬৪২৫
-------------------
৩৯৭৫
∴নির্ণেয় বর্গমূল ২.৬৫ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
(খ) ২৩.২৪
সমাধানঃ
-----------
৮৮|৭২৪
৭০৪
-----------
৯৬২|২০০০
১৯২৪
-------------
৯৬৪০|৭৬০০
০
------------
৭৬০০
∴নির্ণেয় বর্গমূল ৪.৮২ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
(গ) ০.০৩৬
সমাধানঃ
--------------
২৮|২৬০
২২৪
------------
৩৬৯|৩৬০০
৩৩২১
-------------
২৭৯
∴নির্ণেয় বর্গমূল ০.১৯ (দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত)
১৩. নিচের ভগ্নাংশগুলোর বর্গমূল নির্ণয় কর (Determine the square root of the following fractions):
(ক) ১∕৬৪
সমাধানঃ
১=(১)২
৬৪=(৮)২
∴১∕৬৪ এর বর্গমূল=১∕৮
(খ) ৪৯∕১২১
সমাধানঃ
৪৯=(৭)২
১২১=(১১)২
∴৪৯∕১২১ এর বর্গমূল=৭∕১১
(গ) ১১৯৭∕১৪৪
সমাধানঃ
১১৯৭∕১৪৪ = ১৬৮১∕১৪৪
১৬৮১ = (৪১)২
১৪৪=(১২)২
∴নির্ণেয় বর্গমূল=৪১∕১২ = ৩ ৫∕১২
(ঘ) ৩২১২৪১∕৩২৪
সমাধানঃ
৩২১২৪১∕৩২৪ = ১০৬০৯∕৩২৪
১০৬০৯ =(১০৩)২
৩২৪ = (১৮)২
∴নির্ণেয় বর্গমূল=১০৩∕১৮ = ৫ ১৩∕১৮
১৪. তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল নির্ণয় কর (Determine the square root up to three decimal places):
(ক) ৬∕৭
সমাধানঃ
৬∕৭ এর বর্গমূল
=০.৯২৫৮
= ০.৯২৬
(খ) ২৫∕৬ = ১৭∕৬
সমাধানঃ
১৭∕৬ এর বর্গমূল
= ১.৬৮৩২
= ১.৬৮৩
(গ) ৭৯∕১৩ = ১০০∕১৩
সমাধানঃ
১০০∕১৩ এর বর্গমূল
= ২.৭৭৩৫
= ২.৭৭৪
১৫. ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত সংখ্যক সৈন্য সরিয়ে রাখলে বা তাদের সাথে কমপক্ষে কতজন সৈন্য যোগ করলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে (At least how many soldiers is to be removed or added with 56728 soldiers, so that the soldiers can be arranged in a square form)?
সমাধানঃ
--------
৪৩|১৬৭
১২৯
----------
৪৩৬|৩৮২৮
৩৭৪৪
----------
৮৪
এখানে দেখা যাচ্ছে, ৫৬৭২৮ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়।
তাহলে সংখ্যাটা থেকে ৮৪ বিয়োগ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।
অর্থাৎ ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গ আকারে সাজানো যাবে।
আবার, ৫৬৭২৮ এর সাথে একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা যোগ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে। সেক্ষেত্রে বর্গমূল হবে (২৩৮+১)=২৩৯।
∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি=২৩৯⤬২৩৯-৫৬৭২৮
=৫৭১২১-৫৬৭২৮
=৩৯৩।
অর্থাৎ, ৩৯৩ জন সৈন্যকে যোগ করলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
১৬. কোনো বিদ্যালয়ে ২৭০৪ জন শিক্ষার্থীকে প্রত্যাহিক সমাবেশ করার জন্য বর্গাকারে সাজানো হলো (2704 students of a school are arranged in a square for display)। প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা নির্ণয় কর (Find the number of students in each row)।
সমাধানঃ
শিক্ষার্থীরা বর্গাকারে অবস্থান করায় ২৭০৪ এর বর্গমূলই হবে প্রত্যেক সারিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা।
-----
১০২|২০৪
২০৪
-----
০
∴নির্ণেয় শিক্ষার্থীর সংখ্যা=৫২ জন।
১৭. একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল প্রত্যেকের ততো ২০ টাকা করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ২০৪৮০ টাকা হলো (Each member of a cooperative society subscribes 20 times the number of the members in Takas)। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা নির্ণয় কর (The total amount raised being 20480 taka, find the number of members of the society)।
সমাধানঃ
মনে করি, সদস্য সংখ্যা ক জন
প্রশ্নমতে,
১ জন চাঁদা দেয় =ক⤬২০ টাকা বা ২০ক টাকা।
তাহলে, ক জন চাঁদা দেয় =২০ক⤬ক টাকা =২০ক২ টাকা।
আবার,
প্রশ্নমতে,
২০ক২=২০৪৮০
বা, ক২=২০৪৮০∕২০
বা, ক২=১০২৪
বা, ক=√১০২৪
বা, ক=৩২
∴সমিতির সদস্য সংখ্যা=৩২ জন।
১৮. কোনো বাগানে ১৮০০টি চারাগাছ বর্গাকারে লাগাতে গিয়ে ৩৬টি গাছ বেশি হলো (In a garden 36 trees were left excess while planting I 800 trees in square)। প্রত্যকে সারিতে চারাগাছের সংখ্যা কত (Find out the number of trees in each row)?
সমাধানঃ
যেহেতু ১৮০০টা চারাগাছ বর্গাকারে লাগাতে গিয়ে ৩৬টি গাছ বেশী হলো সেহেতু (১৮০০-৩৬) = ১৭৬৪ এর বর্গমূলই হবে প্রত্যেক সারিতে চারাগাছের সংখ্যা।
এখন, √১৭৬৪=৪২
∴নির্ণেয় চারাগাছের সংখ্যা=৪২টি।
১৯. কোন ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গসংখ্যা ৯,১৫ এবং ২৫ দ্বরা বিভাজ্য (What is the least perfect square number which is divisible by 9, 15 and 25)।
সমাধানঃ
ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গসংখ্যাটি নির্ণয় করতে হলে ৯,১৫,২৫ এর লসাগু নির্ণয় করতে হবে।
এখন,
৩,১,৫
লসাগু=৩⤬৫⤬৩⤬৫=৩২⤬৫২
এখানে লসাগু পূর্ণবর্গসংখ্যা।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম পূর্ণবর্গসংখ্যাটি=৩২⤬৫২=৯⤬২৫=২২৫
২০. একটি ধানক্ষেতের ধান কাটতে মজুর নেওয়া হলো (Labours were employed to reap paddy from a paddy field)। প্রত্যেক মজুরের দৈনিক মজুরি তাদের সংখ্যার ১০ গুণ (The daily wage of each labour is 10 times of their numbers)। দৈনিক মোট মজুরি ৬২৫০ টাকা হলে মজুরের সংখ্যা বের কর (If the total daily wage is 6250 taka, find the number of the labours)।
সমাধানঃ
মনে করি, মজুরের সংখ্যা= ক জন
∴১ জনের দৈনিক মজুরি=ক⤬১০ টাকা =১০ক টাকা।
প্রশ্নমতে,
ক⤬১০ক=৬২৫০
বা, ১০ক২=৬২৫০
বা, ক২=৬২৫০∕১০
বা, ক২=৬২৫
বা, ক=√৬২৫
বা, ক=২৫
∴মজুরের সংখ্যা=২৫ জন।
২১. দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর (The difference of squares of two consecutive numbers is 37, find the two numbers)।
সমাধানঃ
মনে করে একটি সংখ্যা=ক
তাহলে অপর সংখ্যা= (ক+১)
প্রশ্নমতে,
(ক+১)২-ক২=৩৭
বা, ক২+২ক+১-ক২=৩৭
বা, ২ক+১=৩৭
বা, ২ক=৩৭-১
বা, ২ক=৩৬
বা, ক=৩৬∕২
বা, ক=১৮
অতএব, একটি সংখ্যা=১৮
এবং অপর সংখ্যা=১৮+১=১৯।
২২. এমন দুইটি ক্ষুদ্রতম ক্রমিক সংখ্যা নির্ণয় কর যাদের বর্গের অন্তর একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা (Find two such least consective numbers so that the difference of squares of them is a perfect square number)।
সমাধানঃ
মনে করি, দুইটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ক ও (ক+১)
এদের বর্গের অন্তর
=(ক+১)২-ক২
=ক২+২ক+১-ক২
=২ক+১
এখন সর্বনিন্ম পূর্ণবর্গসংখ্যা যথাক্রমে ৪, ৯, ১৬………..
অতএব,
২ক+১=৪ হলে,
২ক=৪-১
বা, ২ক=৩
বা, ক=৩∕২ যা স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
আবার,
২ক+১=৯ হলে,
২ক=৯-১
বা, ২ক=৮
বা, ক=৮∕২
বা, ক=৪ যা স্বাভাবিক সংখ্যা
অতএব, একটি সংখ্যা=৪
অপর সংখ্যা=৪+১=৫।
২৩. ৩৮৪ এবং ২১৮৭ দুইটি সংখ্যা (384 and 2187 are two numbers)।
ক) প্রথম সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা কিনা উৎপাদকের সাহায্যে যাচাই কর (Verify with factors whether the first number be perfect square number)।
সমাধানঃ
প্রথম সংখ্যাটি ৩৮৪
২)১৯২
২)৯৬
২)৪৮
২)২৪
২)১২
২)৬
৩
অতএব, ৩৮৪ =২⤬২⤬২⤬২⤬২⤬২⤬২⤬৩ =(২⤬২)⤬(২⤬২)⤬(২⤬২)⤬২⤬৩
এখানে, ২⤬৩ বা ৬ জোড়াবিহীন।
অর্থাৎ ৩৮৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
খ) দ্বিতীয় সংখ্যাটি যদি পূর্ণবর্গ না হয় তবে, কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে (If the second number is not perfect square number, what is-the-least-number to-be-multiplied-to get a perfect square number)? পুর্ণবর্গ সংখ্যাটি কত (What is the perfect square nmuber)?
সমাধানঃ
দ্বিতীয় সংখ্যাটি ২১৮৭
৩)৭২৯
৩)২৪৩
৩)৮১
৩)২৭
৩)৯
৩
অতএব, ২১৮৭=৩⤬৩⤬৩⤬৩⤬৩⤬৩⤬৩ =(৩⤬৩)⤬(৩⤬৩)⤬(৩⤬৩)⤬৩
এখানে ৩ জোড়াবিহীন। সুতরাং ২১৮৭ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয়।
তাহলে ৩ দিয়ে গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
তখন পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি হবে (৩⤬৩)⤬(৩⤬৩)⤬(৩⤬৩)⤬(৩⤬৩)=৬৫৬১।
গ) দ্বিতীয় সংখ্যাটির সাথে কত যোগ করলে এটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে (What is the best number to be added to the second number so that the total sum is a perfect square number)?
সমাধানঃ
---------
৮৬|৫৮৭
৫১৬
---------
৭১
যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয়ের সময় ৭১ ভাগশেষ থাকে সেহেতু ২১৮৭ এর সাথে কোন একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে এবং তখন বর্গমূল হবে (৪৬+১)=৪৭
এখন, ৪৭⤬৪৭=২২০৯
অতএব, যোগকৃত ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (২২০৯-২১৮৭) = ২২
২৪. একটি সৈন্যদলকে ৫,৬,৯ সারিতে সাজানো যায়, কিন্তু বর্গাকারে সাজানো যায় না (A troops can be arranged in 6,7 and 8 rows, but not is a square form)।
ক) ৬ এর গুণনীয়কগুলো বের কর (Find out factors of 8)।
সমাধানঃ
৬=১⤬৬=২⤬৩
৬ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১,২,৩,৬
খ) সৈন্যসংখ্যাকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে সৈন্যসংখ্যাকে বর্গাকারে সাজানো যাবে (What is the least number by which the number in troops is to be multiplied so that the troops-can-be-arranged in a square form)।
সমাধানঃ
৫,২,৩
লসাগু = ৩⤬৩⤬৫⤬২ যাকে বর্গাকারে সাজানো যায় না।
বর্গাকারে সাজাতে হলে সৈন্যসংখ্যাকে (৫⤬২)=১০ দ্বারা গুণ করতে হবে।
অতএব, সৈনসংখ্যাকে ১০ দ্বারা গুণ করলে যে সৈন্যসংখ্যা হবে তাকে বর্গাকারে সাজানো যাবে।
গ) ঐ দলে কমপক্ষে কতজন সৈন্য যোগ দিলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে (At least how many troops should have to join to arrange troops so obtained in a square form)?
সমাধানঃ
খ হতে প্রাপ্ত সৈন্য সংখ্যা ৩⤬৩⤬৫⤬২ = ৯০
এখন, ৯⤬৯+৯ = ৮১+৯ =৯০
অতএব ৯০ পূর্নবর্গ নয়।
এখন, (৯+১)⤬(৯+১) = ১০⤬১০ =১০০ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
অতএব, সৈন্যসংখ্যা যোগ করতে হবে (১০০-৯০) = ১০ জন।
No comments:
Post a Comment