Class 7 Mathematics Chapter: 1.1 Solution Bangla version

 বর্গমূল ও পূর্ণবর্গ সংখ্যা নির্ণয়

অনুশীলনী ১.১ এর প্রশ্ন  সমাধান

১. মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় কর (Find the square root of each by prime factorization):

(ক) ১৬৯

সমাধানঃ

১৩|১৬৯
      ১৩

অর্থাৎ মৌলিক গুণনীয়কের শর্তমতে পাই,

১৬৯=১৩⛌১৩

∴১৬৯ এর বর্গমূল=√১৬৯=১৩। 

(খ) ৫২৯

সমাধানঃ

২৩|৫২৯
      ২৩

অর্থাৎ মৌলিক গুণনীয়কের শর্তমতে পাই,

৫২৯=২৩⛌২৩

∴৫২৯ এর বর্গমূল=√৫২৯=২৩। 

(গ) ১৫২১

সমাধানঃ

৩৯|৫২৯
      ৩৯

অর্থাৎ মৌলিক গুণনীয়কের শর্তমতে পাই,

১৫২১=৩৯⛌৩৯

∴১৫২১ এর বর্গমূল=√১৫২১=৩৯।

(ঘ) ১১০২৫

সমাধানঃ

৩|১১০২৫
   ৩|৩৬৭৫
     ৫|১২২৫
        ৫|২৪৫
           ৭|৪৯
              ৭ 

অর্থাৎ মৌলিক গুণনীয়কের শর্তমতে পাই,

১১০২৫=৩⛌৩⛌৫⛌৫⛌৭⛌৭=(৩⛌৩)⛌(৫⛌৫)⛌(৭⛌৭)

প্রত্যেক জোড়া থেকে একটা করে গুণনীয়ক নিয়ে পাই,

৩⛌৫⛌৭=১০৫

∴১১০২৫ এর বর্গমূল=√১১০২৫=১০৫।

২. ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় কর (Find the square root of each by division method): 

(ক) ১২৫

সমাধানঃ

       ১ ২৫। ১৫

       ১
২৫। ১২৫
       ১২৫
       ০

অতএব, নির্ণেয় বর্গমূলঃ ১৫

(খ) ৯৬১

সমাধানঃ

       ৯ ৬১। ৩১
       ৯
৬১।  ৬১
        ৬১
        ০

অতএব, নির্ণেয় বর্গমূলঃ ৩১

(গ) ৩৯৬৯

সমাধানঃ

       ৩৯ ৬৯। ৬৩
       ৩৬
১২৩।  ৩৬৯
          ৩৬৯
           ০

অতএব, নির্ণেয় বর্গমূলঃ ৬৩

(ঘ) ১০৪০৪

সমাধানঃ

       ১ ০ ৪০৪। ১০২
       ১
২০২। ৪০৪
          ৪০৪
          ০

অতএব, নির্ণেয় বর্গমূলঃ ১০২

৩. নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে (What is the least number which is to be multiplied with the following numbers to get a perfect square number)?

(ক) ১৪৭

সমাধানঃ

৩|১৪৭
   ৭|৪৯
      ৭

∴১৪৭=৩⛌৭⛌৭=৩⛌৭^২

এখানে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় যেখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৩

(খ) ৩৮৪

সমাধানঃ

২|৩৮৪
   ২|১৯২
      ২|৯৬
         ২|৪৮
            ২|২৪
               ২|১২
                  ২|৬
                     ৩

∴৩৮৪=২⛌২⛌২⛌২⛌২⛌২⛌২⛌৩=২^২⛌২^২⛌২^২⛌২⛌৩

এখানে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় যেখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিকে ২⛌৩=৬ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৬

(গ) ১৪৭০

সমাধানঃ

২|১৪৭০
    ৩|৩৭৫
       ৫|২৪৫
           ৭|৪৯
               ৭

∴১৪৭০=২⛌৩⛌৫⛌৭⛌৭=২⛌৩⛌৫⛌৭^২

সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নহে। সংখ্যাটিকে ২⛌৩⛌৫=৩০ দ্বারা গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৩০

এখানে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় যেখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিকে ২⛌৩⛌৫=৩০ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৩০

(ঘ) ২৩৮০৫

সমাধানঃ

৩|২৩৮০৫
   ৩|৭৯৩৫
      ৫|২৬৪৫
         ২৩|৫২৯
               ২৩

∴২৩৮০৫=৩⛌৩⛌৫⛌২৩⛌২৩=৩^২⛌৫⛌২৩^২

এখানে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় যেখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিকে ৫ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৫

৪. নিচের সংখ্যাগুলোকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বাএয়া ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ হবে (What is the least number which is to be divided by the following number so that the quotient would be a perfect square)?

(ক) ৯৭২

সমাধানঃ

২|৯৭২
   ২|৪৮৬
      ৩|২৪৩
         ৩|৮১
            ৩|২৭
               ৩|৯
                  ৩

∴৯৭২=২⛌২⛌৩⛌৩⛌৩⛌৩⛌৩=২^২⛌৩^২⛌৩^২⛌৩

এখানে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় যেখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৩

(খ) ৪০৫৬

সমাধানঃ

২|৪০৫৬
   ২|২০২৮
      ২|১০১৪
         ৩|৫০৭
            ১৩|১৬৯
                 ১৩

∴৪০৫৬=২⛌২⛌২⛌৩⛌১৩⛌১৩=২^২⛌২⛌৩⛌১৩^২

এখানে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় যেখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিকে ২⛌৩=৬ দ্বারা ভাগ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৬

(গ) ২১৯৫২

সমাধানঃ

২|২১৯৫২
   ২১|১০৯৭৬
       ২|৫৪৮৮
           ২|২৭৪৪
              ২|১৩৭২
                  ২|৬৮৬
                     ৭|৩৪৩
                        ৭|৪৯
                           ৭

∴২১৯৫২=২⛌২⛌২⛌২⛌২⛌২⛌৭⛌৭⛌৭=২^২⛌২⛌২^২⛌৭^২⛌৭

এখানে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় যেখানে দেখা যাচ্ছে সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা ভাগ করলে সংখ্যাটা পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ৭

৫. ৪৬৩৯ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে (What is the least number which is to be subtracted from 4639 so that the difference is a perfect square)?

সমাধানঃ

         ৪৬ ৩৯|৬৮
         ৩৬
১২৮|১০৩৯
       ১০৩৯
           ১৫

যেহেতু ১৫ অবশিষ্ট রয়েছে সেহেতু ৪৬৩৯ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। অর্থাৎ সংখ্যাটি হতে ১৫ বিয়োগ করলে সেটি পূর্ণবর্গ হবে।

∴নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১৫

৬. ৫৬০৫ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গসংখ্যা হবে (What is the least number to be added to 5605 so that the total sum is a perfect square)?

সমাধানঃ

      ৫৬ ০৫|৭৪
       ৪৯
১৪৪|৭০৫
       ৫৭৬
        ১২৯

যেহেতু ১২৯ অবশিষ্ট আছে সেহেতু সংখ্যাটি পূর্ণবর্গসংখ্যা নয়। ৫৬০৫ এর সাথে কোনো একটা ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে এবং সেক্ষেত্রে এর বর্গমূল হবে ৭৪+১=৭৫।

কিন্তু ৭৫ এর বর্গ=৭৫⛌৭৫=৫৬২৫

অতএব, নির্নেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা=৫৬২৫-৫৬০৫=২০।