ত্রিভুজ অঙ্কন
৭ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৯.৩ এর প্রশ্ন সমাধান
১. কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং এদের বিপরীত কোণ দেওয়া থাকলে, সর্বাধিক কয়টি ত্রিভুজ আঁকা যাবে (If two sides of a triangle and one angle opposite to one of the sides are given, then how many triangles can be drawn)?
ক. 1
খ. 2
গ. 3
ঘ. 4
উত্তরঃ খ
২. কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যখন তিনিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (In which case is it possible to draw a triangle when the lengths of the sides are respectively)-
ক. 1 সে.মি., 2 সে.মি., 3 সে.মি.
খ. 3 সে.মি., 4 সে.মি., 5 সে.মি.
গ. 2 সে.মি., 4 সে.মি., 6 সে.মি.
ঘ. 3 সে.মি., 4 সে.মি., 7 সে.মি.
উত্তরঃ খ
৩. নিচের তথ্যগুলো পড় (Read the below information):
(i). একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায় (The triangle is constructed if its two sides and the angle included between them are given)।
(ii). দুইটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায় (The triangle is consructed if the sum of its two sides is greater than its third side)।
(iii). কোনো ত্রিভুজের একাধিক স্থুলকোণ থাকতে পারে (A triangle can have multiple obtuse angles)।
উপরের তথ্য অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক (which one of the following is correct on the basis of the information)?
ক. i ও ii
খ. ii ও iii
গ. i ও iii
ঘ. i, ii ও iii
উত্তরঃ ক
৪. ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে কি বলে (What is the sum of length of the three sides of triangle called)?
ক. ক্ষেত্রফল
খ. আয়তন
গ. দৈর্ঘ্য
ঘ. পরিসীমা
উত্তরঃ ঘ
৫. ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ কয়টি (How many internal angles are there of triangle)?
ক. 1টি
খ. 2টি
গ. 3টি
ঘ. 4টি
উত্তরঃ গ
৬. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি (How much degree is each of the angles of equilateral triangles)?
ক. 30°
খ. 45°
গ. 60°
ঘ. 90°
উত্তরঃ গ
৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রী (If one angle of aright angled triangle is 60°, how much degree in the other angle)?
ক. 30°
খ. 60°
গ. 90°
ঘ. 180°
উত্তরঃ ক
নিচে প্রদত্ত চিত্র অনুসারে ৮ ও ৯ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও (Answer the questions 8-9 according to the following figure):
৮. C বিন্দুতে BA রেখার সমান্তরাল রেখা আঁকতে হলে, কোন কোণের সমান কোণ আঁকত হবে (To draw a line parallel to BA at the point C, equal to which angle is are angle to be constructed)?
ক. ∠ABC
খ. ∠ACB
গ. ∠BAC
ঘ. CAD
উত্তরঃ গ
৯. ∠CAD এর সমান নিচের কোনটি (Which one of the following is equal to ∠CAD)?
ক. ∠BAC+∠ACB
খ. ∠ABC+∠ACB
গ. ∠ABC+∠ACB+∠BAC
ঘ. ∠ABC+∠BAC
উত্তরঃ খ
১০. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে (The lengths of three sides of a triangle are given)। ত্রিভুজটি আঁক (Construct the triangle)।
(ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 6 সে.মি.
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a=3 সে.মি., b=4 সে.মি. ও c=6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে BC = a অংশ কেটে নেই
(২)যথাক্রমে c ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A ও B এবং A ও C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, △ABC-এ AB=c, BC=a ও AC=b.
(খ) 3.5 সে.মি., 4.7 সে.মি., 5.6 সে.মি.
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য z=3.5 সে.মি., y=4.7 সে.মি. ও x=5.6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে BC = z অংশ কেটে নেই।
(২) x ও y এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A ও B এবং A ও C যোগ করি।
তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, △ABC-এ AB=y, BC=z ও AC=x.
১১. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে (The lengths of two sides and the angle included between these sides are given)। ত্রিভুজটি আঁক (Construct the triangle)।
(ক) 3 সে.মি., 4 সে.মি., 60°
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু a ও b এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x=60° দেওয়া আছে।ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান দৈর্ঘ্যের BC অংশ কেটে নিই।
(২) BC রেখাংশের C বিন্দুতে ∠BCE = ∠x এর সমান কোন আঁকি।
(৩) এখন CE রেখাংশ থেকে CA = b কেটে নিই।
(৪) A ও B যোগ করি।
তাহলে, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, △ABC-এ BC=a=3 সে.মি., AC=b=4 সে.মি. এবং ∠ACB=∠x=60°
(খ) 3.8 সে.মি., 4.7 সে.মি., 45°
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু a=3.8 সে.মি. ও b=4.7 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x=45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান দৈর্ঘ্যের BC অংশ কেটে নিই।
(২) BC রেখাংশের C বিন্দুতে ∠BCE = ∠x কোন আঁকি।
(৩) এখন CE রেখাংশ থেকে CA=b কেটে নিই।
(৪) A এবং B যোগ করি।
তাহলে, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, △ABC-এ BC=a=3.8 সে.মি., AC=b=4.7 সে.মি. এবং ∠ACB=∠x=45°
১২. একটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ দেওয়া আছে (The length of a side and two of its adjoining angles are given)। ত্রিভুজটি আঁক (Construct the triangle)।
(ক) 5 সে.মি., 30°, 45°
সমাধানঃ
মনে করি একটি ত্রিভুজের একটি বাহু a=5 সে.মি. এবং এর সংলগ্ন দুটি কোণ ∠x = 30° ও ∠y = 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটা আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান দৈর্ঘ্যের BC অংশ কেটে নিই।
(২) BC রেখার B এবং C বিন্দুতে যথাক্রমে ∠CBE=∠x ও ∠BCF=∠y অঙ্কন করি। এরা পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, △ABC ই নির্ণেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, △ABC এ ∠ABC=∠x=45°, ∠BCA=∠y=30° এবং a=5 সে.মি.।
(খ) 4.5 সে.মি., 45°, 60°
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের একটি বাহু a=4.5 সে.মি. ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠x=60° ও ∠y=45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান দৈর্ঘ্যের BC অংশ কেটে নিই।
(২) BC রেখার B এবং C বিন্দুতে যথাক্রমে ∠CBE=∠x ও ∠BCF=∠y অঙ্কন করি। এরা পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, △ABC এ ∠ABC=∠x=60°, ∠BCA=∠y=45° এবং a=4.5 সে.মি.।
১৩. একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও প্রথম কোণের বিপরীত বাহু দেওয়া আছে (Two angles and a side opposite to the first angle are given)। ত্রিভুজটি আঁক (construct the triangle)।
(ক) 120°, 30°, 5 সে.মি.
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে ∠x=120° ও ∠y=30° এবং 120° কোণের বিপরীত বাহু a=5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান দৈর্ঘ্যের BC অংশ কেটে নিই।
(২) BC রেখাংশের B এবং C বিন্দুতে ∠y এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF এবং ∠DCE অঙ্কন করি।
(৩) আবার CE রেখার C বিন্দুতে এর যে পাশে ∠y অবস্থিত তার বিপরীত পাশে ∠ECG=∠x আঁকি।
(৪) BF রেখাকে CG রেখা A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, ∠ABC=∠ECD.
কিন্তু কোণ দুটি অনুরুপ হওয়ায় AB ∥ CE. এখন, AB ∥ CE এবং AC তাদের ছেদক।
∠BAC=একান্তর ∠ACE=120°
এখন, △ABC এ ∠BAC=120°, ∠BAC=30° এবং ∠BAC এর বিপরীত বাহু BC=5 সে.মি.।
(খ) 60°, 30°, 4 সে.মি.
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে ∠x=60° ও ∠y=30° এবং 60° কোণের বিপরীত বাহু a=4 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান দৈর্ঘ্যের BC অংশ কেটে নিই।
(২) BC রেখাংশের B এবং C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠y এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF এবং ∠DCE অঙ্কন করি
(৩) আবার CE রেখার C বিন্দুতে এর যে পাশে ∠y অবস্থিত তার বিপরীত পাশে ∠x এর সমান করে ∠ECG অঙ্কন করি।
(৪) BF রেখাকে CG রেখা A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, ∠ABC=∠ECD.
কিন্তু কোণ দুইটি অনুরুপ হওয়ায় AB ∥ CE. এখন, AB ∥ CE ও AC তাদের ছেদক
∠BAC=একান্তর∠ACE=60°
অতএব, △ABC এ ∠BAC=30°, ∠BAC=60° এবং ∠BAC এর বিপরীত বাহু BC=4 সে.মি.।
১৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ও প্রথম বাহুর বিপরীত কোন দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 5 সেমি, 6 সেমি, ৬০°
সমাধানঃ
মনে করি,
একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x=5 সেমি ও y=6 সেমি এবং প্রথম বাহুর বিপরীত কোণ ∠p=60°। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) যেকোনো রশ্মি BD লই।
(ii) BD এর B বিন্দুতে ∠DBE = ∠P আঁকি।
(iii) রশ্মি BE থেকে BA = y কেটে নিই।
(iv) BA রশ্মির A কে কেন্দ্র করে x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা BD কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(ii) A ও C এবং A ও C’ যোগ করি।
তাহলে ΔABC বা ΔABC’-ই হবে নির্নেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, ΔABC ও ΔABC’ এ AB=5 সেমি, AC=y=6 সেমি এবং B=60°
(খ) 4 সেমি, 5 সেমি, 30°
সমাধানঃ
মনে করি,
একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু x=5 সেমি ও y=6 সেমি এবং প্রথম বাহুর বিপরীত কোণ ∠p=60°। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) যেকোনো রশ্মি BD লই।
(ii) BD এর B বিন্দুতে ∠DBE = ∠P আঁকি।
(iii) রশ্মি BE থেকে BA = y কেটে নিই।
(iv) BA রশ্মির A কে কেন্দ্র করে x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা BD কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(ii) A ও C এবং A ও C’ যোগ করি।
তাহলে ΔABC বা ΔABC’-ই হবে নির্নেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমানঃ
অঙ্কন অনুসারে, ΔABC ও ΔABC’ এ AB=5 সেমি, AC=y=6 সেমি এবং B=60°
১৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর একটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
(ক) 7 সেমি, 4 সেমি
সমাধানঃ
মনে করি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ x=7 সেমি ও ওপর একটা বাহু y=4 সেমি। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) যেকোন রশ্মি BD লই।
(ii) BD থেকে BC=y কেটে নিই।
(iii) BC এর B বিন্দুতে BE লম্ব আঁকি।
(iv) BC এর C কে কেন্দ্র করে x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটা বৃত্তচাপ্প আঁকি যা BE কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(v) A ও C যোগ করি।
তাহলে, ΔABC ই নির্নেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
ΔABC এ BC=y=4 সেমি ও AC=x=7 সেমি।
(খ) 4 সেমি, 3 সেমি
সমাধানঃ
মনে করি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ x=4 সেমি ও অপর একটা বাহু y=3 সেমি। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) যেকোন রশ্মি BD লই।
(ii) BD থেকে BC=y কেটে নিই।
(iii) BC এর B বিন্দুতে BE লম্ব আঁকি।
(iv) BC এর C কে কেন্দ্র করে x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটা বৃত্তচাপ আঁকি যা BE কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(v) A ও C যোগ করি।
তাহলে, ΔABC ই নির্নেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
ΔABC এ BC=y=3 সেমি ও AC=x=4 সেমি।
১৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহু 5 সেমি ও একটি সূক্ষ্মকোণ 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
মনে করি,
একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহু x = 5 সেমি ও একটি সূক্ষ্মকোণ ∠p = 45° দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) যেকোনো রশ্মি BD নেই।
(ii) BD থেকে BC=x অংশ কেটে নেই।
(iii) BC এর B বিন্দুতে BE লম্ব আঁকি ও C বিন্দুতে ∠BCA=∠p আঁকি যা BE কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, ΔABC-ই হলো নির্নেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, ΔABC এ ∠ABC=90°, ∠BCA=45° ও BC = x = 5 সেমি।
১৭. একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু A, B ও C।
(ক) বিন্দু তিনটি দিয়ে একটি ত্রিভুজ আঁক।
সমাধানঃ
মনে করি,
A, B এবং C তিনটি বিন্দু যেগুলো একই সরলরেখায় অবস্থিত নয়। বিন্দু তিনটি দ্বারা একটি ত্রিভুজ আঁকতে হবে।
অংকনের বিবরণঃ
(i) A ও B, B ও C এবং A ও C যোগ করি।
তাহলে, ΔABC-ই হলো নির্নেয় ত্রিভুজ।
(খ) অঙ্কিত ত্রিভুজ এর শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর লম্ব আঁক।
সমাধানঃ
ক –তে অঙ্কিত ত্রিভুজ ABC এর A শীর্ষবিন্দু ও ভূমি BC। A বিন্দু থেকে BC এর উপর লম্ব আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) A বিন্দুকে কেন্দ্র করে এমন ব্যাসার্ধ নিয়ে একটা বৃত্তচাপ আঁকি যা BC কে দুইটা বিন্দু P ও Q বন্দুতে ছেদ করে।
(ii) P ও Q কে কেন্দ্র করে A এর বিপরীত দিকে PQ এর অর্ধাংশের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
(iii) A ও R যোগ করি। AR, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, AD-ই হলো BC এর উপর নির্নেয় অঙ্কিত লম্ব।
(গ) অঙ্কিত ত্রিভুজের ভূমি যে সম-কোণী সম-দ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ হয়, ঐ ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
অঙ্কিত ত্রিভুজের ভূমি BC যে সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজ হয়, সেই ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) যেকোনো রশ্মি BD থেকে BC কেটে লই।
(ii) BC এর B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BC এর অর্ধাংশের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর দুই পাশে দুটি করে বৃত্তচাপ আঁকি যেগুলো পরস্পরকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
(iii) E ও F যোগ করি ফলত তা BC কে O বিন্দুতে ছেদ করে।
(iv) O কে কেন্দ্র করে OC এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একপাশে একটা অর্ধবৃত্ত আঁকি যা EF কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(v) A ও B এবং A ও C যোগ করি ফলত ∠BAC = 90°, AB = AC কারন এরা অর্ধবৃত হতে অঙ্কিত।
তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।১৮. চিত্রটি লক্ষ্য করি (Look at the picture):
ক. সঠিক পরিমাপে ABC ত্রিভুজটা আঁক (What is the hypotenuse in the figure)।
সমাধানঃ
চিত্রের অনুরুপে সঠিক পরিমাপে ABC ত্রিভুজটা আঁকতে হবে। মনে করি, BC = x সে.মি. ও AB = y সে.মি.।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রেখাংশ BD হতে x এর সমান করে BC কেটে নেই।
(২) B বিন্দুতে লম্ব BE অঙ্কন করি।
(৩) BE হতে y এর সমান করে BA কেটে নেই।
(৪) A এবং C যোগ করি। তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
খ. অতিভুজের পরিমাণ সেন্টিমিটারে নির্ণয় কর এবং ∠ACB এর সমান করে একটি কোণ আঁক (Find the measure the hypotenuse in centimeters and draw an angle equal to the angle ∠ ACB)।
সমাধানঃ
অনিভুজের পরিমাণ স্কেলের সাহায্যে মেপে পাই 5 সে.মি.। আবার, ∠ACB এর সমান করে একটি কোণ আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) ত্রিভুজ ABC এর পাশে একটা রেখাংশ DE অঙ্কন করি।
(২) C বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা BC ও AC কে m ও n বিন্দুতে ছেদ করে | এখন একই ব্যাসার্ধ নিয়ে E বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা DE কে p বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) এখন p কে কেন্দ্র করে mn এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটা বৃত্তচাপ অঙ্কন করি যা পূর্বের বৃত্তচাপকে q বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) E, q যোগ করে F পর্যন্ত বর্ধিত করি। তাহলে, ∠DEF, ∠ABC এর সমান কোণ অঙ্কিত হলো।
গ. একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক, যার অতিভুজ চিত্রে অঙ্কিত ত্রিভুজের অতভুজ অপেক্ষা 2 সে.মি. বড় এবং একটি কোণ, ∠ACB এর সমান হবে (Draw a right-angled triangle whose hypotenuse is 2 cm larger than that of the drawn triangle and an angle equal to ∠ACB)।
সমাধানঃ
মনে করি, প্রদত্ত ত্রিভুজের অতিভুজ এর দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং y = x+2 সে.মি. আরেকটি অতিভুজ। এমন একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে হবে যার অতিভুজ y সে.মি. হবে এবং একটা কোন ∠ACB এর সমান হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রেখাংশ AM হতে y এর সমান করে AC অংশ কেটে নেই।
(২) C বিন্দুতে প্রদত্ত কোণের সমান করে কোণ ∠ACB আঁকি।
(৩) A বিন্দুকে কেন্দ্র করে এমন ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা BC কে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) P ও Q বিন্দুকে কেন্দ্র করে PQ এর অর্ধেকের বেশী ব্যাসার্ধ নিয়ে A এর বিপরীত পাশে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
(৫) A, R যোগ করি যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে ΔADC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১৯. একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু a = 3 সে.মি., b = 4 সে.মি. এবং একটি কোণ ∠B = 30 (Two sides a= 3 cm, b = 4 cm and an angle LB=30° of a triangle are given).
ক. ∠B এর সমান একটি কোণ আঁক (Draw an angle equal to ∠B)
সমাধানঃ
চাঁদা ব্যবহার করে ∠B = 30° কোণ নিচে আঁকা হলোঃ
খ. একটি ত্রিভুজ আঁক, যার দুই বাহু a ও b এর সমান এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠B এর সমান হয় (Draw a triangle whose two sides are equal to a & b and the included-angle-is-equal-to-∠B)।
সমাধানঃ
মনে করি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু a = 3 সে.মি., b = 4 সে.মি. এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠B. ত্রিভুজটা আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রেখাংশ BD হতে BC = b = 4 সে.মি. কেটে নেই।
(২) B বিন্দুতে ∠B = 30° এর সমান করে ∠CBE আঁকি।
(৩) BE হতে BA = a = 3 সে.মি. কেটে নেই।
(৪) A এবং C যোগ করি। তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
গ. এমন একটি ত্রিভুজ আঁক, যার একটি বাহু b এবং ∠B এর বিপরীত বাহু 2a হয় (Draw a triangle whose one side is b and the opposite side of ∠B is 2a)।
সমাধানঃ
মনে করি একটি ত্রিভুজের একটি বাহু b = 4 সে.মি., একটি কোণ ∠B = 30° এবং AB এর বিপরীত বাহু 2a = 3X2 = 6 সে.মি.। ত্রিভুজটা আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রেখাংশ BD হতে BC = b = 4 সে.মি. কেটে নেই।
(২) BC এর B বিন্দুতে ∠B = 300 = ∠CBE অঙ্কন করি।
(৩) C বিন্দুকে কেন্দ্র করে 2a = 6 সে.মি. এর সমান করে ব্যসার্ধ নিয়ে একটা বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটা BE কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) A এবং C যোগ করি। তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
২০. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি., b = 5 সে.মি., c = 6 সে.মি. (The length of three sides of a triangle is a = 4 cm., b = 5 cm., c = 6 cm.)।
(ক) একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন কর (Draw an equilateral triangle)।
সমাধানঃ
মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a. ত্রিভুজটি আঁকতে হবে যার প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a.
অঙ্কনের বিবরনঃ
(১) যেকোনো রেখাংশ BD হতে a এর সমান করে BC কেটে নেই।
(২) BC এর B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে BD এর একই পার্শ্বে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি যারা A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A ও B এবং A ও C যোগ করি। তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
(খ) ত্রিভুজটা অঙ্কন কর (Draw the triangle)। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
সমাধানঃ
মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি., b = 5 সে.মি., c = 6 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটা আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রেখাংশ BD হতে BC = c = 6 সে.মি. কেটে নেই।
(২) BC এর B বিন্দুকে কেন্দ্র করে b = 5 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর এক পাশে একটি বৃত্তচাপ আঁকি এবং BC এর C বিন্দুকে কেন্দ্র করে a = 4 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে BC একই পাশে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A ও B এবং A ও C যোগ করি। তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
(গ) এমন একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন কর যেন সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ও b এর সমান হয় (Draw such a right angled triangle so that the two sides adjacent to the right angle are equal to a and b)। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
সমাধানঃ
মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন দুটি বাহু a = 4 সে.মি. ও b = 5 সে.মি .দেওয়া আছে। ত্রিভুজটা আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(১) যেকোনো রেখাংশ BD হতে b = 5 = BC কেটে নেই।
(২) BC এর B বিন্দুতে লম্ব BE আঁকি।
(৩) BE হতে BA = a = 4 সে.মি. কেটে নেই।
(8) A, C যোগ করি। তাহলে, ΔABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
২১. AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখা (Two parallel straight lines AB and CD)। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে (The line PQ intersects AB & CD at E & F respectively)।
(ক) বর্ণনা অনুযায়ী চিত্র অঙ্কন কর (Draw the figure based on information)।
সমাধানঃ
একটি চিত্র অঙ্কন করা হলো যেখানে, AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(খ) দেখাও যে, ∠AEP = ∠CFE (Show that ∠AEP = ∠CFE)
সমাধানঃ
AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, ∠AEP = ∠CFE
প্রমাণঃ
চিত্রে, AB এবং PQ পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
তাহলে, ∠AEP = ∠QEB [এরা বিপ্রতীপ কোণ]———-(১)
আবার, AB ∥ CD এবং PQ রেখাটি AB এবং CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
তাহলে, ∠QEB = ∠CFE [এরা একান্তর কোণ]————(২)
(১) নং ও (২) নং হতে পাই,
∠AEP = ∠QEB = ∠CFE
বা, ∠AEP = ∠CFE (দেখানো হলো)
(গ) দেখাও যে, ∠AEF + ∠CFE = ২ সমকোণ (Prove that, ∠AEF + ∠CFE = 2 right angles)
সমাধানঃ
AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাতে হবে যে, ∠ZAEF + ∠CFF = ২ সমকোণ।
প্রমাণঃ
AB এবং PQ পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
তাহলে, ∠AEQ + ∠BEQ = 2 সমকোণ (কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক কোণ]————(১)
আবার, AB ∥ CD এবং PQ রেখাটি AB ও CD রেখাকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে
তাহলে, ∠BEQ = ∠CFE [এরা একান্তর কোণ]————(২)
(২) নং এ (১) নং এর ∠BEQ = ∠CFE বসিয়ে পাই,
∠AEQ + ∠CFE = 2 (দেখানো হলো)
No comments:
Post a Comment