Class 7 Math BD Chapter: 10.3 Solution Bangla version

 

সদৃশতা

৭ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ১০.৩ এর সমাধান

১. চিত্রটি লক্ষ্য করি (Look at the picture below):

চিত্রে, ABCD সামন্তরিক। ∠B=কত (In the figure, ABCD is a parallelogram. ∠B = what)?

(ক) ∠C          

(খ) ∠D

(গ) ∠A-∠D    

(ঘ) ∠C-∠D

উত্তরঃ খ

২. ΔABC এ ∠B>∠C হলে কোনটি সঠিক (If in ΔABC, ∠B > ∠C, which one is correct)?

(ক) BC>AC      

(খ) AB>AC

(গ) AC>BC       

(ঘ) AC>AB

উত্তরঃ ঘ

৩. চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি কত (What is the sum total of the four angles of quadratiteral)?

(ক) ১ সমকোণ    

(খ) ২ সমকোণ

(গ) ৩ সমকোণ    

(গ) ৪ সমকোণ 

উত্তরঃ ঘ

৪. ΔABC এ ∠A=70°, ∠B=20°  হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের (If in ΔABC, ∠A = 70°,  ∠B = 20°, what type of triangle is it)?

(ক) সমকোণী     

(খ) সমদ্বিবাহু

(গ) সূক্ষ্মকোণী    

(ঘ) সমবাহু

উত্তরঃ ক

৫. নিচের প্রতিটি চিত্রে দুইটি সদৃশতার কারণ বর্ণনা কর (Describe the reasons for the two similarities in each figure below):

সমাধানঃ

(a)

ΔABE এবং ΔACD এর মধ্যে,

∠DAC=∠EAB [সাধারণ কোণ]

∠EBA=∠DCA [∴BE ∥ CD]

এবং ∠AEB=∠ADC [অবশিষ্ট কোণ]

∴উভয় ত্রিভুজের কোণগুলো সমান।

সুতরাং, ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

(b)

ΔQPN এবং ΔLPM এ,

∠PQN =∠PML [দেওয়া আছে]

∠QPN=∠LPM

∠PNO=∠PLM[অবশিষ্ট কোণ]

∴ত্রিভুজ দুটি সদৃশ কারণ ত্রিভুজ দুটির কোণগুলি সমান।

(c)

ΔVZY এবং ΔYWX-এ,

∠VYZ=∠WYZ [বিপ্রতীপ কোণ]

ΔVYZ ΔWXY-এ

VY:YX=YZ:WY=2:3

∴প্রদত্ত ত্রিভুজ দুটির দুইটি অনুরূপ বাহু সামানুপাতিক ও অন্তর্ভুক্ত কোণ দুটি সমান। 

সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

(d)

ΔJGI এবং ΔKGH-এ,

∠JGI=∠KGH [সাধারণ কোণ]

∠JIG=∠KHG [উভয়ই সমকোণ]

∴∠GJI=∠KHG [অবশিষ্ট কোণ]

∴ত্রিভুজ দুটি সদৃশ, কারণ উভয় ত্রিভুজের কোণগুলি সমান।

(e)

ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ,

যার ভূমি BC=6

অতিভুজ AC=7+3=10

∴পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

AC²=BC²+AB²

বা,  10⁰=6²+AB²

বা,  AB²=100-26

বা,  AB²=64

বা,  AB=8

∴ ভূমিঃ উচ্চতাঃ অতিভুজ = 6:8:10

আবার, ΔECD সমকোণী ত্রিভুজে

ভূমি CE=3 এবং  DE=5

DE²=CE²+CD²

বা,  5²=3²+CD²

বা,  CD²=25-9

বা,  CD²=16

বা,  CD=4

এক্ষেত্রে,

ভূমিঃ উচ্চতাঃ অতিভুজ

=3:4:5=6:8:10 [2 দ্বারা গুণ করে]

∴উভয় ত্রিভুজের বাহু তিনটির অনুপাত সমান।

∴ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

(f)

ΔVYZ সমকোণী ত্রিভুজে,

অতিভুজ, VY=26,

ZY=10

VZ=24 (পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগে)

ΔWXY সমকোণী ত্রিভুজে,

অতিভুজ XY=13

YW=5

WX=12 (পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগে)

∴ΔVYZ : ΔWXY

5 : 12 : 13=10 : 24 :26 [বাহু তিনটির অনুপাত সমান]

∴ত্রিভুজ দুটি সদৃশ।

 

৬. প্রমাণ কর যে, নিচের প্রতিটি চিত্রের ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ (Prove that the two triangles in each of the following diagrams arc similar)।

 

(a)

সমাধানঃ

যেহেতু, AB ∥ DE ও AE তাদের ছেদক

∠BAE=∠DEA  [একান্তর কোণ]

আবার, AB ∥ DE ও BD ছেদক

∠ABD = ∠EDB [একান্তর কোণ]

এবং ∠BCA = ∠ECD [বিপ্রতীপ কোণ]

∴ΔABC এবং ΔCDE এর সকল কোণ পরস্পর সমান।

সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ (প্রমাণিত)

(b)

সমাধানঃ

ΔWTX ও ΔPPTL-এ

∠TWX=∠TPL=90°

∠WTX=∠PTL [সাধারণ কোণ]

∴∠TXW=∠TLP [অবশিষ্ট কোণ]

∴উভয় ত্রিভুজের সকল কোণ পরস্পর সমান।

সুতরাং ত্রিভুজ দুটি সদৃশ (প্রমাণিত)

৭. দেখাও যে, ΔPTN এবং ΔRWT সদৃশ (Prove that ΔPTN and ΔRWT are similar)।

সমাধানঃ

ΔPTN এর বাহুগুলোর অনুপাত

=PN : PT : NT

= 3 : 4 : 5

ΔTWR এর বাহুগুলোর অনুপাত

= TR : WR : WT

=9 : 12 : (10+5)

=9 : 12 : 15

=3 : 4 : 5

∴উভয় ত্রিভুজের বাহুগুলির অনুপাত সমান।

সুতরাং ত্রিভুজ দুটি সদৃশ (প্রমাণিত)

৮. DY রেখাংশ ∠CWD কোণটির দ্বিখন্ডক (DY bisects ∠CDW)। দেখাও যে, ΔCDY ও ΔYDW সদৃশ (Prove that ΔCDY is similar to ΔYDW)।

সমাধানঃ

ΔCDY-এ ∠CDY সংলগ্ন বাহুর অনুপাত

=CD : DY

= 6.75 : 9

= 2.25 : 3

আবার, ΔYDW-এ ∠YDW সংলগ্ন বাহুর অনুপাত

= YD : DW

= 9 : 12

= 2.25 : 3

∴উভয় ত্রিভুজের সকল বাহুর অনুপাত সমান হবে।

∴ΔCDY ও ΔYDW সদৃশ(প্রমাণিত)

৯. নিচের প্রতিটি সদৃশ ত্রিভুজ জোড়া থেকে y এর মান বের কর (Estimate the value of y from each of the following pairs of triangles)।

সমাধানঃ

প্রথম জোড়া ত্রিভুজের ক্ষেত্রেঃ

যেহেতু ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ,

6 ঃ 8 ঃ y = 16:16:20

6 ঃ 8 ঃ y = 6:6:10

∴y=10

দ্বিতীয় জোড়া ত্রিভুজের ক্ষেত্রেঃ

যেহেতু ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ সেইহেতু এদের বাহুগুলোর অনুপাত সমান হবে।

সুতরাং, 7.5 ঃ y = 6:10

বা, ^7.5/_y=⁶/₁₀

বা, 6y=10✕7.5

বা, y=⁷⁵/₆

বা, y=12.5

১০. প্রমান কর যে, চিত্রের ত্রিভুজ তিনটি সদৃশ (Show that the triangles in the diagram are similar)।

সমাধানঃ

ΔGDE-এ ∠GED=90⁰

∴ΔGFE-এ ∠GEF=90⁰

ধরি, EF=x

সুতরাং, DE=5-x [DF=5]

সমকোণী ত্রিভুজ ΔGDF-এ পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে পাই,

GE²+DE²=GD²

GE²=GD²-DE²=3²-(5-x)²=9-(5-x)²----------(1)

সমকোণী ত্রিভুজ ΔGEF-এ পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে পাই,

GE²+EF²=GF²

GE²=GF²-EF²=4²-x²=16-x²---------------(2)

∴9-(5-x)²=16-x²

বা, x²-(5-x)²=16-9

বা, (x-5+x)(x+5-x)=7

বা, 5(2x-5)=7

বা, 10x-25=7

বা, 10x=7+25

বা, x=32/10

বা, x=3.2

∴EF=3.2

DE=5-3.2=1.8

আবার, GE²=16-x²  [২ নং সমীকরণ হতে]

=16-(3.2)²

=16-10.24

=5.76

∴GE=2.4

ΔGDE এর বাহুর অনুপাত

=1.8 : 2.4 : 3

=0.6 : 0.8 : 1 [3 দ্বারা ভাগ করে]

ΔGEF এর বাহুর অনুপাত

=2.4 : 3.2 : 4

= 0.6 : 0.8 : 1 [4 দ্বারা ভাগ করে]

ΔGDE এর বাহুর অনুপাত

= 3 : 4 : 5

= 0.6 : 0.8 : 1 [5 দ্বারা ভাগ করে]

অতএব, দেখা যাছে সকল ত্রিভুজের বাহুগুলির আনুপাত সমান।

সুতরাং ত্রিভুজগুলি সদৃশ (প্রমাণিত)

 

১১. চতুর্ভুজ দুইটির অনুরূপ কোণ ও অনুরূপ বাহুগুলো চিহ্নিত কর (Identify the matching angles and matching sides of the quadrilaterals)। চতুর্ভুজ দুইটি সদৃশ কিনা যাচাই কর (Verify whether the quadrilaterals are similar or not)।

সমাধানঃ

প্রথম চিত্রে, ∠A=70° এবং দ্বিতীয় চিত্রে, ∠B=70°

প্রথম চিত্রে, ∠X=110° এবং দ্বিতীয় চিত্রে, ∠K=110°

প্রথম চিত্রে, ∠T=110° এবং দ্বিতীয় চিত্রে, ∠G=110°

প্রথম চিত্রে, ∠P=70°  এবং দ্বিতীয় চিত্রে, ∠F=70°

অতএব,

∠A এর অনুরুপ ∠B, 

∠X এর অনুরুপ ∠K,

∠T এর অনুরূপ ∠G,

এবং ∠X এর অনুরূপ ∠K.

আবার, AX বাহু = 2 সে.মি. এবং BK বাহু =1 সে.মি.

XT বাহু = 1.8 সে.মি. ও KG বাহু =0.9 সে.মি.

TP বাহু = 1.6 সে.মি. ও GF বাহু =0.8 সে.মি.

PA বাহু = 2.8 সে.মি. ও FB বাহু =1.4 সে.মি.

দেখা যাচ্ছে,

অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক।

AX=BK, XT=KG, TP=GF ও PA=FB

সুতরাং চতুর্ভুজ দুটি সদৃশ। 

১২. 1 মিটার দৈর্ধ্যের একটি লাঠি মাটিতে দন্ডায়মান অবস্থায় 0.4 মিটার ছায়া ফেলে (A stick of length 1 meter casts a shadow of 0.4 meter when placed in the ground)। একই সময়ে একটি খাড়া গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 7 মিটার হলে গাছটির উচ্চতা কত (In the same time, if a vertically standing tree cast a shadow of length 7 meters, what is the height of the tree)?

সমাধানঃ

চিত্রে, গাছটির উচ্চতা h মিটার।

লাঠির প্রান্তবিন্দু ও ছায়ার প্রান্তবিন্দু যোগ করি। গাছের প্রান্ত বিন্দু ও এর ছায়ার প্রান্তবিন্দু যোগ করি।

মনে করি, ΔABC ও ΔDEF দুইটি সদৃশ ত্রিভুজ উৎপন্ন হলো।

কারন, ∠ABC=∠DEF; ∠BAC=∠EDF

তাহলে,

^DE/_AB=^BC/_EF

বা, ^h/₇=¹/₄

বা, h=17.5

∴গাছটির উচ্চতা=17.5 মিটার।

১৩. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC এবং  D, BC এর মধ্যবিন্দু (Of the isosceles triangle ABC, AB=AC and D is the mid-ppoint of BC)। DE ও DF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব (DE and DF are perpendicular on AC and AB respectively)।

(ক) তথ্যের আলোকে ABC ত্রিভুজটি অঙ্কন করে D বিন্দুটি চিহ্নিত কর (In the light of the information, drawing the triangle ABC, mark the point D)।

(খ) দেখাও যে, AD ⊥ BC (Show that, AD ⊥ BC).

(গ) প্রমাণ কর যে, DE = DF (Prove that, DE = DF).

সমাধানঃ

(ক)

প্রদত্ত তথের আলোকে নিন্মের চিত্রটি অঙ্কন করা হলোঃ

(খ)

বিশেষ নির্বচনঃ

ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC এবং  D, BC এর মধ্যবিন্দু। DE ও DF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, AD ⊥ BC.

প্রমাণঃ

ΔBDF ও ΔDCE এর মধ্যে

BD = DC [D, BC এর মধ্যবিন্দু বলে]

∠BFD = ∠DEC = ১ সমকোণ [শর্তমতে]

∠FBD = ∠ECD [AB = AC বলে]

অতএব, ΔBDF ≅ ΔDCE.

তাহলে,

DF = DE -------(i)

এবং ∠FDB = ∠EDC------ (ii)

আবার,

ΔFDA ও ΔEDA এর মধ্যে

DF = DE [(i) নং হতে]

∠DFA = ∠DEA = ১ সমকোণ [শর্তমতে]

AD সাধারন বাহু।

তাহলে,

∠FDA = ∠DEA------ (iii)

এখন,

(ii) + (iii) করে পাই,

∠FDB + ∠FDA =  ∠EDC + ∠DEA

বা, ∠BDA = ∠CDA

এখানে, চিত্র অনুসারে,

∠BDA +∠CDA = 2 সমকোণ

বা, ∠BDA +∠BDA = 2 সমকোণ

বা, 2∠BDA = 2 সমকোণ

বা, ∠BDA = 1 সমকোণ

অনুরূপভাবে, ∠CDA = 1 সমকোণ

কিন্তু, ∠BDA ও ∠CDA এর সাধারন বাহু AD যা BC এর উপর দন্ডায়মান।

তাহলে, AD ⊥ BC [দেখানো হলো]

(গ)

বিশেষ নির্বচনঃ

ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC এবং  D, BC এর মধ্যবিন্দু। DE ও DF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, AD ⊥ BC.

প্রমাণঃ

ΔBDF ও ΔDCE এর মধ্যে

BD = DC [D, BC এর মধ্যবিন্দু বলে]

∠BFD = ∠DEC = ১ সমকোণ [শর্তমতে]

∠FBD = ∠ECD [AB = AC বলে]

অতএব, ΔBDF ≅ ΔDCE.

তাহলে,

DF = DE [প্রমাণিত]

১৪. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC, এর অভ্যন্তরে D এমন একটি বিন্দু যেন BDC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হয় (In an isosceles triangle ABC, AB=AC, amidst which D is point so that BDC is an isosceles triangle)।

(ক) বর্ণনা অনুযায়ী চিত্রটি অঙ্কন কর (Draw the figure are as per discription)।

(খ) প্রমাণ কর যে, ∠ABC = ∠ACB (Prove that, ∠ABC = ∠ACB).

(গ) দেখাও যে, ΔABD ≅ ΔACD (Show that, ΔABD ≅ ΔACD).

সমাধানঃ

(ক)

বর্ণনা অনুসারে নিন্মোক্ত চিত্রটি আঁকা হলোঃ

(খ)

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC।

প্রমান করতে হবে যে, ∠ABC = ∠ACB.

অঙ্কনঃ

A বিন্দু হতে BC এর উপর AM লম্ব আঁকি।

প্রমাণঃ

ΔABM ও ΔACM এর মধ্য,

AB = AC [শর্তমতে]

AM সাধারন বাহু

∠AMB = ∠AMC = ১ সমকোণ [অঙ্কন অনুসারে]

অতএব, ΔAMB ≅ ΔACM

তাহলে, ∠ABM = ∠ACM

বা, ∠ABC = ∠ACB [প্রমাণিত]

(গ)

বিশেষ নির্বচনঃ

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর AB = AC, এর অভ্যন্তরে D একটি বিন্দু এবং BD = CD.

দেখাতে হবে যে, ΔABD ≅ ΔACD.

প্রমাণঃ

ΔABD ও ΔACD এর মধ্যে,

AB = AC [শর্তমতে]

BD = DC [শর্তমতে]

AD সাধারন বাহু

অতএব, ΔABD ≅  ΔACD [দেখানো হলো]

১৫. ΔABC এ AB = AC এবং BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব (In ABC, AB = AC and BF and CF are perpendiculas of AB and AC-respectively)।

(ক) বর্ননা অনুযায়ী চিত্র অঙ্কন কর (Draw the figure as per description)।

(খ) দেখাও যে, ∠B = ∠C (Show that, ∠B = ∠C).

(গ) প্রমাণ কর যে, BE = CF (Prove that, BE = CF).

সমাধানঃ

(ক)

বর্ননা অনুযায়ী চিত্র অঙ্কন করা হলোঃ

(খ)

১৪ এর খ দেখ।

(গ)

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ΔABC এ AB = AC এবং BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB এর উপর লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, BE = CF.

প্রমাণঃ

ΔABC এ

AB = AC [শর্তমতে]

অতএব, ∠ABC = ∠ACB

বা, FBC =ECB ----- (i)

এখন,

ΔBCF ও ΔCBE এর মধ্যে,

∠FBC =∠ECB [(i) নং হতে]

∠BFC = ∠CEB = 1 সমকোণ [শর্তমতে]

BC সাধারণ বাহু

ΔBCF ≅ ΔCBE

তাহলে, BE = CF [প্রমাণিত]