কোণ বাহু কোণ, বাহু বাহু বাহু সমতা
৭ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ১০.২ এর প্রশ্ন সমাধান
১. △ABC এ AB = AC এবং O, ABC এর অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু যেন OB = OC হয় (In the △ABC, AB = AC and O is an interior point of the △ABC such that OB = OC)। প্রমাণ কর যে, ∠AOB = ∠AOC (Prove that ∠AOB = ∠AOC)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর AB = AC এবং O, △ABC এর অভ্যন্তরে এমন একটা বিন্দু যেন OB = OC। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB = ∠AOC.
প্রমাণঃ
△AOB ও △AOC এ
AB=AC
OB=OC
এবং AO সাধারণ বাহু।
∵AOB ≅ △AOC [ বাহু কোণ বাহু উপপাদ্য]
∵∠AOB=∠AOC
২. △ABC এর AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD = CE এবং BE = CD (In the △ABC, D and E are points on AB and AC respectively such that BD = CE and BE = CD)। প্রমাণ কর যে, ∠ABC = ∠ACB (Prove that ∠ABC = ∠ACB)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর AB এবং AC বাহুতে যথাক্রমে D এবং E এমন দুটি বিন্দু যেন BD = CE ও BE = CD. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC = ∠ACB.
প্রমাণঃ
△BDC ও △BCE এ
BD=CE [কল্পনা]
BE=CD [কল্পনা]
এবং BC সাধারণ বাহু,
∵△BDC ≅ △BCE [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
∵∠BCD=∠CBE
বা, ∠ACB=∠ABC (প্রমাণিত)
৩. চিত্রে, AB = AC, BD = DC এবং BE = CF (In the figure AB = AC, BD = DC and BE = CF)। প্রমাণ কর যে, ∠EDB = ∠FDC (Prove that ∠EDB = ∠FDC)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, △ABC এ AB=AC, BD=DC এবং BE=CF. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠EDB=∠FDC.
প্রমাণঃ
△ABC এ AB = AC
ফলে, ∠B=∠C [কেননা ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ পরস্পর সমান হয়]
আবার, BD = CD
ফলে, ∠BED=∠CFD. [কেননা ত্রিভুজের সমান কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান হয়]
এখন, △BED এবং △CDF এর ক্ষেত্রে,
∠B = ∠C.
∠BED = ∠CFD
এবং BE = CF [ অনুরুপ বাহু]
∵△BED ≅ △CDF
∵∠EDB=∠FDC (প্রমাণিত)
৪. চিত্রে, AB = AC এবং ∠BAD = ∠CAE (In the figure, AB = AC and ∠BAD = ∠CAE)। প্রমাণ কর যে, AD = AE (Prove that AD = AE)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABD ও △ACE এর মধ্যে,
AB = AC
এবং ∠BAD = ∠CAE.
প্রমাণ করতে হবে যে, AD = AE.
প্রমাণঃ
△ABD এবং △ACE এর মধ্যে
AB=AC
এবং ∠BAD=∠CAE
সুতরাং, BD=CE [কারনঃ সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান হয়]
∵△ABD ≅ △ACE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
অতএব, AD=AE (প্রমাণিত)
৫. ABCD চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক (In the quadrilateral ABCD, AC is the bisector of the ∠BAD and ∠BCD)। প্রমাণ কর যে, ∠B=∠D (Prove that ∠B = ∠D)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, চতুর্ভুজ ABCD এ AC, ∠BAD ও ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠B = ∠D.
প্রমাণঃ
△ABC এবং △ADC এর মধ্যে,
∠BAC = ∠CAD [AC, ∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক]
∠BCA = ∠ACD [AC, ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক]
এবং AC সাধারন বাহু।
∵△ABC ≅ △ADC [কোণ বাহু কোণ উপপাদ্য]
∵∠B = ∠D (প্রমাণিত)
৬. চিত্রে, AB এবং CD পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে (In the figure, the sides AB and CD of a quadrilateral ABCD are equal and parallel and the diagonals AC and BD intersect at the point O)। প্রমাণ কর যে, AD = BC (Prove that AD = BC)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, চতুর্ভুজ ABCD এর AB ও CD পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং AC ও BD কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, AD = BC.
প্রমাণঃ
△ADC এবং △ABC এর মধ্যে
CD=AB
AC সাধারণ বাহু।
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ACD=অন্তর্ভুক্ত ∠BAC [একান্তর কোণ]
∵△ADC ≅ △ABC [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
∵AD=BC (প্রমাণিত)
৭. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমির প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় পরস্পর সমান (Prove that, the perpendiculars from the end points of the base of an isosceles triangle to the opposite sides are equal)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, △ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। BC ভূমির B এবং C হতে BE ও CF বিপরীত বাহুর উপর দুটি লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যে, BE=CF.
প্রমাণঃ
△ABC এ AB=AC হওয়ায় ∠B=∠C.
এখন, △BCE ও △BCF এ ∠BCE=∠CBF.
∠BEC=∠BFC [মনকোণ বলে]
এবং BC সাধারণ বাহু।
∵△BCE ≅ △BCF [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
∵BE=CF (প্রমাণিত)
৮. প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজের ভুমির প্রান্ত বিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (Prove that, if the perpendiculars from the end point-s of the base of a triangle to the opposite side-s are equal, then the triangle is an isosceles triangle)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, △ABC এর BC ভূমির B ও C বিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর দুটি লম্ব হলো BE ও CF । BE ও CF সমান হলে, প্রমাণ করতে হবে যে, ABC ত্রিভুজটা সমদ্বিবাহু।
প্রমাণঃ
BE ও CF লম্ব হওয়ায় △BEC ও △BCF দুটি সমকোণী ত্রিভুজ।
এখন, △BEC ও △BCF দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ এর মধ্যে,
BE = CF
এবং BC অতিভুজ ও সাধারণ বাহু।
∵△BEC ≅ △BCF [অতিভুজ বাহু উপপাদ্য]
∵∠BCE = ∠CBF
বা, ∠C=∠B
এখন, △ABC এ
∠B=∠C
∵ AB = AC
∵△ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (প্রমাণিত)
৯. ABCD চতুর্ভুজের AB = AD এবং ∠B = ∠D = এক সমকোণ (In the quadrilateral ABCD, AB = AD and ∠B = ∠D = 1 right angle)। প্রমাণ কর যে, △ABC≅△ADC (Prove that △ABC ≅ △ADC).
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, চতুর্ভুজ ABCD এর AB = AD এবং ∠B = ∠D = এক সমকোণ।
প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC≅△ADC.
প্রমাণঃ
△ABC ও △ADC সমকোণী ত্রিভুজ দুটির মধ্যে,
AB = AD
এবং AC অতিভুজ ও সাধারণ বাহু।
∵△ABC ≅ △ADC [অতিভুজ বাহু উপপাদ্য] (প্রমাণিত)
No comments:
Post a Comment