সর্বসমতা বা সর্বসম বা ≅
৭ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ১০.১ এর প্রশ্ন সমাধান
১. চিত্রে, CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক (In the figure, CD is the perpendicular bisector of AB)। প্রমাণ কর যে, ΔADC ≅ ΔBDC (Prove that MDC≅ MDC)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, ΔABC এর CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ কর যে, ΔADC≅ΔBDC.
প্রমাণঃ
যেহেতু, CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক সেহেতু, AD=BD ও ∠ADC = ∠BDC = এক সমকোণ।
এখন, ΔADC ও ΔBDC-এ
AD = BD
CD সাধারন বাহু
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ADC = অন্তর্ভুক্ত ∠BDC = এক সমকোণ।
∴ΔADC≅ΔBDC
২. চিত্রে, CD=CB এবং, ∠DCA=∠BCA (In the figure, CD = CB and ∠DCA= ∠BCA)। প্রমাণ কর যে, AB=AD (Prove that AB = AD)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, CD=CB এবং, ∠DCA=∠BCA. প্রমাণ করতে হবে যে, AB=AD.
প্রমাণঃ
ΔACD ও ΔACB এ
CDE=CB [দেওয়া আছে]
AC সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত ∠DCA=অন্তর্ভুক্ত ∠BCA
∴ΔACD≅ΔACB
∴AB=AD(প্রমাণিত)
৩. চিত্রে, ∠BAC=∠ACD এবং AB=DC (In the figure ∠BAC= ∠ACD and AB= DC)। প্রমাণ কর যে, AD = BC, ∠CAD = ∠ACB এবং ∠ADC = ∠ABC (Prove that AD= BC, ∠CAD = ∠ACB and ∠ADC=∠ABC)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, ∠BAC=∠ACD এবং AB=DC.
প্রমাণ করতে হবে যে, AD=BC, ∠CAD = ∠ACB ও ∠ADC=∠ABC.
প্রমাণঃ
ΔABC ও ΔADC এ
AB=DC [দেওয়া আছে]
AC উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত∠BAC=অন্তর্ভুক্ত∠ACD
∴ΔABC≅ΔADC
∴AD=BC, ∠CAD=∠ACB এবং ∠ADC=∠ABC (প্রমাণিত)
৪. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু বাদে অপর বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সমান (Prove that the two outer angles are equal to each other if the other side is extended on both sides except the equal arm of the isosceles triangle)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচন
মনে করি, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এর AB = AC এবং ত্রিভুজের ভুমি BC কে একদিকে E এবং অপরদিকে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABF = ∠ACE.
প্রমাণঃ
∠ABF+∠ABC = এক সরল কোণ=দুই সমকোণ।
আবার, ∠ACE+∠ACB = এক সরল কোণ = দুই সমকোণ।
অতএব, ∠ABF+∠ABC = ∠ACE+∠ACB
কিন্তু ΔABC এ AB = AC হওয়ায় ∠ABC = ∠ACB
এখন, ∠ABF+∠ABC = ∠ACE+∠ABC
বা, ∠ABF = ∠ACE (প্রমাণিত)
৫. চিত্রে, AD=AE, BD=CE এবং ∠AEC = ∠ADB (In the figure, AD= AE, BD= CE and ∠AEC=∠ADB)। প্রমাণ কর যে, AB = AC (Prove that AB = AC)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
দেওয়া আছে, AD = AE, BD = CE ও. ∠AEC = ∠ADB. প্রমাণ করতে হবে যে, AB=AC.
প্রমাণঃ
ΔADB ও ΔAEC এ
AD = AE ও BD = CE.
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AEC=অন্তর্ভুক্ত ∠ADB.
∴ΔADB ≅ ΔAEC
∴AB=AC (প্রমাণিত)
৬. চিত্রে, ΔABC এবং ΔDBC দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (In the figure, ΔABC and ΔDBC are both isosceles triangles)। প্রমান কর যে, ΔABD ≅ ΔACD (Prove that, ΔABD ≅ ΔACD)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, ΔABC এবং ΔDBC দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। প্রমান করতে হবে যে, ΔABD≅ΔACD.
প্রমাণঃ
ΔABC সমদ্বিবাহু হওয়ায় AB=AC
আবার, ΔDBC সমদ্বিবাহু হওয়ায় BD=DC.
এখন, ΔABC এবং ΔDBC এর মধ্যে,
AB=AC
BD=DC এবং AD সাধারণ বাহু।
∴ΔABD≅ΔACD (প্রমাণিত)
৭. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির প্রান্তবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত মধ্যমাদ্বয় সমান (Prove that isosceles triangles are equal to the median drawn on opposite sides from the vertex of the ground)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, ΔABC এ AB=AC এবং BE ও CD বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, BE=CD.
প্রমাণঃ
যেহেতু, CD ও BE মধ্যমা সেহেতু, D, AB এর ও E, AC এর মধ্যবিন্দু।
যেহেতু, AB=AC
সুতরাং 1/2AB=1/2AC
বা, BD=CE.
আবার, AB=AC হওয়ায় ∠ABC=∠ACB
এখন ΔBDC ও ΔBCE এর মধ্যে BD=CE
BC সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত∠DBC= অন্তর্ভুক্ত∠BCE.
∴ΔBDC ≅ ΔBCE
∴CD=BE (প্রমাণিত)
৮. প্রমাণ কর যে, সমবাহু ত্রিভুজের কোণদ্বয় পরস্পর সমান (Prove that the angles of an equilateral triangle are equal to one another)।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বাচনঃ
মনে করি, ABC একটা সমবাহু ত্রিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A = ∠B = ∠C.
প্রমাণঃ
সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পপর সমান।
এখন, AB=AC হওয়ায় ∠B=∠C---------------(i)
আবার, BC=AC হওয়ায় ∠B=∠A--------------(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∠A=∠B=∠C [প্রমাণিত]
No comments:
Post a Comment