সপ্তম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১০.৩ - সদৃশতা

সদৃশতাঃ

১. চিত্রটি লক্ষ্য করিঃ

চিত্রে, ABCD সামন্তরিক। ∠B=কত?

(ক) ∠C          (খ) ∠D
(গ) ∠A-∠D    (ঘ) ∠C-∠D
উত্তরঃ খ

২. △ABC এ ∠B>∠C হলে কোনটি সঠিক?

(ক) BC>AC      (খ) AB>AC
(গ) AC>BC       (ঘ) AC>AB
উত্তরঃ ঘ

৩. চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি কত?

(ক) ১ সমকোণ    (খ) ২ সমকোণ
(গ) ৩ সমকোণ    (গ) ৪ সমকোণ 
উত্তরঃ ঘ

৪. △ABC এ ∠A=70⁰, ∠B=20⁰  হলে ত্রিভুজটি কী ধরনের?

(ক) সমকোণী     (খ) সমদ্বিবাহু
(গ) সূক্ষ্মকোণী    (ঘ) সমবাহু
উত্তরঃ ক

৫. নিচের প্রতিটি চিত্রে দুইটি সদৃশতার কারণ বর্ণনা করঃ

সমাধানঃ

(a)

△ABE এবং △ACD এর মধ্যে
∠DAC=∠EAB [সাধারণ কোণ]
∠EBA=∠DCA [∴BE।।CD]
এবং ∠AEB=∠ADC [অবশিষ্ট কোণ]
∴উভয় ত্রিভুজের কোণগুলো সমান।
সুতরাং, ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

(b)

△QPN এবং △LPM এ
∠PQN =∠PML [দেওয়া আছে]
∠QPN=∠LPM
∠PNO=∠PLM[অবশিষ্ট কোণ]
∴ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ কারণ ত্রিভুজদ্বয়ের কোণগুলো সমান।

(c)

△VZY এবং △YWX-এ
∠VYZ=∠WYZ [বিপ্রতীপ কোণ]
△VYZ △WXY-এ
VY:YX=YZ:WY=2:3
∴প্রদত্ত ত্রিভুজদ্বয়ের দুইটি অনুরূপ বাহু সামানুপাতিক এবং অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয় সমান। সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

(d)

△JGI এবং △KGH-এ
∠JGI=∠KGH [সাধারণ কোণ]
∠JIG=∠KHG [উভয়ই সমকোণ]
∴∠GJI=∠KHG [অবশিষ্ট কোণ]
∴ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ, কারণ উভয় ত্রিভুজের সকল কোণ সমান।

(e)

△ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ,
যার ভূমি BC=6
অতিভুজ AC=7+3=10
∴পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AC²=BC²+AB²
বা,  10⁰=6²+AB²
বা,  AB²=100-26
বা,  AB²=64
বা,  AB=8
∴ ভূমিঃউচ্চতাঃঅতিভুজ=6:8:10
আবার, △ECD সমকোণী ত্রিভুজে
ভূমি CE=3 এবং  DE=5
DE²=CE²+CD²
বা,  5²=3²+CD²
বা,  CD²=25-9
বা,  CD²=16
বা,  CD=4
এক্ষেত্রে, ভূমিঃউচ্চতাঃঅতিভুজ=3:4:5=6:8:10 [2 দ্বারা গুণ করে]
∴উভয় ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের অনুপাত সমান।
∴ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

(f)

△VYZ সমকোণী ত্রিভুজে,
অতিভুজ, VY=26,
ZY=10
VZ=24 (পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগে)
△WXY সমকোণী ত্রিভুজে,
অতিভুজ XY=13
YW=5
WX=12 (পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগে)
∴△VYZ : △WXY
5 : 12 : 13=10 : 24 :26 [বাহুত্রয়ের অনুপাত সমান]
∴ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।

৬. প্রমাণ কর যে, নিচের প্রতিটি চিত্রের ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।

(a)

সমাধানঃ

যেহেতু, AB ।। DE এবং AE তাদের ছেদক
∠BAE=∠DEA  [একান্তর কোণ]
আবার, AB ।। DE এবং BD ছেদক
∠ABD=∠EDB [একান্তর কোণ]
এবং ∠BCA=∠ECD [বিপ্রতীপ কোণ]
∴△ABC এবং△CDE এর সকল কোণ পরস্পর সমান।
সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ (প্রমাণিত)

(b)

সমাধানঃ
△WTX এবং △PPTL-এ
∠TWX=∠TPL=90⁰
∠WTX=∠PTL [সাধারণ কোণ]
∴∠TXW=∠TLP [অবশিষ্ট কোণ]
∴উভয় ত্রিভুজের সকল কোণ পরস্পর সমান।
সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ (প্রমাণিত)

৭. দেখাও যে, △PTN এবং △RWT সদৃশ।

সমাধানঃ

△PTN এর বাহুগুলোর অনুপাত=PN : PT : NT = 3 : 4 : 5
△TWR এর বাহুগুলোর অনুপাত= TR : WR : WT =9 : 12 : (10+5)=9 : 12 : 15 =3 : 4 : 5
∴উভয় ত্রিভুজের বাহুগূলোর অনুপাত সমান।
সুতরাং ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ (প্রমাণিত)

৮. DY রেখাংশ ∠CWD কোণটির দ্বিখন্ডক। দেখাও যে, △CDY ও △YDW সদৃশ।

সমাধানঃ

△CDY-এ ∠CDY সংলগ্ন বাহুর অনুপাত=CD : DY = 6.75 : 9 = 2.25 : 3
আবার, △YDW-এ ∠YDW সংলগ্ন বাহুর অনুপাত= YD : DW = 9 : 12 = 2.25 : 3
∴উভয় ত্রিভুজের সকল বাহুর অনুপাত সমান হবে।
∴△CDY ও △YDW সদৃশ(প্রমাণিত)

৯. নিচের প্রতিটি সদৃশ ত্রিভুজ জোড়া থেকে y এর মান বের কর।

সমাধানঃ

১ম জোড়া ত্রিভুজের ক্ষেত্রেঃ
যেহেতু ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ,
6 : 8 : y = 12 : 16 : 20
6 : 8 : y = 6 : 8 : 10
∴y=10

২য় জোড়া ত্রিভুজের ক্ষেত্রেঃ

যেহেতু ত্রিভুজদ্ব সদৃশ সেহেতু এদের বাহুগুলোর অনুপাত সমান।
সুতরাং, 7.5 : y = 6 : 10
বা, 7.5/y=6/10
বা, 6y=10✕7.5
বা, y=75/6
বা, y=12.5

১০. প্রমান কর যে, চিত্রের ত্রিভুজ তিনটি সদৃশ।

সমাধানঃ

△GDE-এ ∠GED=90⁰
∴△GFE-এ ∠GEF=90⁰
ধরি, EF=x
সুতরাং, DE=5-x [DF=5]
△GDF সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে পাই,
GE²+DE²=GD²
GE²=GD²-DE²=3²-(5-x)²=9-(5-x)²----------(1)
△GEF সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে পাই,
GE²+EF²=GF²
GE²=GF²-EF²=4²-x²=16-x²---------------(2)
∴9-(5-x)²=16-x²
বা, x²-(5-x)²=16-9
বা, (x-5+x)(x+5-x)=7
বা, 5(2x-5)=7
বা, 10x-25=7
বা, 10x=7+25
বা, x=32/10
বা, x=3.2
∴EF=3.2
DE=5-3.2=1.8
আবার, GE²=16-x²  [সমীকরণ হতে]
=16-(3.2)²=16-10.24=5.76
∴GE=2.4
△GDE এর বাহুর অনুপাত=1.8 : 2.4 : 3=0.6 : 0.8 : 1 [3 দ্বরা ভাগ করে]
△GEF এর বাহুর অনুপাত=2.4 : 3.2 : 4 = 0.6 : 0.8 : 1 [4 দ্বরা ভাগ করে]
△GDE এর বাহুর অনুপাত= 3 : 4 : 5 = 0.6 : 0.8 : 1 [5 দ্বরা ভাগ করে]
যেহেতু সকল ত্রিভুজের বাহুগুলোর আনুপাত সমান সেহেতু ত্রিভুজগুলো সদৃশ (প্রমাণিত)

১১. চতুর্ভুজ দুইটির অনুরূপ কোণ ও অনুরূপ বাহুগুলো চিহ্নিত কর। চতুর্ভুজ দুইটি সদৃশ কি-না যাচাই কর।

সমাধানঃ

১ম চিত্রে, ∠A=70⁰ এবং ২য় চিত্রে, ∠B=70⁰
১ম চিত্রে, ∠X=110⁰ এবং ২য় চিত্রে, ∠K=110⁰
১ম চিত্রে, ∠T=110⁰ এবং ২য় চিত্রে, ∠G=110⁰
১ম চিত্রে, ∠P=70⁰  এবং ২য় চিত্রে, ∠F=70⁰
∠A এর অনুরুপ ∠B, ∠X এর অনুরুপ ∠K,
∠T এর অনুরূপ ∠G এবং ∠X এর অনুরূপ ∠K
আবার, AX বাহু=2 সেমি এবং BK বাহু =1 সেমি
XT বাহু=1.8 সেমি এবং KG বাহু =0.9 সেমি
TP বাহু=1.6 সেমি এবং GF বাহু =0.8 সেমি
PA বাহু=2.8 সেমি এবং FB বাহু =1.4 সেমি
দেখা যাচ্ছে,অনুরূপ বাহুগুলো সমানুপাতিক।
AX=BK, XT=KG, TP=GF এবং PA=FB
 সুতরাং চতুর্ভুজ দুইটি সদৃশ।

১২. 1 মিটার দৈর্ধ্যের একটি লাঠি মাটিতে দন্ডায়মান অবস্থায় 0.4 মিটার ছায়া ফেলে। একই সময়ে একটি খাড়া গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 7 মিটার হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধানঃ

চিত্রে, গাছটির উচ্চতা h মিটার।
লাঠির প্রান্তবিন্দু ও ছায়ার প্রান্তবিন্দু যোগ করি। গাছের প্রান্ত বিন্দু ও এর ছায়ার প্রান্তবিন্দু যোগ করি।
মনে করি, △ABC ও △DEF দুইটি সদৃশ ত্রিভুজ উৎপন্ন হলো।
কারন, ∠ABC=∠DEF; ∠BAC=∠EDF
তাহলে,
DE/AB=BC/EF
বা, h/7=1/4
বা, h=17.5
∴গাছটির উচ্চতা=17.5 মিটার।