বীজগণিতীয় ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠকরন যোগ ও বিয়োগঃ
১. লঘিষ্ঠ আকারে
প্রকাশ করঃ
4x2y3z5
(ক)
-------------
9x5y2z3
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
4x2y3z5
= ------------
9x5y2z3
এখানে,
4 ও 9 এর গসাগু 1
x2 ও x5 এর গসাগু x2
y3 ও y2 এর গসাগু y2
z5 ও z3 এর গসাগু z3
∴ 4x2y3z5 ও 9x5y2z3
এর গসাগু x2y2z3
প্রদত্ত সমীকরণ এর লব ও হরকে x2y2z3
দ্বারা ভাগ করে পাই
4yz2
-----
9x3
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো
4yz2
-----
16(2x)4(3y)5
(খ)
------------------
(3x)3.(2y)6
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
16(2x)4(3y)5
= ----------------
(3x)3.(2y)6
24✕24✕x4✕35y5
= ---------------------
33x3.26y6
2835x4y5
=------------
2633x3y6
এখানে,
28 ও 26 এর গসাগু হলো 26
35 ও 33 এর গসাগু হলো 33
X4 ও x3 এর গসাগু হলো x3
Y5 ও y6 এর গসাগু হলো y5
∴16(2x)4(3y)5 ও (3x)3(2y)6
এর গসাগু হলো 2633x2y3
এখন প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব আর হরকে 2633x2y3
দ্বারা ভাগ করে পাই,
22.32..x
--------
y
4.9.x
=------
y
36x
=------
y
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো
36x
------
y
x3y+xy3
(গ)
---------------
x2y3+x3y2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
x3y+xy3
= ---------------
x2y3+x3y2
ভগ্নাংশের লব
= x3y+xy3
=xy(x2+y2)
ভগ্নাংশের হর
= x2y3+x3y2
=x2y2(x+y)
লব আর হরের গসাগু = xy
এখন প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে xy দ্বারা ভাগ করে পাই,
(x2+y2)
----------
xy(x+y)
∴ নির্ণেয় লঘিষ্ঠ আকার হলো
(x2+y2)
----------
xy(x+y)
(a-b)(a+b)
(ঘ)
---------------
a3-b3
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
(a-b)(a+b)
= --------------
a3-b3
(a-b)(a+b)
= --------------------
(a-b)(a2+ab+b2)
∴ লব আর হরের গসাগু = (a-b)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (a-b) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(a+b)
------------
a2+ab+b2
যা হলো প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
x2-6x+5
(ঙ)
-------------
x2-25
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশ
x2-6x+5
= ------------
x2-25
x2-5x-x+5
= -------------
x2-52
x(x-5)-1(x-5)
= -----------------
(x-5)(x+5)
(x-5)(x-1)
= ---------------
(x-5)(x+5)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(x-5)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-5) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(x-1)
------
(x+5)
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
x2-7x+12
(চ)
--------------
x2-9x+20
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব
x2-7x+12
= x2-3x-4x+12
=x(x-3)-4(x-3)
=(x-3)(x-4)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর
= x2-9x+20
= x2-4x-5x+20
=x(x-4)-5(x-4)
=(x-5)(x-4)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(x-4)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-4) দ্বারা ভাগ করে পাই,
x-3
------
x-5
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
(x3-y3)(x2-xy+y2)
(ছ) ---------------------
(x2-y2)(x3+y3)
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব
=(x3-y3)(x2-xy+y2)
=(x-y)(x2-xy+y2)(x2-xy+y2)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর
=(x2-y2)(x3+y3)
=(x+y)(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(x-y)(x2-xy+y2)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (x-y)(x2-xy+y2)
দ্বারা ভাগ করে পাই,
(x2—xy+y2)
------------
(x+y)2
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
a2-b2-2bc-c2
(জ)
------------------
a2+2ab+b2-c2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব
= a2-b2-2bc-c2
=a2-(b2+2bc+c2)
=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর
= a2+2ab+b2-c2
=(a+b)2-c2
=(a+b+c)(a+b-c)
∴ লব এবং হরের গসাগু =(a+b+c)
প্রদত্ত ভগ্নাংশের লব ও হরকে (a+b+c) দ্বারা ভাগ করে পাই,
(a-b-c)
-----------
(a+b-c)
যা প্রদত্ত ভগ্নাংশের লঘিষ্ঠ আকার।
২. সাধারণ হরবিশিষ্ট
ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ
(ক)
x2
---
xy
y2
---
yz
z2
---
zx
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশের হরগুলোর লসাগু = xyz
xyz/xy=z
x2
∴ ---
xy
x2✕z
= -------
xy✕z
x2z
= -------
xyz
xyx÷yz=x
y2
∴----
yz
y2✕x
=-------
yz✕x
xy2
=-------
xyz
xyx÷zx=y
z2
∴-----
zx
z2✕y
=--------
zx✕y
z2y
=-----
xyz
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলো
x2z
-----,
xyz
xy2
------- এবং
xyz
z2y
-----
xyz
(খ)
x-y
----
xy
y-z
----
yz
z-x
----
zx
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = xyz
তাহলে,
x-y
----
xy
(x-y)z
=--------
xyz
xz-yz
=--------
xyz
y-z
----
yz
(y-z)x
=--------
xyz
xy-xz
=---------
xyz
z-x
----
zx
(z-x)y
=---------
xyz
yz-xy
=---------
Xyz
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
xz-yz
--------,
xyz
xy-xz
--------- এবং
xyz
yz-xy
---------
xyz
(গ)
x
-----
x-y
y
-----
x+y
z
--------
x(x+y)
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর
লসাগু = x(x+y)(x-y)
তাহলে,
x
-----
x-y
x.x(x+y)
=--------------
(x-y).x(x+y)
x2(x+y)
=-----------
x(x2-y2)
y
-----
x+y
y.x(x-y)
=---------------
(x+y).x(x-y)
xy(x-y)
=------------
x(x2-y2)
z
--------
x(x+y)
z(x-y)
=--------------
x(x+y)(x-y)
z(x-y)
=------------
x(x2-y2)
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
x2(x+y)
-----------,
x(x2-y2)
xy(x-y)
---------- এবং
x(x2-y2)
z(x-y)
------------
x(x2-y2)
(ঘ)
x+y
-------
(x-y)2
x-y
-------
x3+y3
y-z
-------
x2-y2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর
১ম ভগ্নাংশের হর
=(x-y)2
=(x-y)(x-y)
২য় ভগ্নাংশের হর
=x3+y3
=(x+y)(x2-xy+y2)
৩য় ভগ্নাংশের হর
=x2-y2
=(x-y)(x+y)
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু
= (x-y)(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)
=(x-y)2(x3+y3)
তাহলে,
x+y
-------
(x-y)2
(x+y) (x3+y3)
=----------------
(x-y)2(x3+y3)
x-y
-------
x3+y3
(x-y) (x-y)2
=-----------------
(x3+y3)
(x-y)2
(x-y)3
=----------------
(x3+y3)
(x-y)2
y-z
-----
x2-y2
y-z
=-------------
(x-y)(x+y)
(y-z) (x-y)(x2-xy+y2)
=----------------------------
(x-y)(x+y)(x-y)(x2-xy+y2)
(y-z) (x-y)(x2-xy+y2)
=-------------------------
(x-y)2(x3+y3)
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
(x+y) (x3+y3)
----------------,
(x-y)2(x3+y3)
(x-y)3
---------------- এবং
(x3+y3)
(x-y)2
(y-z) (x-y)(x2-xy+y2)
------------------------
(x-y)2(x3+y3)
(ঙ)
a
------
a3+b3
b
------------
a2+ab+b2
c
-------
a3-b3
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর
১ম ভগ্নাংশের হর
=a3+b3
=(a+b)(a2-ab+b2)
২য় ভগ্নাংশের হর
= a2+ab+b2
৩য় ভগ্নাংশের হর
= a3-b3
=(a-b)(a2+ab+b2)
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু
= (a-b)(a+b)(a2-ab+b2)(a2+ab+b2)
= (a3-b3)(a3+b3)
তাহলে,
a
------
a3+b3
a(a3-b3)
=-----------------
(a3+b3)
(a3-b3)
a(a3-b3)
=------------
(a6-b6)
b
------------
a2+ab+b2
b(a-b)(a+b)(a2-ab+b2)
=-------------------------------------
(a2+ab+b2)
(a-b)(a+b)(a2-ab+b2)
b(a-b)(a3+b3)
=-------------------
(a3+b3)
(a3-b3)
b(a-b)(a3+b3)
=-----------------
(a6-b6)
c
-------
a3-b3
c(a3+b3)
=------------------
(a3-b3)
(a3+b3)
c(a3+b3)
=-------------
(a6-b6)
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
a(a3-b3)
------------,
(a6-b6)
b(a-b)(a3+b3)
----------------- এবং
(a6-b6)
c(a3+b3)
-------------
(a6-b6)
(চ)
1
----------
x2-5x+6
1
----------
x2-7x+12
1
----------
x2-9x+20
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে
১ম ভগ্নাংশের হর
= x2-5x+6
=x2-2x-3x+6
=x(x-2)-3(x-2)
=(x-2)(x-3)
২য় ভগ্নাংশের হর
= x2-7x+12
= x2-3x-4x+12
=x(x-3)-4(x-3)
=(x-3)(x-4)
৩য় ভগ্নাংশের হর
= x2-9x+20
= x2-4x-5x+20
=x(x-4)-5(x-4)
=(x-5)(x-4)
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
1
----------
x2-5x+6
1
=----------
(x-2)(x-3)
(x-4)(x-5)
=---------------------
(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
1
----------
x2-7x+12
1
=------------
(x-3)(x-4)
(x-2)(x-5)
=-----------------------
(x-3)(x-4)(x-2)(x-5)
1
----------
x2-9x+20
1
=-----------
(x-4)(x-5)
(x-2)(x-3)
=----------------------
(x-4)(x-5)(x-2)(x-3)
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
(x-4)(x-5)
--------------------,
(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
(x-2)(x-5)
----------------------- এবং
(x-3)(x-4)(x-2)(x-5)
(x-2)(x-3)
----------------------
(x-4)(x-5)(x-2)(x-3)
(ছ)
a-b
-----
a2b2
b-c
-----
b2c2
c-a
-----
c2a2
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = a2b2c2
তাহলে,
a-b
-----
a2b2
c2(a-b)
=---------
a2b2c2
b-c
-----
b2c2
a2(b-c)
=---------
a2b2c2
c-a
-----
c2a2
b2(c-a)
=---------
b2c2a2
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
c2(a-b)
---------,
a2b2c2
a2(b-c)
--------- এবং
a2b2c2
b2(c-a)
---------
b2c2a2
(জ)
x-y
-----
x+y
y-z
-----
y+z
z-x
----
z+x
সমাধানঃ
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর লসাগু = (x+y)(y+z)(z+x)
তাহলে,
x-y
-----
x+y
(x-y)(y+z)(z+x)
=--------------------
(x+y)(y+z)(z+x)
y-z
-----
y+z
(y-z)(x+y)(z+x)
=-------------------
(y+z)(x+y)(z+x)
z-x
----
z+x
(z-x)(x+y)(y+z)
=------------------
(z+x)(x+y)(y+z)
∴ সাধারণ
হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশগুলোঃ
(x-y)(y+z)(z+x)
-------------------,
(x+y)(y+z)(z+x)
(y-z)(x+y)(z+x)
------------------- এবং
(y+z)(x+y)(z+x)
(z-x)(x+y)(y+z)
------------------
(z+x)(x+y)(y+z)
৩. যোগফল নির্ণয়
করঃ
a-b a+b
(ক) ------ +
-------
a b
সমাধানঃ
a-b a+b
------ + -------
a b
b(a-b)+a(a+b)
=-------------------
ab
ab-b2+a2+ab
=------------------
ab
a2+2ab-b2
=--------------
ab
a b c
(খ)-----+-----+-----
bc ca ab
সমাধানঃ
a b c
----+-----+-----
bc
ca ab
a2+b2+c2
=--------------
abc
x-y
y-z z-x
(গ)
-----+-----+-----
x
y z
সমাধানঃ
x-y y-z z-x
-----+-----+-----
x y
z
yz(x-y)+zx(y-z)+xy(z-x)
=--------------------------
xyz
xyz-zy2+xyz-xz2+xyz-x2y
=----------------------------
xyz
3xyz-x2y-y2z-z2x
=--------------------
xyz
x+y x-y
(ঘ) ------- +
-------
x-y x+y
সমাধানঃ
x+y x-y
------- + -------
x-y
x+y
(x+y)2+(x-y)2
=---------------
(x-y)(x+y)
x2+2xy+y2+x2-2xy+y2
=--------------------------
x2-y2
2x2+2y2
=----------
x2-y2
2(x2+y2)
=----------
x2-y2
1 1 1
(ঙ)
----------+ ---------- +----------
x2-3x+2 x2-4x+3 x2-5x+4
সমাধানঃ
X2-3x+2
=x2-2x-x+2
=x(x-2)-1(x-2)
=(x-1)(x-2)
x2-4x+3
=x2-3x-x+3
=x(x-3)-1(x-3)
=(x-3)(x-1)
এবং,
x2-5x+4
= x2-4x-x+4
=x(x-4)-1(x-4)
=(x-1)(x-4)
তাহলে,
1 1 1
----------+ ---------- +----------
x2-3x+2 x2-4x+3 x2-5x+4
1 1 1
=------------+ ------------ +----------
(x-1)(x-2)
(x-3)(x-1) (x-4)(x-1)
1.(x-3)(x-4)+1.(x-2)(x-4)+1.(x-3)(x-2)
=-----------------------------------------
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
x2-7x+12+x2-6x+8+x2-5x+6
=---------------------------------
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
3x2-18x+26
=--------------------
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
1 1 1
(চ)--------+------------+------------
a2-b2 a2+ab+b2 a2-ab+b2
সমাধানঃ
1
1 1
--------+------------+------------
a2-b2 a2+ab+b2 a2-ab+b2
(a2+ab+b2)( a2-ab+b2)+(
a2-b2)( a2-ab+b2)
+( a2-b2)(
a2-ab+b2)
=------------------------------------------
(a2-b2)(
a2+ab+b2)( a2-ab+b2)
a4-a3b+a2b2+a3b-a2b2+ab3+a2b2-ab3+b4
+(a-b)(a+b) ( a2-ab+b2)+(a-b)(a+b) ( a2-ab+b2)
=--------------------------------------------------
(a-b)(a+b) ( a2+ab+b2)(
a2-ab+b2)
a4+a2b2+b4+(a-b)(a3+b3)+(a+b)(a3-b3)
=--------------------------------------------
(a3-b3)(a3+b3)
a4+a2b2+b4+a4+ab3-a3b-b4+a4-ab3+a3b-b4
=-----------------------------------------------
(a6-b6)
3a4+a2b2-b4
=--------------
a6-b6
1 1 4
(ছ)------+-------+--------
x-2 x+2 x2-4
সমাধানঃ
1 1 4
------+-------+--------
x-2 x+2 x2-4
1
1 4
=------+-------+--------------
x-2
x+2 (x-2)(x+2)
(x+2)-(x-2)+4
=-------------------
(x-2)(x+2)
x+2-x+2+4
=----------------
x2-4
8
=---------
x2-4
1
1 4
(জ) ------
+-------+-------
x2-1 x4-1 x8-1
সমাধানঃ
1 1 4
------ +------+-------
x2-1 x4-1 x8-1
1 1
=------ +----------------
x2-1 (x2-1)(x2+1)
4
+---------------
(x4-1)(x4+1)
1 1
=------ +----------------
x2-1 (x2-1)(x2+1)
4
+---------------------
(x2-1)(x2+1)(x4+1)
(x2+1)(x4+1)+(x4+1)+4
=--------------------------
(x2-1)(x2+1)(x4+1)
x6+x4+x2+1+x4+1+4
=------------------------
(x4-1)(x4+1)
x6+2x4+x2+6
=----------------
x8-1
৪. বিয়োগফল নির্ণয়
করঃ
a a2
(ক) ----- - -------
x-3
x2-9
সমাধানঃ
a a2
----- - -------
x-3 x2-9
a a2
=----- - --------------
x-3 (x-3)(x+3)
a(x+3)-a2
=--------------
(x-3)(x+3)
ax+3a-a2
=-----------
1 1
(খ) -------- -
-------------
y(x-y) x(x+y)
সমাধানঃ
1 1
-------- - --------
y(x-y) x(x+y)
1.x(x+y)-1.y(x-y)
=-------------------
xy(x-y)(x+y)
x2+xy-xy+y2
=---------------
xy(x2-y2)
x2+y2
=-------------
xy(x2-y2)
x+1 x-1
(গ)--------- -
-----------
1+x+x2 1-x+x2
সমাধানঃ
x+1 x-1
--------- - ---------
1+x+x2 1-x+x2
(x+1)(1-x+x2)-(x-1)( 1+x+x2)
=-------------------------------
(1+x+x2)(1-x+x2)
(x+1)(1-x+x2)-(x-1)( 1+x+x2)
=-------------------------------
{(1+x2)+x}{(1+x2)-x}
(x3+1)-(x3-1)
=---------------
(1+x2)2-x2
x3+1-x3+1
=----------------
1+2x2+x4-x2
2
=------------
1+x2+x4
a2+16b2 a-4b
(ঘ)
------------ - -----------
a2-16b2 a+4b
সমাধানঃ
a2+16b2 a-4b
------------ - ---------
a2-16b2 a+4b
a2+16b2 a-4b
=------------ - ---------
a2-(4b)2 a+4b
a2+16b2 a-4b
=---------------- - ---------
(a-4b)(a+4b) a+4b
a2+16b2-(a-4b)(a-4b)
=-----------------------
(a-4b)(a+4b)
a2+16b2-(a-4b)2
=-------------------
(a-4b)(a+4b)
a2+16b2-a2+8ab-16b2
=-------------------------
(a-4b)(a+4b)
8ab
=----------------
(a-4b)(a+4b)
1 x2-xy+y2
(ঙ)------- -
-------------
x-y x3+y3
সমাধানঃ
1 x2-xy+y2
------- - ----------
x-y x3+y3
x3+y3-(x-y)(
x2-xy+y2)
=-------------------------
(x-y)( x3+y3)
x3+y3-x3+x2y-xy2+x2y-xy2+y3
=-------------------------------
(x-y)( x3+y3)
2x2y-2xy2+2y3
=-----------------
(x-y)(x3+y3)
2y(x2-xy+y2)
=--------------------------
(x-y)( x+y)(x2-xy+y2)
2y
=---------------
(x-y)(x+y)
2y
=--------
x2-y2
৫. সরল করঃ
(ক)
x-y y-z z-x
-----+-----+-------
xy yz zx
সমাধানঃ
x-y y-z z-x
-----+-----+-----
xy yz zx
z(x-y)+x(y-z)+y(z-x)
=-----------------------
xyz
zx-zy+xy-zx+yz-xy
=-----------------------
xyz
0
=------
xyz
=0
(খ)
x-y y-z z-x
------------ + ------------- + ---------------
(x+y)(y+z) (y+z)(z+x) (z+x)(x+y)
সমাধানঃ
x-y y-z z-x
------------ + -------------+------------
(x+y)(y+z) (y+z)(z+x) (z+x)(x+y)
(z+x)(x-y)+(x+y)(y-z)+(y+z)(z-x)
=------------------------------------
(x+y)(y+z)(z+x)
zx+x2-zy-xy+xy+y2-zx-yz+yz+z2-xy-za
=----------------------------------------------
(x+y)(y+z)(z+x)
x2+y2+z2-xy-yz-xz
=---------------------
(x+y)(y+z)(z+x)
(গ)
y x z
----------- + ------------+-----------------
(x-y)(y-z) (z-x)(x-y) (y-z)(x-z)
সমাধানঃ
y x z
----------- + ----------- + -----------
(x-y)(y-z) (z-x)(x-y) (y-z)(x-z)
y(z-x)+x(y-z)-z(x-y)
=-------------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
yz-xy+xy-zx-zx+yz
=----------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
-2zx+2yz
=------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
-2z(x-y)
=------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
-2z
=--------------
(y-z)(z-x)
(ঘ)
1 1 2x
------- + ------ +-----------
x+3y x-3y x2-9y2
সমাধানঃ
1 1 2x
------- + ------ + ---------
x+3y x-3y
x2-9y2
1 1 2x
=-------+------+----------
x+3y x-3y {x2-(3y)2}
1 1 2x
=-------+------+----------------
x+3y x-3y (x-3y)(x+3y)
(x-3y)+(x+3y)+2x
=----------------------
(x-3y)(x+3y)
x-3y+x+3y-2x
=-----------------
(x-3y)(x+3y)
0
=---------------
(x-3y)(x+3y)
=0
(ঙ)
1
2 1 2
----- - ------- + ------ - ----------
x-y 2x+y x+y 2x-y
সমাধানঃ
1 2 1 2
----- - ------- + ------ - -------
x-y 2x+y x+y 2x-y
2x+y-2(x-y) 2x-y-2(x+y)
=------------- + --------------
(x-y)(2x+y) (x+y)(2x-y)
2x+y-2x+2y 2x-y-2x-2y
=------------- + --------------
(x-y)(2x+y) (x+y)(2x-y)
3y -3 y
=------------- + --------------
(x-y)(2x+y) (x+y)(2x-y)
3y(x+y)(2x-y)-3y(x-y)(2x+y)
=----------------------------------
(x-y)(2x+y)(x+y)(2x-y)
3y(2x2+2xy-xy-y2)-3y(2x2-2xy+xy-y2)
=---------------------------------------------
(x2-y2)(4x2-y2)
3y(2x2+xy-y2)-3y(2x2-xy-y2)
=---------------------------------
(x2-y2)(4x2-y2)
6x2y+3xy2-3y3-6x2y+3xy2+3y3
=-------------------------------------
(x2-y2)(4x2-y2)
6xy2
=---------------------
(x2-y2)(4x2-y2)
(চ)
1 x-2 6x
----- -
------------- + ---------
x-2 x2+2x+4 x3+8
সমাধানঃ
1 x-2 6x
----- - ----------- + ---------
x-2 x2+2x+4 x3+8
x2+2x+4-(x-2)(x-2) 6x
=---------------------- + --------
(x-2)(x2+2x+4) x3+8
x2+2x+4-(x2-4x+22) 6x
=---------------------- + --------
(x-2)(x2+2x+4) x3+8
x2+2x+4-x2+4x-4 6x
=---------------------- + --------
(x-2)(x2+2x+4) x3+8
6x 6x
=-------------------- + --------
(x-2)(x2+2x+4) x3+8
[(x-2)(x2+2x+4)=x3+2x2+4x-2x2-4x-8=x3-8]
6x 6x
=--------- + --------
x3-8 x3+8
6x(x3+8)+6x(x3-8)
=---------------------
(x3-8)(x3+8)
6x4+48x+6x4-48x
=--------------------
(x3)2-(8)2
12x4
=----------
(x6-64)
(ছ)
1 1 2 4
----- - ----- - ------ + ---------
x-1 x+1 x2+1 x4+1
সমাধানঃ
1 1 2 4
----- - ----- - ------ + ---------
x-1 x+1 x2+1 x4+1
x+1-(x-1) 2 4
=------------- - ------- + -------
(x-1)(x+1) x2+1 x4+1
x+1-x+1 2 4
=------------- - ------- + -------
(x-1)(x+1) x2+1 x4+1
2 2 4
=-------- - ------- + -------
x2-1 x2+1 x4+1
2(x2+1)-2(x2-1) 4
=------------------ + --------
(x2-1)(x2+1) x4+1
2x2+2-2x2+2 4
=------------------ + --------
(x2-1)(x2+1) x4+1
4 4
=-------- + --------
x4-1 x4+1
4(x4+1)+4 (x4-1)
=-------------------
(x4-1)( x4+1)
4x4+4+4x4-4
=-------------------
(x4-1)( x4+1)
8x4
=-----------
(x8-1)
(জ)
x-y y-z z-x
----------- + ----------
+ ----------
(y-z)(z-x) (z-x)(x-y) (x-y)(x-z)
সমাধানঃ
x-y y-z z-x
----------- + ---------- + -----------
(y-z)(z-x) (z-x)(x-y)
(x-y)(x-z)
x-y y-z z-x
=----------- + ---------- + -----------
(y-z)(z-x) (z-x)(x-y) (x-y)(z-x)
(x-y)2+(y-z)2-(z-x)(y-z)
=-----------------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
x2-2xy+y2+y2-2yz+z2-(zy-z2-xy+zx)
=--------------------------------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
x2-2xy+y2+y2-2yz+z2-zy+z2+xy-zx
=-----------------------------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
x2-xy+2y2-3yz+2z2+xy-zx
=--------------------------------
(x-y)(y-z)(z-x)
(ঝ)
1 1 a
------ + ------- + ------------------
a-b-c a-b+c a2+b2-c2-2ab
সমাধানঃ
এখানে,
a2+b2-c2-2ab
=(a-b)2-c2
=(a-b-c)(a-b+c)
তাহলে,
1 1 a
------+-------+--------------------
a-b-c a-b+c a2+b2-c2-2ab
1 1 a
=------+-------+-------------------
a-b-c a-b+c (a-b-c)(a-b+c)
a-b+c+ a-b-c+a
=-------------------
(a-b-c)(a-b+c)
3a-2b
=----------------
a2+b2-c2-2ab
(ঞ)
1 1
----------------+---------------------
a2+b2-c2+2ab b2+c2-a2+2bc
1
+-------------------
c2+a2-b2+2ca
সমাধানঃ
এখানে,
a2+b2-c2+2ab=(a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)
b2+c2-a2+2bc=(b+c)2-a2=(a+b+c)(b+c-a)
c2+a2-b2+2ca=(c+a)2-b2=(a+b+c)(c+a-b)
∴
1 1
----------------+---------------------
a2+b2-c2+2ab b2+c2-a2+2bc
1
+-------------------
c2+a2-b2+2ca
1 1
=------------------+---------------------
(a+b+c)(a+b-c) (a+b+c)(b+c-a)
1
+----------------------
(a+b+c)(c+a-b)
(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)(c+a-b)
+(a+b-c)(b+c-a)
=---------------------------------------
(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
ab-ca-a2-b2-bc+ab+bc+c2-ca+a2
+ab+ca-ab-b2+bc+ca+bc-c2+bc
+ca-a2+b2+bc-ab-bc-c2+ca
=---------------------------------------
(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
2ab+2bc+2ca-a2-b2-c2
=--------------------------------------
(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
No comments:
Post a Comment