নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৩.৫ - বীজগাণিতিক সমস্যাবলি

 

বীজগাণিতিক সমস্যাবলি:

১. f(x)=x²-4x+4 হলে, f(2) এর মান নিচের কোনটি?

ক) 4    খ) 2    গ) 1    ঘ) 0
উত্তরঃ ঘ

২. ½{(a+b)²-(a-b)²} এর মান নিচের কোনটি?

ক) 2(a²+b²)    খ) a²+b²    গ) 2ab    ঘ) 4ab
উত্তরঃ গ

৩. x+2/x=3 হলে, x³+8/x³ এর মান কত?

ক) 1    খ) 8    গ) 9    ঘ) 16
উত্তরঃ গ

৪. p⁴+p²+1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষায়িত রূপ নিচের কোনটি?

ক) (p²-p+1)(p²+p-1)    খ) (p²-p-1)(p²+p+1)
গ) (p²+p+1)(p²+p+1)    ঘ) (p²-p-1)(p²-p+1)
উত্তরঃ ঘ

৫. যদি x=2-√3 হয়, x³ তবে এর মান কত?

ক) 1    খ) 7-4√3   
গ) 2+√3    ঘ) 1/(2-√3)
উত্তরঃ খ

৬. f(x)=x²-5x+6 এবং f(x)=0 হলে x=কত?

ক) 2,3    খ) -5,1    গ) -2,3    ঘ) 1,-5
উত্তরঃ ক

৭. 9x²+16y²এর সাথে কত যোগ করলে পূর্ণপবর্গ রাশি হবে?

ক) 6xy    খ) 12xy    গ) 24xy    ঘ) 144xy
উত্তরঃ গ

x⁴-x²+1=0 হলে, নিচের ৮-১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৮. x²+1/x² এর মান কত?

ক) 4    খ) 2    গ) 1    ঘ) 0
উত্তরঃ গ

৯. (x+1/x)² এর মান কত?

ক) 4    খ) 3    গ) 2    ঘ) 0
উত্তরঃ খ

১০. x³+1/x³ এর মান কত?

ক) 3    খ) 2    গ) 1    ঘ) 0
উত্তরঃ ঘ

১১. a²+b²=9 এবং ab=3 হলে

(i) (a-b)²=3    (ii) (a+b)²=15   (iii)  a²+b²+a²b²=18

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii খ) i, iii  গ) ii,iii    ঘ) i,  ii,  iii
উত্তরঃ ঘ

১২. 3a⁵-6a⁴+3a+14 একটি বীজগাণিতিক রাশি হলে-

(i) রাশিটির চলক a   (ii) রাশিটির মাত্রা 5    (iii) a⁴ এর সহগ 6

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i, ii খ) i, iii  গ) ii,iii    ঘ) i,  ii,  iii
উত্তরঃ ঘ

১৩. p³-1/64 এর উৎপাদক-

(i) p-1/4    (ii) p²+p/4+1/8   (iii) p²+p/4+1/16

নিচের কণটি সঠিক?

ক) i, ii খ) i, iii  গ) ii,iii    ঘ) i,  ii,  iii
উত্তরঃ খ

১৪. ক একটি কাজ p দিনে করে এবং খ 2p দিনে করে। তারা একটি কাজ আরম্ভ করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজটুকু খ r দিনে শেষ করে। কাজটি কত দিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধানঃ
ধরি, কাজটি করতে সময় লাগে x দিন।
∴  খ একা কাজ করে r দিন এবং ক ও খ একত্রে করে (x-r) দিনে।
ক একদিনে করে  কাজটির				1 --   অংশ p
খ একদিনে করে  কাজটির				1 --   অংশ 2p
ক ও খ একদিনে করে  কাজটির						1 -- p	+	1 -- 2p
				=		3  ----   অংশ 2p
∴ক ও খ (x-r) দিনে করে  কাজটির						3(x-r) --------  অংশ   2p
খ একা r দিনে করে কাজটির						r -----  অংশ 2p
প্রশ্নমতে,	[(ক+খ) এর (x-r) দিনের কাজ]+ খ এর r দিনের কাজ]=সম্পূর্ণ কাজ।
বা,	3(x-r) ------      +   2p				r --     =    1 2p
বা,	3(x-r)+r ----------   =   1    2p
বা,	3x-2r = 2p
বা,	3x = 2p+2r
বা,	x =	2(p+r) -------    3
∴   কাজটি শেষ  হয়েছিল			2(p+r) ---------   দিনে     3

১৫. দৈনিক 6 ঘণ্টা পরিশ্রম করে 10 জন লোক একটি কাজ 7 দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে 14 জন 6 দিনে ঐ কাজটি করতে পারবে?

সমাধানঃ

10 জন লোকে একটি কাজ 7 দিনে শেষ করে দৈনিক 6 ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴1 জন লোকে একটি কাজ 1 দিনে শেষ করে দৈনিক =6✕10✕7=420 ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴14 জন লোকে একটি কাজ 6 দিনে শেষ করে দৈনিক 420/(6✕14)=5 ঘণ্টা পরিশ্রম করে

১৬. মিতা একটি কাজ 10 দিনে করতে পারে। রিতা সে কাজ 15 দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধানঃ

মিতা 10 দিনে করতে পারে 1 বা সম্পূর্ণ অংশ
∴মিতা 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/10 অংশ
আবার,
রিতা 15 দিনে করতে পারে 1 বা সম্পূর্ণ অংশ
∴রিতা 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/15 অংশ
∴তারা একত্রে একদিনে করতে পারে (1/10+1/15)=3/30+2/30=5/30=1/6 অংশ
অতএব,
তারা একত্রে কাজটির 1/6 অংশ করে 1 দিনে
∴তারা একত্রে পুরো বা 1 অংশ করে 6/1=6 দিনে।  

১৭. বনভোজনে যাওয়ার জন্য 5700 টাকায় একটি বাস ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো যে, প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। 5 জন যাত্রী না যাওয়ায় মাথাপিছু ভাড়া 3 টাকা বৃদ্ধি পেল। বাসে কতজন যাত্রী গিয়েছিল।

সমাধানঃ
	মনে করি, বনভোজনে যাওয়ার জন্য আগ্রহী যাত্রী সংখ্যা=x
∴	মাথা পিছু ভাড়া হত			5700   x		টাকা
∴	5 জন না আসায় যাত্রী সংখ্যা x-5
∴	মাথা পিছু ভাড়া হল			5700   x-5		টাকা
প্রশ্নমতে,
	5700  x-5	=	5700   x	+	3
বা,	5700  x-5	-	5700    x	=	3
বা,	x.5700-(x-5).5700       (x-5)x			=	3
বা,	5700(x-x+5)     x(x-5)			=	3
বা,	5700✕5   x(x-5)			=	3
বা,	1900✕5    x2-5x			=	1
বা,	x2-5x = 9500
বা,	x2-5x-9500=0
বা,	x2-100x+95x-9500 = 0
বা,	x(x-100)+95(x-100)=0
বা,	(x-100)(x+95)=0
	তাহলে, x=100; -95 গ্রহনযোগ্য নয় কারন যাত্রী সংখ্যা ঋণাত্বক হতে পারে না। অতএব, বাসে গিয়েছিল (100-5) =95 জন যাত্রী।

১৮. একজন মাঝি স্রোতের প্রতিকূলে p ঘণ্টায় d কিমি যেতে পারে। স্রোতের অনুকুলে ঐ পথ যেতে তাঁর q ঘণ্টা লাগে। স্রোতের বেগ ও নৌকার বেগ কত?

সমাধানঃ

স্রোতের প্রতিকূলে p ঘণ্টায় যায় d কিমি পথ
∴স্রোতের প্রতিকূলে 1 ঘণ্টায় যায় d/p কিমি পথ
আবার,
স্রোতের অনুকূলে q ঘণ্টায় যায় d কিমি পথ
∴স্রোতের প্রতিকূলে 1 ঘণ্টায় যায় d/q কিমি পথ
মনে করি, স্রোতের বেগ ঘন্টায় y কিমি পথ
এবং স্থির পানিতে নৌকার বেগ x কিমি।
প্রশ্নমতে,
x+y=d/q………………..(i)
x-y=d/p………………….(ii)
এখন, (i)+(ii) করে পাই,

	প্রশ্নমতে,
	x+y	=	d q	…………..(i)
	x-y	=	d p	…………(ii)
	(i)+(ii)	করে পাই,
	2x	=	d q	+	d p
বা,	x	=	d 2q	+	d 2p
		=	d 2	( 1/q+1/p )
	(i)-(ii)	করে পাই,
	2y	=	d q	-	d p
		=	d 2q	-	d 2p
		=	d 2	( 1/q-1/p )
∴নৌকার বেগ			d 2	( 1/q+1/p )		কিমি
∴স্রোতের বেগ			d 2	( 1/q-1/p )		কিমি

১৯. একজন মাঝির দাঁড় বেয়ে 15 কিমি যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 4 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকুলে যতক্ষনে 5 কিমি যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষনে 3 কিমি যায়। দাড়ের বেগ ও স্রোতের বেগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ মনে করি, দাঁড়ের বেগ ঘন্টায় x কিমি এবং নৌকার বেগ ঘণ্টায় y কিমি।
প্রশ্নানুসারে,
	15 ---- x+y	+	15 ---- x-y		=	4
বা,	15(x-y)+15(x+y)  ----------------------     (x+y)(x-y)					=	4
বা,	15x-15y+15x+15y=4(x+y)(x-y)
বা,	30x=4(x2-y)2
বা,	15x=2(x2-y)2   ……(i)
আবার,
	5 --- x+y	=	3 --- x-y
বা,	5x-5y=3x+3y
বা,	5x-3x=3y+5y
বা,	2x=8y
বা,	x=4y…………………(ii)
	x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
	15✕4y=2{(5y)2-y2}
বা,	60y=2(16y2-y2)
বা,	60y=30y2
বা,	2=y
	∴y=2
	এবং x=4✕2=8

২০. একটি চৌবাচ্চায় দুইটি নল সংযুক্ত আছে। প্রথম নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি  t₁ মিনিটে পূর্ণ হয় এবং দ্বিতীয় নল দ্বারা t₂ মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষনে পূর্ণ হবে?(এখানে, t₁>t₂)

সমাধানঃ

১ম নল দ্বারা, t₁ মিনিটে পূর্ণ হয় 1 বা সম্পূর্ণ ট্যাংক
১ম নল দ্বারা, 1 মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকের 1/t₁ অংশ
আবার,
২য় নল দ্বারা, t₂ মিনিটে খালি হয় 1 বা সম্পূর্ণ ট্যাংক
২য় নল দ্বারা, 1 মিনিটে খালি হয় ট্যাংকের 1/t₂ অংশ
দুইটি নল একত্রে খুলে দিলে 1 মিনিটে পূর্ণ হয়=(1/t₁-1/t₂) বা, (t₂-t₁)/t₁t₂ অংশ ট্যাংক।
এখন,
(t₂-t₁)/t₁t₂ অংশ ট্যাংক পূর্ণ হয় 1 মিনিটে
∴ 1 অংশ ট্যাংক পূর্ণ হয় t₁t₂/(t₂-t₁) মিনিটে।
∴ নির্ণেয় ট্যাংকটি t₁t₂/(t₂-t₁) মিনিটে পূর্ণ হবে।

২১. একটি নল দ্বারা 12 মিনিটে একটি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়। অপর একটি নল দ্বারা 1 মিনিটে তা থেকে 15 লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসঙ্গে খুলে দেওয়া হয় এবং চৌবাচ্চাটি 48 মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধানঃ

মনে করি, প্রথম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে x লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট y লিটার পানি ধরে।
প্রশানুসারে,
১ম নল দ্বারা 12 মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴y=12x
            y

বা, x = -----........(i)

           12
আবার, দুইটি নল দ্বারা 48 মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴y=48x-48✕15…………(ii)
x  এর মা (ii) নং এ বসাই,
            y

y=48✕------ - 48✕15

           12
বা,  y=4y-720
বা,  y-4y=-720
বা,  -3y=720
বা,  3y=720
বা,  y=240
∴চৌবাচ্চাটিতে মোট 240 লিটার পানি ধরে।

২২. ক, খ ও গ এর মধ্যে 260 টাকা এরূপে ভাগ করে দাও যেন ক এর অংশের 2 গুণ, খ এর অংশের 3 গুণ এবং গ এর অংশের 4 গুন পরস্পর সমান।

সমাধানঃ

মনে করি, ক এর অংশ✕2=খ এর অংশ✕3=গ এর অংশ✕4=x টাকা।
∴ ক এর অংশ=x/2 টাকা
খ এর অংশ=x/3 টাকা
গ এর অংশ=x/4 টাকা
প্রশ্নানুসারে,
x/2+x/3+x/4=260
বা,  (6x+4x+3x)/12=260
বা,  13x/12=260
বা,  13x=260✕12
বা,  13x=3120
বা,  x=3120/13
বা,  x=240
∴ ক এর অংশ=240/2=120 টাকা
খ এর অংশ=240/3=80 টাকা
গ এর অংশ=240/4=60 টাকা।

২৩. একটি দ্রব্য x% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়া যায়, 3x% লাভে বিক্রয় করলে তাঁর চেয়ে 18x টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্যা কত?

সমাধানঃ

মনে করি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য 100 টাকা
তাহলে, x% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (100-x) টাকা
আবার, 3x% লাভে বিক্রয়মূল্য=(100+3x) টাকা
∴পূর্বাপেক্ষা বিক্রয়মূল্য বেশি
=(100+3x)-(100-x) টাকা
=(100+3x-100+x) টাকা
=4x টাকা
এখন,
বিক্রয়মূল্য 4x টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য 1 টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য 100/4x=25/x টাকা
বিক্রয়মূল্য 18x টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (18x*25)/x =450 টাকা
∴ দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য 450 টাকা।

 

২৪. একটি কলম 11 টাকায় বিক্রয় করলে 10% লাভ হয়। কলমটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ

10% লাভে কলমটির ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য (100+10)=110 টাকা।
এখন,
বিক্রয়মূল্য 110 টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100 টাকা
∴বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে ক্রয়মূল্য 100/110 টাকা
∴বিক্রয়মূল্য 11 টাকা হলে ক্রয়মূল্য (100✕11)/110 টাকা=10 টাকা।
∴কলমটির ক্রয়মূল্য=10 টাকা।

২৫. একটি খাতা 36 টাকায় বিক্রয় করায় যত ক্ষতি হলো, 72 টাকায় বিক্রয় করলে তাঁর দ্বিগুন লাভ হতো, খাতাটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধানঃ

মনে করি, খাতাটির ক্রয়মূল্য x টাকা
এখন, 36 টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি=(x-36) টাকা
এবং 72 টাকায় বিক্রয় করলে লাভ=(72-x) টাকা
শর্তমতে,
(x-36)✕2=72-x
বা,  2x-72=72-x
বা,  2x+x=72+72
বা,  3x=144
বা, x=144/3
বা,  x=48
∴খাতাটির ক্রয়মূল্য 48 টাকা।

২৬. মুনাফার একই হারে 300 টাকার 4 বছরের সরল মুনাফা ও 400 টাকার 5 বছরের সরল মুনাফা একত্রে 128 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

সমাধানঃ

একই হার মুনাফায়, 300 টাকার 4 বছরের মুনাফা=100 টাকার (3✕4) বা 12 বছরের মুনাফা
আবার, 400 টাকার 5 বছরের মুনাফা=100 টাকার (4✕5) বা 20 বছরের মুনাফা
যেহেতু উভয় টাকার মুনাফা একত্রে 128 টাকা দেওয়া আছে সেহেতু,
100 টাকার (12+20) বা 32 বছরের মুনাফা 128 টাকা
অতএব,
100 টাকার 32 বছরের মুনাফা 128 টাকা
∴100 টাকার 1 বছরের মুনাফা 128/32=4 টাকা
∴মুনাফার হার=4%

২৭. 4% হার মুনাফায় কোনো টাকার 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে, মূলধন কত?

সমাধানঃ

মনে করি, মূলধন 100 টাকা
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে আমরা জানি, I=Pnr
এখানে, বিনিয়োগ কাল, n=2 বছর
মূলধন=100 টাকা
মুনাফার হার, r=4%=4/100
∴I=100✕2✕(4/100)=8 টাকা।
চক্রবৃদ্ধির ক্ষেত্রে C সবৃদ্ধি মূলধন হলে,
C=P(I+r)ⁿ
=100(1+4/100)²
=100{(100+4)/100}²
=100✕(104/100)²
=100✕(1.04)²
=108.16 টাকা।
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা=সবৃদ্ধি মূলধন-মূলধন=(108.16-100) টাকা= 8.16 টাকা।
মুনাফার পার্থক্য=(8.16-8.00 )টাকা=0.16 টাকা।
এখন,
মুনাফার পার্থক্য 0.16 টাকা হলে মূলধন 100 টাকা
∴মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে মূলধন (100/0.16) টাকা=625 টাকা।
∴মূলধন=625 টাকা।

২৮. কোনো আসল 3 বছরের সরল মুনাফাসহ 460 টাকা এবং 5 বছরে সরল মুনাফাসহ 600 টাকা হলে, শতকরা মুনাফার হার কত?

সমাধানঃ

এখানে, 5 বছরে মুনাফাসহ আসল 600 টাকা
  এবং,  3 বছরে মুনাফাসহ আসল 460 টাকা
(-)  করে, 2 বছরে মুনাফা       = 140 টাকা
∴2 বছরে মুনাফা=140 টাকা
∴1 বছরে মুনাফা 140/2 টাকা=70 টাকা।
∴3 বছরে মুনাফা=70✕3 টাকা= 210 টাকা।
এখন,
3 বছরের মুনাফাসহ আসল 460 টাকা
3 বছরের মুনাফা                 210 টাকা
(-) করে, আসল=                250 টাকা।
∴250 টাকায় 3 বছরের মুনাফা 210 টাকা
∴1 টাকায় 1 বছরের মুনাফা 210/(3✕250) টাকা
∴100 টাকায় 1 বছরের মুনাফা (210✕100)/(3✕250) টাকা=28 টাকা।
সুতরাং, মুনাফার হার= 28%

২৯. শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার সরল মুনাফায় কত টাকা 13 বছরে সবৃদ্ধিমূল 990 টাকা হবে?

সমাধানঃ

আমরা জানি, S=P(I+nr)
এখানে, S=সরল মুনাফার সবৃদ্ধিমূল=990 টাকা
n=মোট সময়=13 বছর
r=5%
প্রশ্নানুসারে,
990=P(1+13✕5%) 
বা,  990=P(1+65/100) [যেহেতু, 5%=5/100]
বা, 990=P{(100+65)/100}
বা,  990=P(165/100)
বা,  990=P(1.65)
বা,  P=990/1.65
বা,  P=600
∴মূলধন=600 টাকা।

৩০. শতকরা বার্ষিক 5 টাকা হার মুনাফার কত টাকা 13 বছরে সবৃদ্ধিমূল 1280 টাকা হবে?

সমাধানঃ

আমরা জানি, S=P(I+nr)
এখানে, S=সরল মুনাফার সবৃদ্ধিমূল=1280 টাকা
n=মোট সময়=12 বছর
r=5%
প্রশ্নানুসারে,
1280=P(1+12✕5%)
বা,  1280=P(1+60/100) [যেহেতু, 5%=5/100]
বা, 1280=P{(100+60)/100}
বা,  1280=P(160/100)
বা,  1280=P(1.60)
বা,  P=1280/1.60
বা,  P=800
∴মূলধন=800 টাকা।

৩১. 5% হার মুনাফায় 8000 টাকার 3 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধির মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি, চক্রবৃদ্ধির ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল, C=P(1+r)ⁿ
এখানে, বিনিয়োগ কাল, n=3 বছর।
মূলধন, P=8000 বছর
মুনাফার হার, r=5%
∴C=8000(1+5%)³
=8000{(100+5)/100}³
=8000(105/100)³
=8000(1.05)³
=9261
∴ সবৃদ্ধিমূল=9261 টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা=(9261-8000) টাকা =1261 টাকা
আবার,
আমরা জানি, সরল মুনাফার ক্ষেত্রে সুদ, I=Pnr
এখানে, P=মুনধন= 8000 টাকা
n= সময়= 3 বছর
r= মুনাফার হার = 5%
∴ I=800✕3✕5%=8000✕3✕(5/100)=1200 টাকা
∴ সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য
=(1261-1200)
=61 টাকা।

৩২. মিষ্টির উপর মূল্য সংযোজন কর x%। একজন বিক্রেতা ভ্যাটসহ P টাকার মিষ্টি বিক্রয় করলে তাকে কত টাকা ভ্যাট দিতে হবে? x=15, P=2300 হলে, ভ্যাটের পরিমান কত?

সমাধানঃ

এখানে, 100 টাকার ভ্যাট= x টাকা
∴ ভ্যাটসহ বিক্রয়মূল্য (100+x) টাকা
এখন, বিক্রয়মূল্য (100+x) টাকা হলে ভ্যাট দিতে হয় x টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে ভ্যাট দিতে হয় x/(100+x) টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য P টাকা হলে ভ্যাট দিতে হয় Px/(100+x) টাকা
∴নির্ণেয় ভ্যাটের পরিমাণ= Px/(100+x) টাকা
আবার, x=15, P=2300 হলে,
ভ্যাটের পরিমাণ=Px/(100+x)=2300✕15/(100+15)=34500/115=300 টাকা।
∴নির্ণেয় ভ্যাটের পরিমাণ=300 টাকা।

৩৩. কোনো সংখ্যা ও ঐ সংখ্যার গুনাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি 3।

ক) সংখ্যাটি x চলকে প্রকাশ করে উপরের তথ্যকে সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

খ) x³-1/x³ এর মান নির্ণয় কর।
গ) প্রমাণ কর যে, x⁵+1/x⁵=123

সমাধানঃ

ক)
মনে করি, সংখ্যাটি x
সংখ্যার গুণাত্মক রাশি 1/x
শর্তমতে, x+1/x=3

খ)

ক হতে পাই,
x+1/x=3
আমরা জানি,
(x-1/x)²=(x+1/x)²-4✕x✕1/x
বা,  (x-1/x)²=(3)²-4
বা,  (x-1/x)²=9-4
বা,  x-1/x=√5
এখন,
প্রদত্ত রাশি
=x³-1/x³
=(x-1/x)³+3.x.1/x.(x-1/x)
=(√5)³+3.√5
=5√5+3√5
=8√5
∴ নির্ণেয় মান=8√5

গ)

ক ও খ হতে পাই,
x+1/x=3 এবং
x-1/x=√5
∴ x²+1/x²=(x-1/x)²+2.x.1/x=(√5)²+2=5+2=7
∴x³+1/x³=(x+1/x)³-3.x.1/x.(x+1/x)=3³-3.3=27-9=18
∴ (x²+1/x²)(x³+1/x³)=7✕18
বা,  x⁵+1/x+x+1/x⁵=126
বা,  x⁵+1/x⁵+(x+1/x)=126
বা,  x⁵+1/x⁵+3=126
বা,  x⁵+1/x⁵=126-3
বা,  x⁵+1/x⁵=123 (প্রমাণিত)

৩৪. কোনো সমিতির সদস্যগণ প্রত্যেকেই সদস্য সংখ্যার 100 গুণ চাঁদা দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন। কিন্তু 4 জন সদস্য চাঁদা না দেওয়ায় প্রত্যেকের চাঁদার পরিমান পূর্বের চেয়ে 500 টাকা বেড়ে গেল।

ক) সমিতির সদস্য সংখ্যা x এবং মোট চাঁদার পরিমান A হলে, এদের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।

খ) সমিতির সদস্য সংখ্যা ও মোট চাঁদার পরিমাণ নির্ণয় কর।
গ) মোট চাঁদার  ¼ অংশ 5% হারে এবং অবশীষ্ট টাকা 4% হারে 2 বছরের জন্য সরল মুনাফায় বিনিয়োগ করা হলো। মোট মুনাফা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক)
সমিতির সদস্য সংখ্যা x
∴ প্রত্যেকে চাঁদা দেয় 100x টাকা
∴ A=x.100x টাকা=100x² টাকা
সম্পর্ক, A=100x²

খ)

4 জন চাঁদা না দেওয়ায় চাঁদা না দেওয়া সদস্য সংখ্যা (x-4)
প্রত্যেকে চাঁদা প্রদান করেন=(100x+500) টাকা।
সুতরাং, মোট চাঁদার পরিমাণ=(x-4)(100x+500)
প্রশ্নানুসারে,
100x²=(x-4)(100x+500)
বা,  100x²=100x²-400x+500x-2000
বা,  100x=2000
বা,  x=20
অর্থাৎ সমিতির সদস্য সংখ্যা 20 জন।
এবং মোট চাঁদার পরিমাণ=100✕(20)²=40000 টাকা।

গ)

খ হতে পাই, সদস্যের মোট চাঁদার পরিমাণ 40000 টাকা।
∴40000 টাকার ¼ অংশ=40000✕ ¼ টাকা=10000 টাকা।
বাকি টাকা=(40000-10000)=30000 টাকা।
এখানে, P₁ =10000 টাকা, P₂=30000 টাকা
n₁=2 বছর, n₂=2 বছর
r₁=5%=0.05, r₂=4%=0.04
∴মোট মুনাফা=P₁n₁r₁+ P₂n₂r₂=10000✕2✕0.05+30000✕2✕0.04=1000+240=3400 টাকা।
∴ নির্ণেয় মোট মুনাফা 3400 টাকা।

৩৫. বনভোজনে যাওয়ার জন্য একটি বাস 2400 টাকায় ভাড়া করা হলো এবং শর্ত হলো প্রত্যেক যাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে। 10 জন যাত্রী না আসায় মাথাপিছু ভাড়া 8 টাকা বৃদ্ধি পেল।

ক) মাথা পিছু বর্ধিত ভাড়ার পরিমান, না আসা যাত্রী সংখ্যার শতকতা কত তা নির্ণয় কর।

খ) বাসে যাওয়া যাত্রীর মাথা পিছু ভাড়া নির্ণয় কর।
গ) বাস ভাড়ার সমপরিমাণ টাকার 5% হার মুনাফায় 13 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক)
মাথাপিছু বর্ধিত ভাড়া=8 টাকা
না আসা যাত্রী সংখ্যা=10 জন
তাহলে, মাথা পিছু বর্ধিত ভাড়ার পরিমান, না আসা যাত্রী সংখ্যার =(8/10)✕100%=40%

খ)

বাস ভাড়া=2400 টাকা
মনে করি, বনভোজনে যাওয়ার জন্য আগ্রহী যাত্রী সংখ্যা=x
∴ মাথাপিছু ভাড়া হত= 2400/x টাকা।
10 জন যাত্রী না আসায় যাত্রী সংখ্যা =x-10
∴ মাথাপিছু ভাড়া হল= 2400/(x-10) টাকা।
প্রশ্নানুসারে,
2400/(x-10)=2400/x+8
বা,  2400/(x-10)=(2400+8x)/x
বা,  2400x=(2400+8x)(x-10)
বা,  2400x=2400x+8x²-24000-80x
বা,  2400x-2400x=8x²-80x-24000
বা,  0=8(x²-10x-3000)
বা,  x²-10x-3000=0
বা,  x²-60x+50x-3000=0
বা,  x(x-60)+50(x-60)=0
বা,  (x-60)(x+50)=0
বা,  x=60; x=-50 [অগ্রহনযোগ্য কারন যাত্রী সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না]
∴ বনভোজনে যাওয়ার জন্য আগ্রহী যাত্রী সংখ্যা=60 জন।
∴ 10 জন যাত্রী না আসায় যাত্রী সংখ্যা=60-10=50 জন।
∴ মাথাপিছু ভাড়া হল=2400/50=48 টাকা।

গ)

বাস ভাড়ার টাকা=2400 টাকা
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে,
P=2400 টাকা
n=13 বছর
r=5%=0.05
তাহলে, মুনাফা=Pnr=2400✕13✕0.05=1560 টাকা
আবার,
চক্রবৃদ্ধির মুনাফার ক্ষেত্রে,
চক্রবৃদ্ধির মুনাফা
=P(1+r)ⁿ-P
=2400(1+0.05)¹³-2400
=2400(1.05)¹³-2400
=4525.5579-2400
=2125.56 (প্রায়)
অতএব, সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য=2125.56-1560 টাকা=565.56 টাকা।

৩৬. দাঁড় বেয়ে একটি খালের A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে যেয়ে ফিরে আসতে হবে। দাঁড়ের বেগ ধ্রুব হলে স্রোত থাকলে সময় বেশি লাগবে না স্রোত না থাকলে সময় বেশি লাগবে?

সমাধানঃ

ধরি, দাঁড়ের বেগ x কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ y কিমি/ঘণ্টা
নদীর প্রস্থ AB=d কিমি
∴ স্রোতের অনুকুলে দাঁড়ের বেগ=x+y কিমি/ঘণ্টা
এবং, স্রোতের প্রতিকুলে দাঁড়ের বেগ=x-y কিমি/ঘণ্টা

স্রোতযুক্ত অবস্থায়,

A থেকে B তে যাওয়ার সময় মাঝি স্রোতের অনুকুলে যায়;
এক্ষেত্রে B বিন্দুতে যেতে সময় t₁ লাগলে; t₁=অতিক্রান্ত দূরত্ব/অনুকুলের বেগ=d/(x+y)
আবার, B থেকে A তে আসার সময় মাঝি স্রোতের প্রতিকুলে যায়;
এক্ষেত্রে A বিন্দুতে আসতে সময় t₂ লাগলে; t₂=অতিক্রান্ত দূরত্ব/প্রতিকুলের বেগ=d/(x-y)

তাহলে, মোট সময় লাগে,
t=t1+t2=	d x+y	+	d x-y
=	d(x-y)+d(x+y)    (x+y)(x-y)
=	d(x-y+x+y)     x2-y2
=	d.2x x2-y2
=	2dx x2-y2	……..(i)

স্রোতহীন অবস্থায়,

A থেকে B তে যাওয়ার সময় t₃=d/x
B থেকে A তে আসার সময় t₄=d/x

এক্ষেত্রে, মোট সময়
t’=t3+t4=	d x	+	d x
=	2d 2x
=	2dx  x2	….(ii)

এখন, (i) ও (ii) এর রাশির লব সমান; কিন্তু, x²-y²<x²;

অর্থাৎ,
2dx x2-y2	>	2dx x2

∴ স্রোতযুক্ত অবস্থায় বেশী সময় লাগবে।

৩৭. একটি মাঠে ধ্রুব হারে ঘাস বৃদ্ধি পায়। 17 টি গরু দিনে সব ঘাস খেয়ে ফেলতে পারে। তবে 19টি গরুর লাগে 24 দিন। একদল গরু 6 দিন ঘাস খাওয়ার পর 4 টি গরু বিক্রয় করা হলে ঘাস খাওয়া শেষ করতে আরো 2 দিন লাগলো। দলটিতে শুরুতে কতগুলো গরু ছিল।

সমাধানঃ

মনে করি, মাঠে শুরুতে ঘাস ছিল p ঘনমি
ঘাস বৃদ্ধির হার q ঘনমি/দিন
প্রতিটি গরুর ঘাস খাওয়ার হার r ঘনমি/দিন
১ম শর্তমতে,
p+30q=17r✕30
বা,  p+30q=510r…………..(i)
২য় শর্তমতে,
p+24q=19r✕24
বা,  p+24q=475r……………..(ii)
(i)-(ii) করে,
6q=54r
বা,  q=9r যা (i) নং এ বসিয়ে পাই,
p+30✕9r=510r
বা,  p+270r=510r
বা,  p=510r-270r
বা,  p=240r
৩য় শর্তমতে,
শুরুতে গরুর সংখ্যা ছিল x ধরে,
p+8q=6xr+2r(x-4)
বা,  240r+8✕9r=6xr+2xr-8r
বা,  240r+72r=8xr-8r
বা,  240r+72r+8r=8xr
বা,  320r=8xr
বা,  320=8x
বা,  x=320/8
বা,  x=40
∴ গরুর সংখ্যা ছিল 40 টি

৩৮. দুই ভাইয়ের একটি প্রশিক্ষিত ঘোড়া ছিল যা যেকোনো নির্দেশই পালন করতে পারে। দুই ভাই একই সময়ে বাসা থেকে রওনা হয়ে 20 মাইল দূরে একটি বৈশাখী মেলায় যেতে চায়। ঘোড়া যেকোনো মূহুর্তে মাত্র একজন ভাইকে বহন করতে পারে। ভাইদের বেগ ঘন্টায় 4 মাইল এবং ঘোড়ার বেগ ঘণ্টায় (মানুষসহ কিংবা ছাড়া) 10 মাইল হলে সর্বনিন্ম কত সময়ে তারা মেলায় পৌঁছাতে পারবে? প্রত্যেক ভাই কতটা পথ হাঁটবে?

সমাধানঃ

মনে করি,
প্রথম ভাইকে ঘোড়াটি t₁ সময় ধরে নিয়ে যাওয়ার পর তাকে নামিয়ে দিয়ে t₂ সময়ে ২য় ভাইয়ের কাছে পৌঁছায় এবং ঘোড়াটি t₃ সময়ে ২য় ভাইকে নিয়ে মেলায় পৌঁছায়।
তাহলে,
১ম ভাইয়ের অতিক্রান্ত দূরত্ব=10t₁+4t₂+4t₃=20………….(i)
২য় ভাইয়ের অতিক্রান্ত দূরত্ব=4t₁+4t₂+10t₃=20………….(ii)
ঘোড়ার অতিক্রান্ত দূরত্ব=10t₁-10t₂+10t₃=20………….(iii)
(i)-(ii) করে পাই,
6t₁-6t₃=0
বা,  6t₁=6t₃
বা,  t₁=t₃....................(iv)
(iii)-(ii) করে পাই,
6t₁-14t₂=0
বা,  6t₁=14t₂
বা,  t₁=7t₂/3
বা,  t₂=3t₁/7………..(v)
t₁ ও t₂ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
10t₁+4.3t₁/7+4t₁=20
বা, 14t₁+12t₁/7=20
বা,  (98t₁+12t₁)/7=20
বা, 110t₁=20✕7
বা,  110t₁=140
বা,  11t₁=14
বা,  t₁=14/11
বা,  t₃=14/11
এখন, t₁ এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই,
t₂=(3/7)✕(14/11)=6/11
∴ সর্বনিন্ম সময় লাগে
=t₁+t₂+t₃
=14/11+6/11+14/11
=34/11
=3পূর্ণ1/11 ঘণ্টা।
∴১ম ভাই হাঁটবে=4t₂+4t₃=4✕(6/11)+4✕(14/11)=24/11+56/11=80/11 মাইল।
∴২য় ভাই হাঁটবে=4t₁+4t₂=4✕(14/11)+4✕(6/11)=56/11+24/11=80/11 =মাইল।