নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৯.১ - ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয়

 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয়:

১. নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই কর। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

ক) tanA এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম

সমাধানঃ

উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তিঃ
আমরা জানি, tan60⁰=√3=1.73(প্রায়)>1
∴ “tanA এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম” উক্তিটি মিথ্যা।

খ) cotA হলো cot ও A এর গুণফল

সমাধানঃ

উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তিঃ
cot হলো ত্রিকোণমিতিক অনুপাত cotangent এর সংক্ষিপ্ত রুপ এবং A হলো কোণের পরিমান।
cotA প্রতীকটি A কোণের কোট্যানেজেন্ট অনুপাতকে বোঝায়। A বাদে cot আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না।

গ) A এর কোন একটি মানের জন্য secA=12/5

সমাধানঃ

          12

secA=-----

            5

        1        12

বা, ------=-------

      cosA      5

               12

বা, cosA=----=cos65.37⁰

                5

∴ A=65.37⁰

ঘ) cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ

সমাধানঃ

উক্তিটি মিথ্যা।
যুক্তিঃ
cos হলো cosine এর সংক্ষিপ্ত রূপ।

২. sinA=3/4 হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, sinA=3/4
অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু=3
এবং অতিভুজ=4
∴সন্নিহিত বাহু=√(4²-3²)= √(16-9)= √7=√(4+3)=2+√3
সুতরাং,

              2+√3

cosA=---------

                 4

              2+√3

cotA=-----------

                 3

                 3

tanA=-----------

              2+√3

                   4

cosecA=--------

                   3

                 4

secA=----------

              2+√3

৩. দেখাও যে, 15cotA=8, sinA ও secA এর মান বের কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
15cotA=8
বা,  cotA=8/15

অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু=15
সন্নিহিত বাহু=8
∴অতিভুজ=√(15²+8²)= √(225-64)= √289=17
সুতরাং, sinA=15/17 এবং secA=17/8

৪. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ, AB=13 সেমি, BC=12 সেমি এবং ∠ABC=θ হলে sinθ, cosθ ও tanθ এর মান বের কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
AB=13 সেমি এবং BC=12 সেমি
∴AC=√(13²-12²)= √(169-144)= √25=5 সেমি।
সুতরাং, sinθ=8/13, cosθ=12/13 ও tanθ=5/12

৫. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tanA=√3 হলে, √3sinAcosA=3/4 এর সত্যতা যাচাই কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, tanA=√3
অতএব, বিপরীত বাহু BC=√3, সন্নিহিত বাহু AB=1
∴অতিভুজ AC=√{√3)²+1²}=√(3+1)= √4=2
 সুতরাং, sinA=√3/2 ও cosA=1/2
তাহলে, √3sinAcosA=√3.( √3/2).(1/2)=3/4
সুতরাং, বাক্যটি সত্য।

প্রমাণ কর (৬-২০):

               1              1

৬. ক) --------- + ------------ = 1

           sec²A      cosec²A

বামপক্ষ=

   1              1

--------- + -----------

sec²A      cosec²A

       1              1

=  ------- + ----------

       1              1

   --------      ---------

   cos²A         sin²A

= cos²A+sin²A

=1

=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

       1              1

খ) ------- - ---------- = 1

     cos²A      cot²A

বামপক্ষ=

   1              1

------- - ---------

 cos²A      cot²A

=sec²A-tan²A

=1+tan²A-tan²A

=1

=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

        1              1

গ) ------- - ----------- = 1

      sin²A      tan²A

LHS=

    1              1

------- - -----------

  sin²A      tan²A

      1              1

=------- - -----------

    sin²A       sin²A

                 ----------

                   cos²A

      1          cos²A

=------- - -----------

    sin²A       sin²A

   1-cos²A

=----------

    sin²A

    sin²A

=--------

    sin²A

=RHS [Proved]

            sinA        cosA

৭. ক) ------- + ----------- = 1

           cosecA     secA

LHS=

  sinA         cosA

------- + -----------

 cosecA      secA

              1                     1

=sinA.-------- + cosA.--------

           cosecA             secA

=sinA.sinA+cosA+cosA

=sin²A+cos²A

=1

=RHS [Proved]

      secA      tanA

খ) ------- - ---------- = 1

      cosA      cotA

LHS=

   secA      tanA

------- - -----------

   cosA      cotA

              1                   1

=secA.------- - tanA.-------

            cosA              cotA

=secA.secA-tanA.tanA

=sec²A-tan²A

=1+tan²A-tan²A [sec²A=1+tan²A]

=1

=RHS [Proved]

          1                      1

গ) ------------ + ----------------- = 1

      1+sin²A         1+cosec²A

LHS=

     1                      1

------------ + ---------------

 1+sin²A         1+cosec²A

 

        1                      1

=------------ + ------------

   1+sin²A                1

                        1+----------

                              sin²A

        1                      1

=------------ + ---------------

   1+sin²A           sin²A+ 1

                          -----------

                              sin²A

        1                  sin²A

=------------ + ---------------

   1+sin²A           sin²A+ 1

   1 +sin²A                 

=------------

   1+sin²A

=1

=RHS [Proved]      

৮. ক) -------- + -------=secAcosecA+1

           1-cotA    1-tanA

সমাধানঃ

LHS =
tanA --------- 1-cotA	cotA + ------------- 1-tanA
sinA  ------- cosA = ---------    cosA 1- ------    sinA	cosA ----- sinA + -------------     sinA 1- -----      cosA
sinA ------- cosA = ----------- sinA-cosA ----------- sinA	cosA ----- sinA + --------------- cosA-sinA ----------- cosA
sinA         sinA          cosA        cosA = -------✕-----------+-------✕-----------      cosA     sinA-cosA     sinA      cosA-sinA
sin2A =----------------- cosA(sinA-cosA)	cos2A +------------------ sinA(cosA-sinA)
sin2A =----------------- cosA(sinA-cosA)	cos2A +------------------ -sinA(sinA-cosA)
sin2A =----------------- cosA(sinA-cosA)	cos2A - ------------------ sinA(sinA-cosA)
sin3A-cos3A = ----------------------------------- cosA.sinA(sinA-cosA)
(sinA-cosA)(sin2A+sinA.cosA+cos2A) = -------------------------------------- cosA.sinA(sinA-cosA)
(sin2A+sinA.cosA+cos2A) = --------------------------------- cosA.sinA
(sin2A+ cos2A)+ sinA.cosA = ---------------------------------- cosA.sinA
1+ sinA.cosA = ---------------------- cosA.sinA
1 = -------------- + sinA.cosA	sinA cosA ---------------- sinA cosA
1         1 =------- . -------   sinA       cosA	+  1
=cosecA.secA+1
=secA cosecA+1
=RHS [Proved]

           1                    1

খ) ------------ + ----------- = 1

       1+tan²A        1+cot²A

সমাধানঃ

LHS=

     1                    1

------------ + -----------

 1+tan²A        1+cot²A

     1                        1

=------------ + -----------

   1+tan²A               1

                        1+--------

                             tan²A

        1                  tan²A

=------------ + -----------

   1+tan²A        1+tan²A

    1+tan²A

=-----------

    1+tan²A

=1

=RHS [Proved]

        cosA            sinA

৯.  ---------- + --------- = sinA+cosA

       1-tanA        1-cotA

সমাধানঃ
LHS =
cosA = --------- 1-tanA	sinA + --------- 1-cotA
cosA = ---------    sinA 1- ------     cosA	sinA + ---------  cosA 1- ------   sinA
cosA =------------- cosA-sinA ----------- cosA	sinA + -------------- sinA-cosA ------------ sinA
cos2A =------------- cosA-sinA	sin2A + -------------- sinA-cosA
cos2A =------------- cosA-sinA	sin2A - -------------- cosA-sinA
cos2A-sin2A = ------------------------------ cosA-sinA
(cosA-sinA)(cosA+sinA) = ----------------------------- cosA-sinA
=cosA+sinA
=RHS [Proved]

১০. tanA√(1-sin²A)=sinA

সমাধানঃ

LHS =

tanA√(1-sin²A)

=tanA√(cos²A)

     sinA

= ------- ✕ cosA

     cosA

= sinA

=RHS [Proved]

       secA+tanA          cosecA-cotA

১১. ---------------- = ---------------

       cosecA+cotA        secA-tanA

সমাধানঃ

LHS=

 secA+tanA         

----------------

 cosecA+cotA

   (secA+tanA)(cosecA-cotA)(secA-tanA)         

=--------------------------------------------------

   (cosecA+cotA)(cosecA-cotA)(secA-tanA)

[লব ও হরকে (cosecA-cotA)(secA-tanA) দ্বারা গুণ করে]

   (cosecA-cotA)(sec²A-tan²A)         

=-------------------------------------------

    (cosec²A-cot²A)(secA-tanA)

   (cosecA-cotA)✕1

=-------------------

    1✕(secA-tanA)

   (cosecA-cotA)

=----------------

    (secA-tanA)

=RHS [Proved]

        cosecA            cosecA

১২. ------------- + ------------ = 2sec²A

         cosecA-1       cosecA+1

সমাধানঃ
LHS =
cosecA = ------------ cosecA-1	cosecA + ------------ cosecA+1
cosecA(cosecA+1)+cosecA(cosecA-1) = ------------------------------------------- cosec2A-1
2cosec2A =-------------- cot2A	[cosec2A-1 =cot2A]
= 2 cosec2A  ✕	1 ---------- cot2A
= 2 cosec2A.tan2A
1        sin2A = 2------.--------      sin2A   cos2A
1 = 2 ---------   cos2A
= 2 sec2A
= RHS [Proved]

           1                1

১৩. ---------- + ---------- = 2sec²A

        1+sinA        1-sinA

সমাধানঃ

LHS

       1                1

= ---------- + --------

   1+sinA       1-sinA

    1-sinA+1+sinA

= -------------------

   (1+sinA)(1-sinA)

          2

= ----------

    1+sin²A

       2

= --------

     cos²A

         1

= 2.--------

       cos²A

=2 sec²A

=RHS [Proved]

            1                   1

১৪. ------------ - ----------- = 2tan²A

         cosecA-1    cosecA+1

সমাধানঃ

LHS

         1                1

= ---------- - -----------

    cosecA-1  cosecA+1

   (cosecA+1)-(cosecA-1)

= -----------------------

         cosec²A-1

   cosecA+1-cosecA+1

= ----------------------

         cosec²A-1

         2

= ---------

      cot²A

          1

= 2.-------

       cot²A

=2tan²A

=RHS [Proved]

            sinA            1-cosA       

১৫.  ----------- + ----------- = 2cosecA

         1-cosA             sinA

সমাধানঃ

LHS

       sinA         1-cosA       

=  --------- + ---------

     1-cosA         sinA

   sin²A+(1-cosA)²

=-----------------

    sinA(1-cosA)

   sin²A+1-2cosA+cos²A

=------------------------

         sinA(1-cosA)

   sin²A+cos²A+1-2cosA

=------------------------

         sinA(1-cosA)

    1+1-2cosA

=-----------------

     sinA(1-cosA)

      2-2cosA

=----------------

     sinA(1-cosA)

      2(1-cosA)

=----------------

     sinA(1-cosA)

        2

=--------

     sinA

        2

=--------

        1    

    -------

    cosecA

=2.cosecA

=RHS [Proved]

            tanA           secA-1       

১৬. ------------ - ---------- = 0

         secA+1           tanA

সমাধানঃ

LHS

     tanA         secA-1       

= --------- - --------

    secA+1       tanA

   tan²A-(secA-1)(secA+1)

= -------------------------

         tanA(secA+1)

   tan²A-(sec²A-1)

= -----------------

     tanA(secA+1)

    tan²A-tan²A

= ----------------

     tanA(secA+1)

             0

= ----------------

     tanA(secA+1)

=RHS [Proved]

                                    1+sinθ       

১৭. (tanθ+secθ)²= ----------

                                    1-sinθ

সমাধানঃ

LHS

=(tanθ+secθ)²

       sinθ      1

=(------ + ------)²

      cosθ    cosθ

       sinθ+1

=(-----------)²

        cosθ

   (1+sinθ)²

=-----------

     cos²θ

   (1+sinθ)²

=-----------

    1-sin²θ

    (1+sinθ)(1+sinθ)

=---------------------

    (1-sinθ)(1+sinθ)

   1+sinθ

=----------

    1-sinθ

=RHS [Proved]

১৮. -------------- = cotA-tanB

        cotB+tanA 

সমাধানঃ

LHS

    cotA+tanA             

= -------------

    cotB+tanA

   cosA    sinB

   ------+------

   sinA    cosB

= --------------

   cosB    sinA

   ------+------

   sinB    cosA

   cosA.cosB+sinB.sinA

   -----------------------

          sinA.cosB

=-----------------------

   cosA.cosB+sinA.sinB

    -----------------------

           sinB.cosB

   cosA.cosB+sinB.sinA

=-----------------------

          sinA.cosB

         cosA.cosB+sinA.sinB

     ✕ ----------------------

               sinB.cosB

    sinB.cosA

=------------

    sinA.cosB

    sinB.cosA

=------.-----

    cosB.sinA

=tanB.cotA

=cotA.tanB

=RHS [Proved]

                  1-sinA             

১৯.√(--------------) = secA-tanA

                 1+sinA 

সমাধানঃ

LHS

              1-sinA             

=√(--------------)

              1+sinA 

   √(1-sinA)

=------------

   √(1+sinA)

   √(1-sinA).√(1-sinA)

=------------------------

   √(1+sinA).√(1-sinA)

[নব ও হরকে √(1-sinA) দ্বারা গুণ করে]

   {√(1-sinA)}²

=------------

   √(1-sin²A)

   1-sinA

=---------

  √cos²A

   1-sinA

=--------

     cosA

     1         sinA

=------ - -------

   cosA     cosA

=secA-tanA

=RHS [Proved]

                 secA+1            

২০.√ (-------------) = cotA+cosecA

                 secA-1 

সমাধানঃ

LHS

              secA+1            

=√ (-------------)

               secA-1 

  √(secA+1)   √(secA+1)

=-------------✕------------

  √(secA-1)     √(secA+1)

[লব ও হরকে √(secA+1) দ্বারা গুণ করে]

  {√secA+1)}²

=--------------

  √(sec²A-1)

   secA+1

=---------

   √tan²A

   secA+1

=---------

     tanA

   secA     1

=-------+-----

    tanA   tanA

             1      1

=secA------+-----

          tanA   tanA

=secA.cotA+cotA

=cosecA+cotA

=cotA+cosecA

=RHS [Proved]

২১. cosA+sinA=√2cosA হলে, তবে প্রমাণ কর যে, cosA-sinA=√2sinA

সমাধানঃ

cosA+sinA=√2cosA

বা,  √2cosA+√2sinA=√2.√2cosA [√2 দ্বারা গুণ করে]

বা,  cosA+sinA+√2sinA=2cosA [cosA+sinA=√2cosA]

বা,  √2sinA=2cosA-cosA-sinA

বা,  √2sinA=cosA-sinA

∴ cosA-sinA=√2sinA [প্রমাণিত]

                          1            

২২. যদি tanA=------ হয়, তবে,

                   √3        

cosec²A-sec²A

---------------------এর মান নির্ণয় কর।

cosec²A+sec²A

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

             1            

tanA=------

        √3   

       1      

বা, ------- =√3   

     tanA  

বা, cotA=√3

প্রদত্ত রাশি,

cosec²A-sec²A

--------------------

cosec²A+sec²A

   (1+cot²A)-(1+tan²A)

=--------------------------

   (1+cot²A)+(1+tan²A)

   1+cot²A-1-tan²A

=-----------------------

   1+cot²A+1+tan²A

     cot²A-tan²A

=--------------------

   2+cot²A+tan²A

     (√3)²-(1/√3)²

=--------------------

   2+(√3)²+(/√3)²

       3-1/3

=-------------

   2+3+1/3

    9-1

   -----

     3

= ------

   6+9+1

   --------

      3

   8

  ---

   3

=---

  16

  ---

   3

   8      3

=---✕----

   3     16

   1

=---

   2

অতএব, নির্ণেয় মান=1/2

২৩. cosecA-cotA=4/3 হলে, cosecA+cotA এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

cosecA-cotA=4/3

    (cosecA-cotA)(cosecA+cota)   4

বা,-------------------------------=---

            (cosecA+cotA)                  3

    (cosec²A-cot²A)    4

বা,------------------=---

      (cosecA+cotA)    3

           1                     4

বা,------------------=---

      (cosecA+cotA)    3

বা, 4(cosecA+cotA)=3

বা, cosecA+cotA=3/4

২৪. cotA=b/a হলে,

asinA-bcosA

------------------এর মান নির্ণয় কর।

asinA+bcosA

সমাধানঃ

asinA-bcosA

----------------

asinA+bcosA

   asinA    bcosA

   ------- - ------

   sinA        sinA

=----------------

   asinA     bcosA

   ------- + -------

   sinA        sinA

[লব ও হরকে sinA দ্বারা ভাগ করে]

   a-b cotA

=-----------

   a+b cotA

   a-b.b/a

=----------- [b এর মান বসিয়ে]

   a+b.b/a

   a-b²/a

=---------

   a+b²/a

   a²-b²

  ------

    a

=-----

  a²-b²

  ------

    a

   a²-b²       a

=------✕------

     a         a²+b²

    a²-b²      

=--------

    a²+b²

২৫. cosecA-cotA=1/x হলে,

ক) cosecA+cotA এর মান নির্ণয় কর

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, cosecA-cotA=1/x

আমরা জানি,

cosec²A-cot²A=1

বা, (cosecA+cotA)(cosecA-cotA)=1

বা, (cosecA+cotA)(1/x)=1 [মান বসিয়ে]

∴ cosecA+cotA=x

                                     x²+1

খ) দেখাও যে, secA = ------

                                     x²-1

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

cosecA+cotA=x

      1      cosA

বা,-----+-------=x

     sinA   sinA

     1+cosA

বা,-----------=x

        sinA

     (1+cosA)²

বা,-----------=x²

        (sinA)²

     1+2cosA+cos²A

বা,-------------------=x²

            sin²A

     1+2cosA+cos²A+sin²A   x²+1

বা,--------------------------=-----

     1+2cosA+cos²A-sin²A     x²-1

[যোজন বিয়োজন করে]

     1+2cosA+1                          x²+1

বা,-----------------------------=-----

     1+2cosA+cos²A-(1-cos²A)  x²-1

          2+2cosA                          x²+1

বা,-----------------------------=-----

     1+2cosA+cos²A-1+cos²A     x²-1

          2+2cosA        x²+1

বা,-----------------=-----

     2cosA+2cos²A     x²-1

          2(1+cosA)      x²+1

বা,-----------------=-----

     2cosA(1+cosA)   x²-1

        1      x²+1

বা,-------=-----

     cosA   x²-1

               x²+1

বা,secA =----- (দেখানো হলো)

               x²-1

গ) উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, tanA+cotA=secA.cosecA

সমাধানঃ

খ হতে পাই,

           x²+1

secA =-----

           x²-1

অর্থাৎ,

অতিভুজ     x²+1

-----------=-------

ভূমি             x²-1

∴লম্ব=√{(x²+1)²-(x²-1)²}=√4x²=2x

             লম্ব      2x

∴ tanA=------=------

              ভূমি   x²-1

            ভূমি    x²-1

cotA=------=------

             লম্ব     2x

            অতিভুজ    x²+1

cosecA=----------=------

             লম্ব            2x

এখন,

বাপপক্ষ

= tanA+cotA

   2x      x²-1

=-----+------

   x²-1     2x

   4x²+(x²-1)²

=------------

    2x(x²-1)

   4x²+x⁴-2x²+1

=---------------

    2x(x²-1)

   x⁴+ 2x² +1

=-------------

    2x(x²-1)

ডানপক্ষ

= secA.cosecA

   x²+1     x²+1

=------✕-----

   x²-1       2x

   (x²+1)²

=---------

   2x(x²-1)

   x⁴+ 2x² +1

=-------------

    2x(x²-1)

∴tanA+cotA=secA.cosecA (প্রমাণিত)।