ষষ্ঠ শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী ৪.৩ সদৃশ ও বিসদৃশ পদ ও বীজগণিতীয় রাশির যোগ বিয়োগ

সদৃশ ও বিসদৃশ পদ ও বীজগণিতীয় রাশির যোগ বিয়োগ

১. 5x+3y রাশিটিতে x এর সহগ নিচের কোনটি?

(ক) 8    (খ) 5x

(গ) 3y   (ঘ) 5
উত্তরঃ ঘ

২. x এর তিনগুণ এবং y এর দ্বিগুণের সমষ্টি নিচের কোনটি?

(ক) y+3x  (খ) 3x+2y

(গ) x+2y  (ঘ) 2x+3y
উত্তরঃ খ

৩. 7x³✕x² এ এর সূচক নিচের কোনটি?

(ক) 7     (খ) 5
(গ)  x⁵   (ঘ) x⁶
উত্তরঃ খ

৪. নিচের কোন জোড়া সদৃষ প্পদ নির্দেশ করে?

(ক) 2x, -7xy     (খ) -3xy, 7x²y
(গ) 3x², -7x²    (ঘ) -7x²y, 8xy²
উত্তরঃ গ

৫. M2-7 রাশিটিতে m=-6 হলে, রাশিটির মান কত?

(ক) 36   (খ) 13
(গ) -29  (ঘ) 29
উত্তরঃ ঘ

৬. a-b থেকে b-a বিয়োগ করলে, বিয়োগফল কত হবে?

(ক) a+b    (খ) 0
(গ) 2a-2b  (ঘ) a
উত্তরঃ গ

৭. x²+3, x²-2, -2x²+1 রাশি তিনটির যোগফল কত?

(ক) 1        (খ) 2
(গ)  x²-1   (ঘ) 1-x²
উত্তরঃ খ

৮. 5x⁴ রাশিটিতে—

i.  x এর ঘাত 4
ii.  দুইটি পদ আছে
iii.  x⁴ এর সহগ 5

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii     (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ

৯. x ও y চলকদ্বয়ের—

i.  যোগফল x+y
ii.  গুণফল xy
iii.  বর্গের সমষ্টি x²-y²

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii       (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii      (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক

x²-y², y²-z² এবং z²-x²  তিনটি বীজগণিতীয় রাশির আলোকে (১০-১১) নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

১০. x=2 এবং y=-3 হলে ১ম রাশির মান কত?

(ক) -13     (খ) -5
(গ) 5         (ঘ) 13
উত্তরঃ খ

১১. রাশি তিনটির যোগফল কত?

(ক) 0                     (খ) 2x²
(গ) 2x²+2y²+2z²  (ঘ) -2x²-2y²-2z²
উত্তরঃ ক

১২. 

(i) 12x হলো x এবং 12 এর ঘাতের সমষ্টি
(ii) 4a³ রাশিটিতে a এর সূচক 3
(iii) 3x+4 রাশিতে x এর সহগ 3

উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii        (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii       (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ গ

১৩. 

(i) 5ax² এবং -7x²aএ পদ দুইটি সদৃশ।
(ii) 3x²+2x+y-5x বীজগণিতীয় রাশিটিতে ৪টি পদ আছে।
(iii) a=2 এবং b=3 হলে, 4a-b এর মান হবে 5.

উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii        (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii       (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ

১৪. 9x², 8x², 5y² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। তাহলে—

(১) রাশি তিনটির সাংখ্যিক সহগের যোগফল কত?

(ক) 13     (খ) 14
(গ)  17     (ঘ) 22
উত্তরঃ ঘ

(২) প্রথম দুইটি রাশির গূনফলের ঘাতের সূচক কত?

(ক) 72      (খ) 17
(গ) 4         (ঘ) 0
উত্তরঃ গ

১৫. x²+y²+z², x²-y²+z², -x²+y²-z² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি। এই তথ্যের ভিত্তিতে নিচের (১) থেকে (৪) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(১) প্রথম দুইটি রাশির বিয়োগফলের সাথে তৃতীয় রাশি যোগ করলে নিচের কোনটি হবে?

(ক) –x²+3y²-z²    (খ) 3x²-y²+3z²   
(গ) x²-3y²+z²      (ঘ) x²+y²+z²   
উত্তরঃ ক

(২) দ্বিতীয় রাশির y² এর সহগ কত?

(ক) 0      (খ) -1
(গ) 1       (ঘ) 2
উত্তরঃ খ

(৩) রাশি তিনটির যোগফল কত?

(ক) 3x²+y²+z²        (খ) 2x²+y²+z²     
(গ) x²+y²+z²         (ঘ) x²-y²+z²     
উত্তরঃ গ

(৪) প্রথম দুইটি রাশির যোগফলের থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল নিচের কোনটি হবে?

(ক) 3x²+2y²-z²      (খ) 3x²-y²+3z²     
(গ) x²+2y²-2z²       (ঘ )3x²+3y²+3z²     
উত্তরঃ খ

যোগ কর (১৬-২৫)

১৬. 3a+4b, a+3b

সমাধানঃ

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
3a+4b
  a+3b
4a+7b
∴যোগফল=4a+7b

১৭. 2a+3b, 3a+5b, 5a+6b

সমাধানঃ

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
  2a+3b
  3a+5b
  5a+6b
10a+14b

∴যোগফল=10a+14b

১৮. 4a-3b, -3a+b, 2a+3b

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
4a-3b
-3a+b
2a+3b
3a+b
∴যোগফল=3a+b

১৯. 7x+5y+2z, 3x-6y+7x, -9x+4y+z

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
7z+5y+2z
3x-6y+7z
-9x+4y+z
x+3y+10z
∴যোগফল=x+3y+10z

২০. x²+xy+z, 3x²-2xy+3z, 2x²+7xy-2z

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
x²+xy+z
3x²-2xy+3z
2x²+7xy-2z
6x²+6xy+2z
∴যোগফল=6x²+6xy+2z

২১. 4p²+7q²+4r², p²+3r², 8q²-7p²-r²

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
 4p² +7q² +4r²
  p²                +3r²
  8q² -7p²     -r²
-2p²+15q²+6r²
∴যোগফল=-2p²+15q²+6r²

২২. 3a+2b-6c, -5b+4a+3c, 8b-6a+4c

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
 3a+2b-6c
  4a-5b+3c
-6a+8b+4c
    a+5b+c
∴যোগফল=a+5b+c

২৩. 2x3-9x2+11x+5, -x3+7x2-8x-3, -x3+2x2-4x+1

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
2x3-9x2+11x+5
 -x3+7x2-8x-3
-x3+2x2-4x+1
  0+  0   -x  +3
∴যোগফল=-x+3

২৪. 5ax+3by-14cz, -11by-7ax-9cz, 3ax+6by-8cz

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
 5ax+3by-14cz
-7ax -11by-9cz
  3ax+6by-8cz
   ax-2by-31cz
∴যোগফল= ax-2by-31cz

২৫. x²-5x+6, x²+3x-2, -x²+x+1, -x²+6x-5

সমাধানঃ 

সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,
  x²-5x+6
  x²+3x-2
-x²+x+1
-x²+6x-5
  0+5x+0
∴যোগফল=5x

২৬. যদি a²=x²+y²-z², b²=y²+z²-x², c²=x²+z²-y² হয়, তবে দেখাও যে, a²+b²+c²=x²+y²+z²

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a²=x²+y²-z², b²=y²+z²-x², c²=x²+z²-y²
বামপক্ষ
= a²+b²+c²
= x²+y²-z²+ y²+z²-x²+ x²+z²-y² [ a²,b²,c²এর মান বসিয়ে]
= x²+y²+z²
=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

২৭. যদি x=5a+7b+9c, y=b-3a-4c, z=c-2b+a হয়, তবে দেখাও যে, x+y+z=3(a+2b+2c)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x=5a+7b+9c, y=b-3a-4c, z=c-2b+a
বামপক্ষ
= x+y+z
=(5a+7b+9c)+( b-3a-4c)+( c-2b+a) [x,y,zএর মান বসিয়ে]
=5a+7b+9c+b-3a-4c+c-2b+a
=3a+6b+6c
=3(a+2b+2c)
=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

বিয়োগ কর (২৮-৩৫)

২৮. 3a+2b+c  থেকে 5a+4b-23

সমাধানঃ

3a+2b+c
5a+4b-23
(-)   (-)   (+)
-2a-2b+3c
∴ বিয়োগফলঃ -2a-2b+3c

২৯. 3ab+6bc-2ca থেকে 2ab-4bc+8ca

সমাধানঃ

3ab+6bc-2ca
2ab-4bc+8ca
(-)    (+)   (-)
ab+ 10bc-10ca
∴ বিয়োগফলঃ ab+ 10bc-10ca

৩০. a²+b²+c² থেকে –a²+b²-c²

সমাধানঃ

  a²+b²+c²
–a²+b²-c²
(+)  (-)  (+)
2a²+0+2c²
∴ বিয়োগফলঃ 2a²+2c²

৩১. 4ax+5by+6cz থেকে 6by+3ax+9cz

সমাধানঃ

4ax+5by+6cz
6by+3ax+9cz
(-)    (-)    (-)
ax-by-3cz
∴ বিয়োগফলঃ ax-by-3cz

৩২. 7x²+9x+18 থেকে 5x+9+8x²

সমাধানঃ

7x²+9x+18
8x²+5x+9
(-)  (-)  (-)
-x²+4x+9
∴ বিয়োগফলঃ -x²+4x+9

৩৩. 3x³y²-5x²y²+7xy+2 থেকে –x³y²+x²y²+5xy+2

সমাধানঃ

3x³y²-5x²y²+7xy+2
–x³y²+x²y²+5xy+2
(+)     (-)       (-)     (-)
4x³y²-6x²y²+2xy+0
∴ বিয়োগফলঃ 4x³y²-6x²y²+2xy

৩৪. 4x²+3y²+z থেকে -2y²+3x²-z

সমাধানঃ

4x²+3y²+z
3x²-2y²-z
(-)  (+) (+)
 x²+5y²+2z
∴ বিয়োগফলঃ x²+5y²+2z

৩৫. x⁴+2x³+x²+4 থেকে x³-2x²+2x+3

সমাধানঃ

x⁴+2x³+x²+4
      x³-2x²+3+2x
    (-)  (+)  (-) (-)
x⁴+x³+3x²-2x+1
∴ বিয়োগফলঃ x⁴+x³+3x²-2x+1

৩৬. যদি a=x²+z², b=y²+z², c=x²+y² হয়, তবে দেখাও যে, a+b-c=2z²

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a=x²+z², b=y²+z², c=x²+y²
বামপক্ষ
= a+b-c
= (x²+z²)+(y²+z²)-(x²+y²) [a,b,c এর মান বসিয়ে]
=x²+z²+y²+z²-x²-y²
=2z²
=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

৩৭.যদি x=a+b, y=b+c, z=c+a হয়, তবে দেখাও যে, x-y+z=2a

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x=a+b, y=b+c, z=c+a
বামপক্ষ
= x-y+z
=(a+b)-(b+c)+(c+a) [x,y,z এর মান বসিয়ে]
=a+b-b-c+c+a
=a+a
=2a
=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

৩৮. যদি x=a+b+c, y=a-b-c, z=b-c+a  হয়, তবে দেখাও যে, x-y+z=a+3b+c

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x=a+b+c, y=a-b-c, z=b-c+a 
বামপক্ষ
= x-y+z
=(a+b+c)-(a-b-c)+(b-c+a)  [x,y,z এর মান বসিয়ে]
=a+b+c-a+b+c+b-c+a
=a+3b+c
=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

৩৯. a²,b²,c²  তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে—

(ক) b² এর সাংখ্যিক সহগ কত?

(খ) a² এর দ্বিগুণের সাথে c² এর তিনগুণ যোগ কর।
(গ) a² এর তিনগুণ থেকে b² এর দ্বিগুণ বিয়োগ করে বিয়োগফলের সাথে c² এর চারগুণ যোগ কর।

সমাধানঃ

(ক)
b² এর সাংখ্যিক সহগ 1

(খ)

a² এর দ্বিগুণ হলো 2a²
এবং c² এর তিনগুণ হলো 3c²
∴যোগফল 2b²+ 3c²

(গ)

a² এর তিনগুণ হলো 3a²
b² এর দ্বিগুণ হলো 2b²
3a² থেকে 2b² এর বিয়োগফল (3a²-2b²)
c² এর চারগুণ হলো 4c²
∴বিয়োগফলের সাথে 4c² যোগ করলে
যোগফল =(3a²-2b²)+ 4c²=3a²-2b²+ 4c²

৪০. একটি খাতার দাম x টাকা, একটি কলমের দাম y টাকা এবং একটি পেন্সিলের দাম z টাকা হলে—

(ক) 3টি খাতা ও 2টি কলমের মোট দাম কত?

(খ) 5টি খাতা ও 8টি পেন্সিলের মোট দাম থেকে 10টি কলমের দাম বাদ দিলে কত হবে বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর।
(গ) 3x-2y+5z দ্বারা কী বোঝায়? Y ও z এর সাংখ্যিক সহগ কত? x, y ও z এর সাংখ্যিক সহগগুলোর গুণফল কত?

সমাধানঃ

(ক)
3টি খাতার দাম 3x টাকা
এবং 2টি কলমের দাম 2y টাকা
∴3টি খাতা ও 2টি কলমের মোট দাম (3x+2y) টাকা

(খ)

5টি খাতার দাম 5x টাকা
এবং 8টি পেন্সিলের দাম 8z টাকা
∴ 5টি খাতা ও 8টি পেন্সিলের মোট দাম (5x+8z) টাকা
10টি কলমের দাম 10y টাকা
খাতা ও পেন্সিলের মোট দাম থেকে 10টি কলমের দাম বাদ দিলে হবে=(5x+8z)-10y টাকা।
∴ বীজগণিতীয় রাশি=(5x+8z)-10y

(গ)

3x হলো 3টি খাতার দাম
2y হলো 2টি কলমের দাম এবং 5z হলো 5টি পেন্সিলের দাম।
∴ 3x-2y+5z হলো 3টি খাতার দাম থেকে 2টি কলমের দাম বিয়োগ করে বিয়োগফলের সাথে 5টি পেন্সিলের দাম যোগ।
3x-2y+5z এ x এর সাংখ্যিক সহগ 3, y এর সাংখ্যিক সহগ -2
এবং z এর সাংখ্যিক সহগ 5
আবার, 3x-2y+5z রাশিতে x, y ও z এর সাংখ্যিক সহগ যথাক্রমে 3, -2 ও 5
∴এদের গুণফল=3✕(-2)✕5=-30

৪১. 5x²+xy+3y², x²-8xy, y²-x²+10xy তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে—

(ক) প্রথম রাশিটির পদসংখ্যা কয়টি এবং কী কী?

(খ) রাশি তিনটি যোগ কর। যোগফলের xyএর সহগ কত?
(গ) (5x²+xy+3y²)- (x²-8xy)- (y²-x²+10xy)  সরল করে এর মান নির্ণয় কর; যখন x=2 এবং y=1

সমাধানঃ

(ক) প্রথম রাশি 5x²+xy+3y²
প্রথম রাশির পদসংখ্যা তিনটি এবং পদগুলো হলো  5x², xy এবং 3y²

(খ)

5x²+xy+3y², x²-8xy, y²-x²+10xy  রাশি তিনটির যোগ
5x²+xy+3y²
 x²-8xy
-x²+10xy+ y²
5x²+3xy+4y²
যোগফল 5x²+3xy+4y²
যোগফলের xy এর সহগ 3

(গ)

(5x²+xy+3y²)- (x²-8xy)- (y²-x²+10xy) 
=5x²+xy+3y²- x²+8xy- y²+x²-10xy
= 5x²-xy+2y²
=5(2)²-2*1+2(1)²  [মান বসিয়ে]
=20-2+2
=20

৪২. x=(a+b)², y=a²+2ab+b² এবং z=a²+b²-2ab

ক. z পদগুলোর সংখ্যিক সহগ গুলোর যোগফল নির্ণয় কর।

খ. y+z এবং y-z নির্ণয় কর।
গ. a=3 এবং b=-2 হলে প্রমান কর যে, x=y

সমাধানঃ

ক.

z পদগুলোর সাংখ্যিক সহগ যথাক্রমে 1, 1, -2
z এর সাংখ্যিক সহগ গুলোর যোগফল= 1+1+(-2)=1+1-2=2-2=0

খ.

দেওয়া আছে, y=a²+2ab+b² এবং z=a²+b²-2ab
∴y+z
=(a²+2ab+b² )+ (a²+b²-2ab)
=a²+2ab+b² + a²+b²-2ab
= 2a²+2b²
=2(a²+b²)
∴y-z
=(a²+2ab+b² )- (a²+b²-2ab)
=a²+2ab+b² - a²-b²+2ab
=4ab

গ.

দেওয়া আছে, a=3, b=-2
বামপক্ষ=x=(a+b)²=(3-2)²=12=1
ডানপক্ষ=y= a²+2ab+b²= (3)²+2*3(-2)+(-2)²=9-12+4=13-12=1
∴x=y (প্রমাণিত)