সপ্তম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৯.৩ - ত্রিভুজ অঙ্কন

 

ত্রিভুজ অঙ্কন:

১. কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং এদের বিপরীত কোণ দেওয়া থাকলে, সর্বাধিক কয়টি ত্রিভুজ আঁকা যাবে?

ক. 1    খ. 2    গ. 3     ঘ. 4 
উত্তরঃ খ

২. কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব যখন তিনিটি বাহুর দৈর্ঘ্য-

ক. 1 সেমি, 2 সেমি, 3 সেমি     খ. 3 সেমি, 4 সেমি, 5 সেমি 
গ. 2 সেমি, 4 সেমি, 6 সেমি      ঘ. 3 সেমি, 4 সেমি, 7 সেমি 
উত্তরঃ খ

৩. নিচের তথ্যগুলো পড়ঃ

(i). একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া থাকলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়।
(ii). দুইটি বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, ত্রিভুজটি আঁকা যায়।
(iii). কোনো ত্রিভুজের একাধিক স্থুলকোণ থাকতে পারে।

উপরের তথ্য অনুসারে নিচের কোনটি সঠিক?

ক. i ও ii     খ. ii ও iii 
গ. i ও iii     ঘ.  i, ii ও iii
উত্তরঃ ক

৪. ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে কি বলে?

ক. ক্ষেত্রফল     খ. আয়তন 
গ. দৈর্ঘ্য             ঘ. পরিসীমা 
উত্তরঃ ঘ

৫. ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ কয়টি?

ক. 1টি     খ. 2টি     গ. 3টি     ঘ.  4টি 
উত্তরঃ গ

৬. সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রি?

ক. 30⁰     খ. 45⁰     গ. 60⁰     ঘ. 90⁰
উত্তরঃ গ

৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রী?

ক. 30⁰     খ. 60⁰     গ. 90⁰     ঘ. 180⁰
উত্তরঃ ক

নিচের চিত্র অনুসারে ৮-৯ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

৮. C বিন্দুতে BA রেখার সমান্তরাল রেখা আঁকতে হলে, কোন কোণের সমান কোণ আঁকতে হবে?

ক. ∠ABC     খ. ∠ACB   গ. ∠BAC     ঘ. CAD   
উত্তরঃ গ

৯. ∠CAD এর সমান নিচের কোনটি?

ক. ∠BAC+∠ACB      খ. ∠ABC+∠ACB    
গ. ∠ABC+∠ACB+∠BAC    ঘ. ∠ABC+∠BAC 
উত্তরঃ খ

১০. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।

(ক) 3 সেমি, 4 সেমি, 6 সেমি  

সমাধানঃ

মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য a=3 সেমি, b=4 সেমি ও c=6 সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান করে BC কেটে নেই।
(২) B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) A, B এবং A, C যোগ করি।
তাহলে △ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, △ABC-এ AB=c, BC=a এবং AC=b.

(খ) 3.5 সেমি,  4.7 সেমি,  5.6 সেমি

সমাধানঃ

মনে করি, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য z=3.5 সেমি, y=4.7 সেমি ও x=5.6 সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে z এর সমান করে BC কেটে নেই।

(২) B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে x ও y এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পার্শ্বে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

(৩) A, B এবং A, C যোগ করি।

তাহলে △ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, △ABC-এ AB=y, BC=z এবং AC=x.

১১. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।

(ক) 3 সেমি, 4 সেমি, 60⁰

সমাধানঃ  

মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু a ও b এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x=60⁰ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান করে BC নিই।

(২) BC রেখাংশের C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠x এর সমান  ∠BCE আঁকি।

(৩) এখন CE রেখাংশ থেকে b এর সমান করে CA অংশ কেটে নিই।

(৪) A, B যোগ করি।

তাহলে, △ABC -ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, △ABC-এ BC=a=3 সেমি, AC=b=4 সেমি এবং  ∠ACB=∠x=60⁰

(খ) 3.8 সেমি, 4.7 সেমি, 45⁰

সমাধানঃ

মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু a=3.8 সেমি ও b=4.7 সেমি এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x=45⁰ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান করে BC নিই।

(২) BC রেখাংশের C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠x এর সমান  ∠BCE আঁকি।

(৩) এখন CE রেখাংশ থেকে b এর সমান করে CA অংশ কেটে নিই।

(৪) A, B যোগ করি।

তাহলে, △ABC -ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, △ABC-এ BC=a=3.8 সেমি, AC=b=4.7 সেমি এবং ∠ACB=∠x=45⁰

১২. একটি ত্রিভুজের একটি বাহু ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।

(ক) 5 সেমি, 30⁰, 45⁰ 

সমাধানঃ

মনে করি একটি ত্রিভুজের একটি বাহু a=5 সেমি ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠x=30⁰ ও ∠y=45⁰ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান BC কেটে নিই।

(২) BC রেখার B ও C বিন্দুতে যথাক্রমে ∠CBE=∠x এবং ∠BCF=∠y আঁকি। এরা পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে △ABC ই নির্ণেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।

প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, △ABC এ ∠ABC=∠x =45⁰_,  ∠BCA=∠y=30⁰  এবং a=5 সেমি।

(খ) 4.5 সেমি, 45⁰, 60⁰

সমাধানঃ

মনে করি একটি ত্রিভুজের একটি বাহু a=4.5 সেমি ও এর সংলগ্ন দুইটি কোণ ∠x=60⁰ ও ∠y=45⁰ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান BC কেটে নিই।
(২) BC রেখার B ও C বিন্দুতে যথাক্রমে ∠CBE=∠x এবং ∠BCF=∠y আঁকি। এরা পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে △ABC ই নির্ণেয় অঙ্কিত ত্রিভুজ।
প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, △ABC এ ∠ABC=∠x =60⁰_,  ∠BCA=∠y=45⁰  এবং a=4.5 সেমি।

১৩. একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও প্রথম কোণের বিপরীত বাহু দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।

(ক) 120⁰, 30⁰, 5 সেমি 

সমাধানঃ

মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে ∠x=120⁰ ও ∠y=30⁰ এবং 120⁰ কোণের বিপরীত বাহু a=5 সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান করে BC অংশ নিই।
(২) BC রেখাংশের B ও C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠y এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF ও ∠DCE আঁকি।
(৩) আবার CE রেখার C বিন্দুতে উহার যে পাশে ∠y অবস্থিত তাঁর বিপরীত পাশে ∠x এর সমান করে ∠ECG আঁকি।
(৪) CG রেখা BF রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে △ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, ∠ABC=∠ECD. কিন্তু কোণ দুইটি অনুরুপ হওয়ায় AB।। CE. এখন, AB।।CE এবং AC তাদের ছেদক।
∠BAC=একান্তর∠ACE=120⁰
এখন, △ABC এ ∠BAC=120⁰, ∠BAC=30⁰ এবং ∠BAC এর বিপরীত বাহু BC=5 সেমি।

(খ) 60⁰, 30⁰, 4 সেমি

সমাধানঃ

মনে করি, একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে ∠x=60⁰ ও ∠y=30⁰ এবং 60⁰ কোণের বিপরীত বাহু a=4 সেমি দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) যেকোনো রশ্মি BD থেকে a এর সমান করে BC অংশ নিই।
(২) BC রেখাংশের B ও C বিন্দুতে প্রদত্ত ∠y এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF ও ∠DCE আঁকি।
(৩) আবার CE রেখার C বিন্দুতে উহার যে পাশে ∠y অবস্থিত তাঁর বিপরীত পাশে ∠x এর সমান করে ∠ECG আঁকি।
(৪) CG রেখা BF রেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে △ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমানঃ অঙ্কনানুসারে, ∠ABC=∠ECD. কিন্তু কোণ দুইটি অনুরুপ হওয়ায় AB।। CE. এখন, AB।।CE এবং AC তাদের ছেদক।
∠BAC=একান্তর∠ACE=60⁰
অতএব, △ABC এ ∠BAC=30⁰, ∠BAC=60⁰ এবং ∠BAC এর বিপরীত বাহু BC=4 সেমি।