ষষ্ঠ শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৭ রেখা, লম্ব ও কোণ অঙ্কন

 

রেখা, লম্ব ও কোণ অঙ্কন

১. 28⁰ কোণের সম্পূরক কোণ কত?

(ক) 62⁰   (খ) 118⁰   (গ) 152⁰   (ঘ) 332⁰
উত্তরঃ গ

২. 37⁰ কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

(ক) 53⁰  (খ) 37⁰  (গ) 127⁰    (ঘ) 143⁰
উত্তরঃ ঘ

৩. দুইটি কোণ পরস্পপর পূরক হলে এদের সমষ্টি কত?

(ক) 360⁰   (খ) 180⁰   (গ) 90⁰      (ঘ) 80⁰
উত্তরঃ গ

৪. ত্রিকোণীয় একটি কোণ 45⁰ হলে অপর বৃহত্তর কোণটি কত?

(ক) 360⁰    (খ) 180⁰    (গ) 90⁰     (ঘ) 80⁰
উত্তরঃ গ

৫. সম্পাদ্যের ক্ষেত্রে—

i. যাহা দেওয়া থাকে তাহাই উপাত্ত

ii. যাহা করণীয়, তাই অঙ্কন
iii. যুক্তি দ্বারা অঙ্কন করা হলো প্রমান

নিচের কোণটি সঠিক?

(ক) i ও ii (খ) i ও iii (গ) ii ও iii  (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক

উপরের চিত্রের আলোকে (৬-৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

৬. ∠a=কত?

(ক) 30⁰   (খ) 40⁰   (গ) 50⁰     (ঘ) 90⁰
উত্তরঃ খ

৭. ∠a+∠b=কত?

(ক) 40⁰   (খ) 50⁰   (গ) 60⁰     (ঘ) 90⁰
উত্তরঃ ঘ

৮. ∠c=কত?

(ক) 90⁰   (খ) 130⁰   (গ) 160⁰     (ঘ) 180⁰
উত্তরঃ ক

৯. চাঁদার সাহায্যে আঁকা যায়—

i. ৪৫^০  কোণ

ii. ১৫৫^০ কোণ
iii. বৃত্ত

নিচের কোণটি সঠিক?

(ক) i ও ii (খ) i ও iii (গ) ii ও iii  (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক

১০. রুলারের সাহায্যে 8 সেমি দৈর্ঘের একটি রেখাংশ আঁক। এবার রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে একই রেখাংশের সমান একটি রেখাংশ আঁক।

সমাধানঃ

•                                   •

A             8 সেমি            B

কাগজের উপর রোলার বসিয়ে ঠিক সোজাসোজি দৃঢ়ভাবে চেপে ধরি। তারপর পেন্সিলের সরু মাথা সেন্টিমিটার স্কেলের 0 নির্দেশিত দাগ বরাবর বসাই এবং 8 সেমি পর্যন্ত টেনে নেই। তাহলে যে রেখাংশটি আঁকা হলো তার দৈর্ঘ্য AB=8 সেমি।

AB রেখাংশের সমান রেখাংশ অঙ্কনঃ

•                             )     ᗚ

C                            D     E

অঙ্কনের ধাপঃ

১. CE একটি রশ্মি নিই।

২. C কে কেন্দ্র করে AB এর সমান ব্যাসার্ঘ্য নিয়ে পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে একটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৩. বৃত্তচাপটি CE কে D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে CD রেখাংশই AB রেখাংশের সমান হবে।

১১. রুলারের সাহায্যে 6 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমদ্বিখন্ডিত কর। দ্বিখন্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখ তারা সমান হয়েছে কি না।

সমাধানঃ

রুলারের সাহায্যে 6 সেমি দীর্ঘ্য একটি রেখাংশ AB আঁকি। একে সমদ্বিখন্ডিত করতে হবে।

অঙ্কনের ধাপঃ

১.  AB রেখাংশের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ্য নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
২. B বিন্দুকে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৩. উভয় পাশের বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে  M এবং N বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. M ও N যোগ করি। এই MN রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে MN রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে।

পরিমাপ যাচাইঃ

অঙ্কনানুসারে,
AO=OB; রুলারের সাহায্যে AO ও OB রেখাংশের দৈর্ঘ্য পরিমাপ করি।
AB রেখাংশ বরাবর রুলার স্থাপন করি। লক্ষ করি যেন, AB রেখাংশের A বিন্দু রুলারের 0 নির্দেশিত দাগের সাথে মিলে।
এখন, AB রেখাংশের O বিন্দু রুলারের  3 সেমি ও B বিন্দু রুলারের 6 সেমি দাগে পড়ে।
∴AO=3 সেমি=OB
সুতরাং, দ্বিখন্ডিত রেখাংশ দুইটি মেপে দেখা গেল যে, তারা পরস্পর সমান।

১২. রুলারের সাহায্যে 8 সেমি দৈর্ঘ্যের একটি রেখাংশ আঁক। রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে এই রেখাংশকে সমান চার ভাগে ভাগ কর।

সমাধানঃ

রুলারের সাহায্যে 8 সেমি দীর্ঘ্য একটি রেখাংশ AB আঁকি। একে সমান চার ভাগে ভাগ করতে হবে।

অঙ্কনের ধাপঃ

১.  AB রেখাংশের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে AB এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ্য নিয়ে AB এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।

২. B বিন্দুকে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
৩. উভয় পাশের বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে  P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. P ও Q যোগ করি। এই PQ রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে PQ রেখাংশ AB রেখাংশকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে।
৫. এখন একইভাবে AO ও OB রেখাংশকে M ও N বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করি
তাহলে AB রেখাংশ AM, MO, ON ও NB এই সমান চার ভাগে বিভক্ত হলো।

১৩. 7 সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে রুলার-কম্পাসের সাহায্যে একটি নির্দিষ্ট লম্ব আঁক।

সমাধানঃ

মনে করি, 7 সেমি দৈর্ঘ্যের সমান AB একটি রেখাংশ যার মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।

অঙ্কনের ধাপঃ

১. AB এর মধ্যবিন্দু C নির্ণয় করি।
২. C কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপ CB কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে  QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় D বিন্দুতে ছেদ করে।
৬. C ও D যোগ করি। অতএব, C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব অঙ্কিত হলো, যেখানে C, AB এর মধ্যবিন্দু।

১৪. 4 সেমি দৈর্ঘ্যের রেখাংশের মধ্যবিন্দুতে লম্ব আঁক।

সমাধানঃ

মনে করি, 4 সেমি দৈর্ঘ্যের সমান AB একটি রেখাংশ যার মধ্যবিন্দুতে উক্ত রেখাংশের উপর লম্ব আঁকতে হবে।

অঙ্কনের ধাপঃ

১. AB এর মধ্যবিন্দু C নির্ণয় করি।
২. C কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপ CB কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে  QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় D বিন্দুতে ছেদ করে।
৬. C ও D যোগ করি। অতএব, C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব অঙ্কিত হলো, যেখানে C, AB এর মধ্যবিন্দু।

১৫. AB সরলরেখার C বিন্দুতে CD লম্ব আঁক। আবার CD রেখার উপর একটি বিন্দু E লও। এবার E বিন্দুতে CD রেখার উপর লম্ব আঁক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, AB রেখার উপর C একটি বিন্দু। C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব আঁকতে হবে। আবার CD এর উপর E একটি বিন্দু।  CD এর উপর লম্ব আঁকতে হবে।

অঙ্কনের ধাপঃ

১. C কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপ CB কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
২. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে  QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় S বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. C ও S যোগ করি এবং D পর্যন্ত বর্ধিত করি। অতএব, C বিন্দুতে AB এর উপর CD লম্ব অঙ্কিত হলো।
৬.  একইভাবে CD রেখার E বিন্দুতে EF লম্ব আঁকি।
তাহলে, AB রেখার C বিন্দুতে CD এবং CD রেখার E বিন্দুতে EF লম্ব অঙ্কিত হলো।

১৬. চাঁদা ব্যবহার না  করে 45⁰ কোণটি আঁক।

সমাধানঃ

অঙ্কনের ধাপঃ

১. OB রশ্মির O কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপ OB কে P বিন্দুতে ছেদ করে।
২. P কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটি প্রথম বৃত্তচাপটিকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. Q কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ্য নিয়ে আরও একটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. Q ও R কে কেন্দ্র করে ঐ একই ব্যাসার্ধ নিয়ে  QR এর কই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত চাপদ্বয় D বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. O ও D যোগ করি। অতএব, O বিন্দুতে OB এর উপর OD লম্ব অঙ্কিত হলো।
৬.  এখন OD লম্ব RQ বৃত্তচাপকে F বিন্দুতে ছেদ করে।
৭. P ও F বিন্দুকে কেন্দ্র করে PF এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠FOP এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
৮. O ও B যোগ করি। তাহলে OB ∠FOP কে সমদ্বিখন্ডিত করে। ফলে ∠POB=45⁰ অঙ্কিত হলো। 

১৭. ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমদ্বিখন্ডকগুলো আঁক। যে রেখাগুলো দ্বারা কোণগুলো সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ঐ রেখজাগুলোর সাধারণ বিন্দু চিহ্নিত কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ABC একটি ত্রিভুজ। এর ∠ABC,  ∠BCA ও ∠BAC এর প্রত্যেকটিকে সমদ্বিখন্ডিত করতে হবে। যে রেখাগুলো দ্বারা কোণগুলো সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে ঐ রেখাগুলোর সাধারণ বিন্দু চিহ্নিত করতে হবে।

অঙ্কনের ধাপঃ

১. B কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি AB ও BC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
২. P ও Q কে কেন্দ্র করে PQ এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে  ∠ABC এর অভ্যন্তরে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর R বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. B, R যোগ করি এবং E পর্যন্ত বর্ধিত করি।
৪. BE রেখাই ∠ABC এর সমদ্বিখন্ডক।
৫. অনুরুপভাবে, ∠ACB  ও ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক যথাক্রমে CF ও AD অঙ্কন করি।
৬. BE, CF ও AD রেখাত্রয় পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
সুতরাং,  O বিন্দুই সমদ্বিখন্ডকত্রয়ের সাধারণ বিন্দু।

১৮. পাশের চিত্রে,

(ক) ∠ABC এর সম্পূরক কোণ কোণটি?

(খ) ∠ACB এর মান কত এবং কেন?
(গ) প্রমান কর যে, ∠DCE+∠ECB=180⁰.

সমাধানঃ

(ক) চিত্রে, ∠ABC এর সম্পূরক কোণ ∠CBF

(খ) চিত্রে, ∠ACB এর মান 50⁰ কারণ, ∠DCE এর বিপ্রতীপ ∠ACB এবং বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

(গ) প্রমান কর যে, ∠DCE+∠ECB=180⁰.

প্রমানঃ দেওয়া আছে, ∠DCE=50⁰
যেহেতু, ∠DCE এর সম্পূরক কোণ ∠ECB
∴∠ECB=180⁰-50⁰=130⁰
∠DCE+∠ECB=50⁰+130⁰=180⁰ (প্রমাণিত)

১৯. পাশের চিত্রে,

(ক) ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ কোণটি?

(খ) ∠AOB কে সমদ্বিখন্ডিত করে সন্নিহিত কোণ দুইটির সাধারণ বাহু নির্দেশ কর।
(গ) প্রমান কর যে, ∠AOB এবং ∠COD এর সমদ্বিখন্ডক একই সরলরেখায় অবস্থিত।

সমাধানঃ

(ক)∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠COD

(খ) ∠AOB কে সমদ্বিখন্ডিত করে সন্নিহিত কোণ দুইটির সাধারণ বাহু নির্দেশ করতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ

∠AOB এর শীর্ষবিন্দু  O কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা OA এবং OB কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। এখন, P ও Q কে কেন্দ্র করে PQ এর সমান বা অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকি যারা পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করে O, E যোগ করে বর্ধিত করি।

তাহলে OE রশ্মি দ্বারা ∠AOB সমদ্বিখন্ডিত হয়েছে।
তাহলে, ∠AOE এবং ∠BOE সন্নিহিত কোণদ্বয়ের OE সাধারণ বাহু।

 (গ)

মনে করি, ∠AOB এর সমদ্বিখন্ডক OE এবং ∠AOC এর সমদ্বিখণ্ডক OF। প্রমান করতে হবে যে, OE ও OF একই সরলরেখায় অবস্থিত।

প্রমানঃ

AC রেখা BD রেখার সাথে O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
∴∠COD+∠COD=দুই সমকোণ।
আবার,
∠COB+∠AOB=দুই সমকোণ।
∴∠COD+∠COD=∠COD+∠AOB
∴∠COD=∠AOB [উভয় পক্ষ থেকে ∠COB বাদ দিয়ে]
∴1/2∠COD=1/2∠AOB
∴∠DOF=∠BOE [OE এবং OF যথাক্রমে ∠AOB  ও ∠COD এর সমদ্বিখণ্ডক]
এখন, ∠BOC+∠COF+∠DOF=দুই সমকোণ
বা, ∠BOE+∠BOC+∠COF=দুই সমকোণ।
∴∠EOF=দুই সমকোণ=এক সরলকোণ।
∴OE এবং OF একই সরলরেখায় অবস্থিত।
সুতরাং, ∠AOB এবং ∠COD এর সমদ্বিখন্ডক OE এবং OF একই সরলরেখায় অবস্থিত। (প্রমাণিত)

২০. চিত্রে, ∠ABC=90⁰

(ক) ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টিকে x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

(খ) ∠ABC  কে সমদ্বিখন্ডিত কর এবং অঙ্কনের বিবরন দাও।
(গ) x কোণের সমান করে একটি কোণ আঁক এবং বিবরণ দাও।

সমাধানঃ

(ক) △ABC এর তিনটি কোণ ∠A, ∠B ও ∠C। ত্রিভুজের তিন কোণকে x এর মাধ্যমে প্রকাশ করলে

∠A=x, ∠B=2x, ∠C=x
∴কোণ তিনটির সমষ্টি,
∠A+∠B+∠C=180⁰
বা, x+2x+x=180⁰
বা, 4x=180⁰ ( x এর মাধ্যমে প্রকাশিত হলো)

(খ)

অঙ্কনের বিবরণঃ

(১) BC রেখাংশের B বিন্দুকে কেন্দ্র করে যে কোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। যা, BC কে  P বিন্দুতে এবং BA কে N বিন্দুতে ছেদ করে।
(২) P ও N বিন্দুকে কেন্দ্র করে PN এর অর্ধেকের বেশি ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) B, O যোগ করি। তাহলে BO রশ্মি ∠ABC কে সমদ্বিখন্ডিত করে। সুতরাং ∠CBO=45⁰ কোণই উদ্দিষ্ট কোণ।
(গ) ক থেকে পাই,
4x=180⁰
বা, x=180⁰/4
বা, x=45⁰
45⁰ কোণ অঙ্কনঃ
১৬ নং প্রশ্নের সমাধান দেখ।