সপ্তম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১০.১ - সর্বসমতা

 

সর্বসমতা/সর্বসম/≅

১. চিত্রে, CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, প্রমাণ কর যে, △ADC≅△BDC

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এর  CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ কর যে, △ADC≅△BDC.

প্রমাণঃ

CD, AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক হওয়ায় AD=BD এবং ∠ADC=এক সমকোণ=∠BDC

এখন, △ADC ও △BDC-এ

AD=BD

CD বাহুর সাধারণ এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ADC=অন্তর্ভুক্ত ∠BDC [প্রত্যেকেই সমকোণ]

∴△ADC≅△BDC

২. চিত্রে, CD=CB এবং, ∠DCA=∠BCA. প্রমাণ কর যে, AB=AD

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, CD=CB এবং, ∠DCA=∠BCA. প্রমাণ করতে হবে যে, AB=AD.

প্রমাণঃ

△ACD ও △ACB এ

CDE=CB [দেওয়া আছে]

AC সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত ∠DCA=অন্তর্ভুক্ত ∠BCA

∴△ACD≅△ACB

∴AB=AD(প্রমাণিত)

৩. চিত্রে,  ∠BAC=∠ACD এবং AB=DC.  প্রমাণ কর যে,  AD=BC, ∠CAD=∠ACB এবং ∠ADC=∠ABC.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ∠BAC=∠ACD এবং AB=DC.  প্রমাণ করতে হবে যে,  AD=BC, ∠CAD=∠ACB এবং ∠ADC=∠ABC.

প্রমাণঃ

△ABC ও △ADC এ

AB=DC [দেওয়া আছে]

AC উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত∠BAC=অন্তর্ভুক্ত∠ACD

∴△ABC≅△ADC

∴AD=BC, ∠CAD=∠ACB এবং ∠ADC=∠ABC (প্রমাণিত)

৪. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু বাদে অপর বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচন; মনে করি, একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এর ।ত্রিভুজের ভুমিকে একদিকে এবং অপরদিকে পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো।

প্রমাণঃ

∠ABF+∠ABC=এক সরল কোণ=দুই সমকোণ।

আবার, ∠ACE+∠ACB=এক সরল কোণ=দুই সমকোণ।

অতএব,  ∠ABF+∠ABC=∠ACE+∠ACB

কিন্তু △ABC এ AB=AC হওয়ায় ∠ABC=∠ACB

এখন, ∠ABF+∠ABC=∠ACE+∠ABC

উভয় পক্ষ থেকে সমান সমান কোণ বাদ দিলে, ∠ABF=∠ACE (প্রমাণিত)

৫. চিত্রে, AD=AE, BD=CE এবং ∠AEC=∠ADB.  প্রমাণ কর যে, AB=AC

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ দেওয়া আছে, AD=AE, BD=CE এবং ∠AEC=∠ADB.  প্রমাণ করতে হবে যে, AB=AC.

প্রমাণঃ

△ADB ও △AEC এ

AD=AE এবং BD=CE দেওয়া আছে এবং অন্তর্ভুক্ত ∠AEC=অন্তর্ভুক্ত ∠ADB

∴△ADB ≅ △AEC

∴AB=AC (প্রমাণিত)

৬. চিত্রে, △ABC এবং △DBC দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। প্রমান কর যে, △ABD≅△ACD

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এবং △DBC দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। প্রমান করতে হবে যে, △ABD≅△ACD.

প্রমাণঃ

△ABC সমদ্বিবাহু হওয়ায় AB=AC

আবার, △DBC সমদ্বিবাহু হওয়ায় BD=DC.

এখন, △ABC এবং △DBC এর মধ্যে,

AB=AC

BD=DC এবং AD সাধারণ বাহু।

 ∴△ABD≅△ACD (প্রমাণিত)

৭. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির প্রান্তবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত মধ্যমাদ্বয় সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এ AB=AC এবং BE ও CD বিপরীত বাহুদ্বয়ের উপর অঙ্কিত দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, BE=CD.

প্রমাণঃ

CD ও BE মধ্যমা হওয়ায় D, AB এর এবং E, AC এর মধ্যবিন্দু।

যেহেতু, AB=AC

সুতরাং 1/2AB=1/2AC

বা, BD=CE.

আবার, AB=AC হওয়ায়  ∠ABC=∠ACB

এখন △BDC ও △BCE এর মধ্যে BD=CE

BC সাধারণ বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত∠DBC= অন্তর্ভুক্ত∠BCE.

∴△BDC ≅ △BCE

∴CD=BE (প্রমাণিত)

৮. প্রমাণ কর যে, সমবাহু ত্রিভুজের কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A=∠B=∠C.

প্রমাণঃ

সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পপর সমান।

এখন, AB=AC হওয়ায় ∠B=∠C---------------(i)

আবার, BC=AC হওয়ায় ∠B=∠A--------------(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই,

∠A=∠B=∠C [প্রমাণিত]