নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১ - বাস্তব সংখ্যা

 

বাস্তব সংখ্যাঃ স্বাভাবিক, ভগ্নাংশ, মূলদ, অমূলদ ও দশমিক সংখ্যাঃ

১. নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

(ক) 0.3   (খ) √(16/9)   (গ) ³√ (8/27)   (ঘ) 5/√3
উত্তরঃ ঘ

২. a, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা?

(ক) abcd   (খ) ab+cd   (গ) abcd+1   (ঘ) abcd-1
উত্তরঃ গ

৩. 1 থেকে 10 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

(ক) 3   (খ) 4   (গ) 5   (ঘ) 6
উত্তরঃ খ

৪. কোনটি সকল পূর্নসংখ্যার সেট?

(ক) {…,-4, -2, 0, 2, 4, …}    (খ) {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
(গ) {…, -3, -1, 0,1, 3, …}     (ঘ) {0, 1, 2, 3, 4}
উত্তরঃ খ

৫. বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে

(i). বিজোড় সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

(ii). দুইটি জোড় সংখ্যার গুণফল এর গুণিতিক জোড় সংখ্যা।
(iii). পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা।

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii    (খ) i ও iii 
(গ) ii ও iii   (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক

৬. তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

(ক) 5    (খ) 6   (গ) 7    (ঘ) 11
উত্তরঃ খ

৭. a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?

(ক) a²    (খ) b²    (গ) a²+1   (ঘ) b²+2
উত্তরঃ গ

৮. a ও b দুইটি পূর্ণসংখ্যা হলে a²+b² এর সাথে নিচের কোনটি যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

(ক) –ab   (খ) ab   (গ) 2ab   (ঘ) -2ab
উত্তরঃ গ

৯. প্রমান কর যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদঃ (ক) √ 5   (খ) √ 7   (গ) √10

সমাধানঃ

(ক) √5 
আমরা জানি,
1<5<9
বা, √1<√5<√9
বা, 1<√5<3
সুতরাং,  √5  এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √5  পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, √5 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি √5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, √5=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 5=p²/q² [বর্গ করে]
বা, 5q=p²/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 5q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  q>1.
তাহলে, 5q≠p²/q.
বা, 5≠p²/q²
বা, √5≠p/q
∴√5 একটি অমূলদ সংখ্যা।

(খ)√ 7  

আমরা জানি,
1<7<9
বা, √1<√7<√9
বা, 1<√7<3
সুতরাং,  √7 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √7 পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, √7 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি √5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, √7=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 7=p²/q² [বর্গ করে]
বা, 7q=p²/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 7q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  q>1.
তাহলে, 7q≠p²/q.
বা, 7≠p²/q²
বা, √7≠p/q
∴√7 একটি অমূলদ সংখ্যা।

(গ)√ 10

আমরা জানি,
1<10<16
বা, √1<√10<√16
বা, 1<√10<4
সুতরাং,  √10 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √10 পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, √10 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি √10 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, √10=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 7=p²/q² [বর্গ করে]
বা, 10q=p²/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 10q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  q>1.
তাহলে, 10q≠p²/q.
বা, 10≠p²/q²
বা, √10≠p/q
∴√10 একটি অমূলদ সংখ্যা।

১০.

ক) 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,
একটি সংখ্যা a=0.301001000100001……………..
এবং অপর সংখ্যা b=0.302002000200002……….
স্পষ্টতঃ a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয় 0.31 অপেক্ষা ছোট এবং 0.12 অপেক্ষা বড়।
অর্থাৎ, 0.31>0.3010010001………>0.12
এবং, 0.31>0.3020020002………..>0.12
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
a ও b, 0.31 এবং 0.12 এর মাঝখানে অবস্থিত।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।

খ) 1/√2 এবং √2 এর মধ্যে একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে,
1/√2=0.707106
√2=1.4142
∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা a=0.70717071
∴ 0.707106 ও 1.4142 এর মাঝখানে একটি মূলদ সংখ্যা b=1.4141010010001……

১১.

ক) প্রমাণ কর যে, যেকোন বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

সমাধানঃ

মনে করি, একটি বিজোড় সংখ্যা (2a-1)
∴ (2a-1)²
=(2a)²-2.2a.1+1²
=4a²- 4a+1
=4a(a-1)+1
আমরা জানি,
যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফলও জোড় সংখ্যা হয়।
∴ 4a(a-1) একটি জোড় সংখ্যা [∴4 একটি জোড় সংখ্যা]
তাহলে, 4a(a-1)+1 একটি বিজোড় সংখ্যা।
∴ যেকোন বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

খ) প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধানঃ

মনে করি, দুইটি ক্রমিক সংখ্যা 2a ও 2a+2
তাহলে, 2a(2a+2)
 =4a²+4a
=4a(a+1)
এখানে, a ও (a+1) দুইটি ক্রমিক সংখ্যা, সুতরাং এদের যে কোনো একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
সুতরাং, a(a+1), 2 দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব, 4a(a+1), 2✕4=8 দ্বারা বিভাজ্য।

১২. আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

(ক) 1/6
6)  10 6 40 36 40 36 40 36 4	( 0.16666…
. 0.16  হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।
(খ) 7/11
11)  70 66 40 33 70 66 40 33 70 66 4	( 0.63636…
. . 0.63 হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।
(গ)	2 3— 9
=	29 9
9)  29 27 20 18 20 18 20 18 2	(3.222…
. 3.2 হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।
(ঘ)	8 3— 15
=	53 15
15)  53 45 80 75 50 45 50 45 50 45 5	(3.5333…
. . 3.53 হলো নির্ণেয় আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ।

১৩. সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ

১৪. সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ

(ক)	. 2.3,	. . 5.235
এখানে, আবৃত দশমিকে অনাবৃত অংক সংখ্যা  সর্বোচ্চ 1 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা 1, 2 এর লসাগু=2. ∴ সদৃশ আবৃত দশমিক করতে হলে প্রত্যেক দশমিকের পরে অনাবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 1 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 2.
∴	. 2.3	. . =2.333	[এরাই নির্ণেয় সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ]
	. . 5.235	. . =5.235
(খ)	. 7.26,	. 4.237
এখানে, আবৃত দশমিকে অনাবৃত অংক সংখ্যা  সর্বোচ্চ 2 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা 1, 1 এর লসাগু=1. ∴ সদৃশ আবৃত দশমিক করতে হলে প্রত্যেক দশমিকের পরে অনাবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 1.
∴	. 7.26	. =7.266	[এরাই নির্ণেয় সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ]
	. 4.237	. =4.237
(গ)	.   5.7,	. . 8.34,	.   . 6.245
এখানে, আবৃত দশমিকে অনাবৃত অংক সংখ্যা  সর্বোচ্চ 0 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা 1, 1, 3 এর লসাগু=6. ∴ সদৃশ আবৃত দশমিক করতে হলে প্রত্যেক দশমিকের পরে অনাবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 0 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 6.
∴	. 5.7	.         . =5.777777	[এরাই নির্ণেয় সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ]
	. . 8.34	.         . =8.343434
	.   . 6.245	.         . =6.245245
(ঘ)	12.32,	. 2.19,	. . 4.3256
এখানে, আবৃত দশমিকে অনাবৃত অংক সংখ্যা  সর্বোচ্চ 2 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা 0, 1, 2 এর লসাগু=2. ∴ সদৃশ আবৃত দশমিক করতে হলে প্রত্যেক দশমিকের পরে অনাবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং আবৃত অঙ্ক সংখ্যা হবে 2.
∴	12.32	. . =12.3200	[এরাই নির্ণেয় সদৃশ আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ]
	. 2.19	. . =2.1999
	. . 4.3256	. . =4.3256

১৫. যোগ করঃ

(ক)	. 0.45	+	. 0.134
এখানে, অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সর্বোচ্চ 2 এবং আবৃত অংশের অংক সংখ্যা 1.
সমাধানঃ
∴	. 0.45	=	. 0.455
	. 0.134	=	. 0.134
---------------------------------
	যোগফল		. 0.589
(খ)	. 2.05	+	. 8.04	+	7.018
সমাধানঃ
এখানে, অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সর্বোচ্চ 3 এবং আবৃত অংশের অংক সংখ্যা 1.
∴	. 2.05	=	. 2.0555
	. 8.04	=	. 8.0444
	7.018	=	. 7.0180
---------------------------------
	যোগফল		. 17.1179
(গ)	. 0.006	+	. . 0.92	+	.   . 0.0134
এখানে, অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সর্বোচ্চ 3 এবং আবৃত অংশের অংক সংখ্যা 1, 2, 3 এর লসাগু 6.
∴	. 0.006	=	. . 0.00666666
	. . 0.92	=	. . 0.92929292
	.   . 0.0134	=	. . 0.01341341
---------------------------------------
	যোগফল		. . 0.94937299

১৬. বিয়োগ করঃ

(ক)	. 3.4	-	. 2.13
সমাধানঃ
এখানে, অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সর্বোচ্চ 1 এবং আবৃত অংশের অংক সংখ্যা 1.
∴	. 3.4	=	. 3.44
	. 2.13	=	. 2.13
-----------------------------------------
	বিয়োগফল		. 1.13
(খ)	. . 5.12	-	. 3.45
সমাধানঃ
এখানে, অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সর্বোচ্চ 1 এবং আবৃত অংশের অংক সংখ্যা 1, 2 এর লসাগু 2.
∴	. . 5.12	=	. . 5.121
	. 3.45	=	. . 3.455
------------------------------------------
			. . 1.666
		=	-1
------------------------------------------
	বিয়োগফল		. . 1.665
(গ)	8.49	-	. . 5.356
সমাধানঃ
এখানে, অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সর্বোচ্চ 2 এবং আবৃত অংশের অংক সংখ্যা 2.
∴	8.49	=	. . 8.4900
	. . 5.356	=	. . 5.3565
---------------------------------------------
		=	. . 3.1335
			-1
----------------------------------------------
	বিয়োগফল		. . 3.1334
(ঘ)	. 19.345	-	.   . 13.2349
সমাধানঃ
এখানে, অনাবৃত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সর্বোচ্চ 2 এবং আবৃত অংশের অংক সংখ্যা 1, 3 এর লসাগু 3.
∴	. 19.345	=	.   . 19.34555
	.   . 13.2349	=	.   . 13.23493
-----------------------------------------------
	বিয়োগফল		.    . 6.11062

১৭. গুণ করঃ

ক)	. 0.3	✕	. 0.6
সমাধানঃ
	. 0.3	✕	. 0.6
=	3 9	✕	6 9
=	2 9
=	. 0.2
খ)	. 2.4	✕	. . 0.81
সমাধানঃ
	. 2.4	✕	. . 0.81
=	24-2    9	✕	81 99
=	22  9	✕	81 99
=	2
গ)	. 0.62	✕	. 0.3
সমাধানঃ
	. 0.62	✕	. 0.3
=	62-6   90	✕	3 9
=	56 90	✕	3 9
=	28 135
=	.   . 0.2074
ঘ)	.  . 42.18	✕	. 0.28
সমাধানঃ
	. . 42.18	✕	. 0.28
=	4218-42     99	✕	28-2   90
=	4176   99	✕	26 90
=	6032  495
=	.  . 12.185

১৮. ভাগ করঃ

ক)	. 0.3	÷	. 0.6
সমাধানঃ
	. 0.3	÷	. 0.6
=	3/9	÷	9/6
=	3/9	✕	6/9
=	1/2
=	0.5
খ)	. 0.35	÷	. 1.7
সমাধানঃ
	. 0.35	÷	. 1.7
=	35-3   90	✕	17-1    9
=	32 90	✕	9 1 9
=	1 5
=	0.2
গ)	. 2.37	÷	. 0.45
সমাধানঃ
	. 2.37	÷	. 0.45
=	237-13    90	÷	45-4   90
=	214  90	÷	41 90
=	214  90	✕	90 41
=	214   41
=	.       . 5.21951
ঘ)	.    . 1.185	÷	. . 0.24
সমাধানঃ
	.   . 1.185	÷	.  . 0.24
=	1185-1    999	÷	24 99
=	1184  999	÷	24 99
=	11894   999	✕	99 24
=	1628  333
=	. 4.8

১৯. চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত সেগুলোর আসন্ন মান লেখঃ

২০. নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লিখঃ

(ক)	. 0.4
সমাধানঃ
	. 0.4
=	4 9
∴সংখ্যাটি মূলদ
(খ)	√9
সমাধানঃ
	√9
=	√(3)2
=	3
∴সংখ্যাটি মূলদ
(গ)	√11
সমাধানঃ
	√11
=	3.31662…
∴সংখ্যাটি অমূলদ
(ঘ)	√6   3
সমাধানঃ
	√6   3
=	√(3✕2)   3
=	√3✕√2      3
=	√2 √3
∴সংখ্যাটি অমূলদ
(ঙ)	√8 √7
সমাধানঃ
=	√8 √7
=	√(2✕4)    √7
=	2√2   7
∴সংখ্যাটি অমূলদ
(চ)	√27 √48
সমাধানঃ
	√27 √48
=	√(3✕9) √(3✕16)
=	√9 √3
=	3 4
∴সংখ্যাটি মূলদ
(ছ)	2 3 3 7
সমাধানঃ
	2 3 3 7
=	2✕7 3✕3
	14  9
	. 1.5
∴সংখ্যাটি মূলদ

২১. n=2x-1, যেখানে x ∈ N. দেখাও যে, n² কে 8 (আট) দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকবে।

সমাধানঃ

n=2x-1  [x ∈ N]
∴n²
=(2x-1)²
=(2x)²-2.2x+1²
=4x²-4x+1
=4x(x-1)+1

x ∈ N বিধায়, x(x-1) জোড় সংখ্যা বা 4x(x-1) ও জোড় সংখ্যা আর 4x(x-1) কে 8 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হবে। তাহলে, 4x(x-1)+1 এর ক্ষেত্রে ভাগশেষ 1 হবে।
∴n=2x-1, যেখানে x ∈ N. দেখাও যে, n² কে 8 (আট) দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 1 ভাগশেষ থাকবে।

২২. √5 ও 4 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।

ক) কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর।

খ) √5 ও 4 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
গ) প্রমান কর যে, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ

ক)
এখানে, √5=2.36067….
∴√5 একটি অমূলদ সংখ্যা
এবং 4 একটি মূলদ সংখ্যা।

খ)

এখানে, √5=2.36067….
মনে করি,
a=3.202002000….
b=3.505005000….
যেখানে, a ও b দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং √5 অপেক্ষা বড় ও 4 অপেক্ষা ছোট।
∴a ও b-ই নির্ণেয় দুইটি অমূলদ সংখ্যা।

গ) √5 

আমরা জানি,
1<5<9
বা, √1<√5<√9
বা, 1<√5<3
সুতরাং,  √5  এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 3 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √5  পূর্ণসংখ্যা নয়।
তাহলে, √5 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
যদি √5 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
মনে করি, √5=p/q [ যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q>1]
বা, 5=p²/q² [বর্গ করে]
বা, 5q=p²/q [উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]
স্পষ্টতঃ 5q পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়; কারন p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং  q>1.
তাহলে, 5q≠p²/q.
বা, 5≠p²/q²
বা, √5≠p/q
∴√5 একটি অমূলদ সংখ্যা।