অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৭ - সেট

 

সেটঃ

১. সেট প্রকাশের পদ্ধতি কতটি?

ক) 1    খ) 2    গ) 3    ঘ) 4

উত্তরঃ খ

২. নিচের কোনটি যে কোন সেটের উপসেট?

ক) {0}    খ) {∅}     গ) ∅    ঘ) (∅)

উত্তরঃ গ

৩. {0} সেটের উপাদান সংখ্যা কয়টি?  

ক) 0    খ) 1    গ) 2    ঘ) 3

উত্তরঃ খ

৪. S={x:x জোড় সংখ্যা এবং 1≤x≤7} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) {2,3,4}    খ) {2,4,6}    গ) {1,3,5}   ঘ) {3,5,7}

উত্তরঃ  খ

৫. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

ক) {x:x বিজোড় সংখ্যা এবং 3<x<15}

খ) {x:x, 48-এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ}

গ) {x:x, 3-এর গুণিতক এবং x<36}

ঘ) {x:x, পূর্ণসংখ্যা এবং x²<10}

----------------------------------------------------

ক) {x:x বিজোড় সংখ্যা এবং 3<x<15}

সমাধানঃ

ধরি, A={x:x বিজোড় সংখ্যা এবং 3<x<15}

A সেটটির উপাদান বিজোড় সংখ্যাসমূহ যা 3 এর চেয়ে বড় এবং 15 এর ছোট।

∴ 3 এর চেয়ে বড় এবং 15 এর ছোট বিজোড় সংখ্যাসমূহ 5,7,9,11,13

∴ নির্ণেয় সেট A={5,7,9,11,13}

খ) {x:x, 48-এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ}

সমাধানঃ

ধরি, A={x:x, 48-এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ}

∴ A সেটটি 48 এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ।

এখানে,

48

=1✕48

=2✕24

=3✕16

=4✕12

=6✕8

∴ 48 এর গুণনীয়ক হল 1,2,3,4,6,8,12,24,48

এবং 48 এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহ 2,3

∴ নির্ণেয় সেট A={2,3}

গ) {x:x, 3-এর গুণিতক এবং x<36}

সমাধানঃ

ধরি, A={x:x, 3-এর গুণিতক এবং x<36}

∴ A সেটটি 3 এর গুনীতকসমূহ যাদের মান 36 এর চেয়ে ছোট।

এখন, 3 এর গুণীতক এবং 36 এরর চেয়ে ছোট সংখ্যা সমূহ 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33

∴ নির্ণেয় সেট A={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33}

ঘ) {x:x, পূর্ণসংখ্যা এবং x²<10}

সমাধানঃ

ধরি, A={x:x, পূর্ণসংখ্যা এবং x²<10}

∴ A সেটটি পূর্ণসংখ্যার যাদের বর্গের মান 10 এর চেয়ে ছোট।

পূর্ণসংখ্যা যাদের বর্গের মান 10 এর চেয়ে ছোট তা হলোঃ -3,-2,-1,0,1,2,3

∴ নির্ণেয় সেট A={-3,-2,-1,0,1,2,3}

৬.নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

ক) {3,4,5,6,7,8}

খ) {4,8,12,16,20,24}

গ) {7,11,13,17}

-------------------------------------------

ক) {3,4,5,6,7,8}

সমাধানঃ

প্রদত্ত সেটের উপাদানসমুহ 2 থেকে বড় এবং 9 থেকে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।

ধরি, যেকোন চলক x

∴ নির্ণেয় সেট {x:x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 2<x<9}

খ) {4,8,12,16,20,24}

সমাধানঃ

প্রদত্ত সেটের উপাদান সমূহ 4 এর গুণিতকসমূহ এবং এদের মান 24 থেকে বড় নয়।

ধরি যেকোনো চলক x

∴ নির্ণেয় সেট {x:x, 4 এর গুণিতক এবং x≤24}

গ) {7,11,13,17}

সমাধানঃ

প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ মৌলিক সংখ্যা যাদের মান 5 এর চেয়ে বড় এবং 19 এর চেয়ে ছোট।

ধরি, যেকোন চলক x

∴ নির্ণেয় সেট {x:x মৌলিক সংখ্যা এবং 5<x<19}

৭. নিচের সেট দুইটির উপসেট ও উপসেটের সংখ্যা নির্ণয় করঃ

ক) C={m,n}

খ) D={5,10,15}

------------------------------------

ক) C={m,n}

সমাধানঃ

C সেটের উপসেট হবে এর উপাদানগুলো থেকে নিয়ে গঠিত সেট।

∴ C সেটের উপসেটগুলো হলঃ ∅, {m}, {n}, {m,n}

∴ নির্ণেয় উপ্পসেটগুলো=∅, {m}, {n}, {m,n} এবং উপসেটের সংখ্যা=4টি।

খ) D={5,10,15}

সমাধানঃ

D সেটের উপসেট হবে এর উপাদানগুলো থেকে নিয়ে গঠিত সেট।

∴ D সেটের উপসেটগুলো হলঃ ∅, {5}, {10}, {15}, {5,10}, {5,15}, {10,15}, {5,10,15}

∴ নির্ণেয় উপসেটগুলো ∅, {5}, {10}, {15}, {5,10}, {5,15}, {10,15}, {5,10,15} এবং উপসেটের সংখ্যা=8টি।

৮. A={2,3,4} এবং B={5,7} হলে A∩B নিচের কোনটি?

ক) ∅    খ) {0}   গ) {5,7}    ঘ) {2,3,4,5,7}

উত্তরঃ ক

৯. A={x:x, জোড় সংখ্যা এবং 4<x<16} এর তালিকা পদ্ধতি কোনটি?

ক) {5}  খ) {4,6}   গ) {4,5,6}  ঘ) ∅

উত্তরঃ ঘ

১০. P={x,y,z} হলে, নিচের কোনটি P-এর উপসেট নয়? 

ক) {x,y}    খ) {x,w,z}   গ) {x,y,z}   ঘ) ∅

উত্তরঃ খ

১১. 10 এর গুণনীয়কসমূহের সেট কোনটি?

ক) {1,2,5,10}    খ) {1,10}    গ) {10}    ঘ) {10,20,30}

উত্তরঃ ক

১২. A={1,2,3}, B={2,a}, C={a,b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় করঃ

ক) A∪B

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A={1,2,3} এবং B={2,a}

∴ A∪B={1,2,3}∪{2,a}

          ={1,2,3,a}

খ) B∩C

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

B={2,a}, C={a,b}

∴ B∩C={2,a}∩{a,b}

          ={2,a,b}

গ) A∩(B∪C)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={1,2,3}, B={2,a}, C={a,b}

এখন, B∪C={2,a}∪{a,b}

              ={2,a,b}

∴ A∩(B∪C)={1,2,3}∩{2,a,b}

                ={2}

ঘ) (A∪B)∪C

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={1,2,3}, B={2,a}, C={a,b}

এখন, A∪B={1,2,3}∪{2,a}={1,2,3,a}

∴ (A∪B)∪C={1,2,3,a}∪{a,b}={1,2,3,a,b}

ঙ) (A∩B)∪(B∩C)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={1,2,3}, B={2,a}, C={a,b}

এখন,

A∩B={1,2,3}∩{2,a}={2}

আবার,

B∩C={2,a}∩{a,b}={a}

∴ (A∩B)∪(B∩C)={2}∪{a}={2,a}

১৩. যদি U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,2,5}, B={2,4,7} এবং C={4,5,6} হয়, তবে নিন্মলিখিত সম্পর্কগুলোর সত্যতা যাচাই করঃ

ক) A∩B=B∩A

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A={1,2,5}, B={2,4,7}

এখন,

A∩B={1,2,5}∩{2,4,7}={2}

আবার,

B∩A={2,4,7}∩{1,2,5}={2}

∴ A∩B=B∩A সত্য।

খ) (A∩B)’=A’∪B’

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,2,5}, B={2,4,7}

এখন,

A∩B={1,2,5}∩{2,4,7}={2}

∴ (A∩B)’=U-(A∩B)={1,2,3,4,5,6,7}-{2}={1,3,4,5,6,7}

আবার,

A’=U-A={1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,5}={3,4,6,7}

B’=U-B={1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,6}

∴ A’∪B’={3,4,6,7}∪{1,3,5,6}={1,3,4,5,6,7}

তাহলে,

(A∩B)’=A’∪B’ সত্য।

গ) (A∪C)’=A’∩C’

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,2,5}, C={4,5,6}

এখন,

A∪C={1,2,5}∪{4,5,6}={1,2,4,5,6}

∴ (A∪C)’=U-(A∪C)={1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,4,5,6}={3,7}

আবার,

A’=U-A={1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,5}={3,4,6,7}

C’=U-A={1,2,3,4,5,6,7}-{4,5,6}={1,2,3,7}

∴ A’∩C’={3,4,6,7}∩{1,2,3,7}={3,7}

তাহলে,

(A∪C)’=A’∩C’ সত্য।

১৪. P এবং Q যথাক্রমে 21 ও 35 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, P∪Q নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

21 এর গুণনীয়ক=1,3,7,21

∴P={1,3,7,21}

35 এর গুণনীয়ক=1,5,7,35

∴Q={1,5,7,35}

∴P∪Q={1,3,7,21}∪{1,5,7,35}={1,3,5,7,21,35}

১৫.A={2,3,5} হলে-

i. A={x∈N: 1<x<6 এবং x মৌলিক সংখ্যা}

ii. A={x∈N: 2≤x<7 এবং x মৌলিক সংখ্যা}

iii. A={x∈N: 2≤x≤5 এবং x মৌলিক সংখ্যা}

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii   গ) ii ও iii  ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

# নিচের তথ্যের আলোকে ১৬ ও ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

U={2,3,5,7}, A={2,5}, B={3,5,7}

১৬. A^c কোনটি?

ক) {2,5}   খ) {3,5}   গ) {3,7}   ঘ) {2,7}

উত্তরঃ গ

১৭. A∩B^c কোনটি?

ক) {2}   খ) {5}   গ) {2,5}   ঘ) {3,7}

উত্তরঃ ক

নিচের ভেনচিত্রের আলোকে ১৮ থেকে ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

১৮. সার্বিক সেট কোনটি?

ক) A   খ) B   গ) A∪B   ঘ) U

উত্তরঃ ঘ

১৯. কোনটি B^c সেট?

ক) {5,6,7,8}   খ) {2,3,5,6}   গ) {1,4,7,8}   ঘ) {3,6}

উত্তরঃ গ

২০. কোনটি A∩B সেট?

ক) {2,3}   খ) {2,3,5,6} গ) {3,4,6,7}   ঘ) {2,3,4,5,6,7}

উত্তরঃ ক

২১. কোনটি A∪B সেট?

ক) {1,2,3,4,5,6}   খ) {5,6,7}   গ) {8} ঘ) {3}

উত্তরঃ ক 

২২. কোনো ছাত্রাবাসের 65% ছাত্র মাছ পছন্দ করে, 55% ছাত্র মাংস পছন্দ করে এবং 40% ছাত্র উভয়টি পছন্দ করে।

(ক) সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ উপরের তথ্যগুলো ভেনচিত্রে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

এখানে=মোট ছাত্রের সেট

A=মাছ পছন্দকারী ছাত্রের সেট

B=মাংস পছন্দকারী ছাত্রের সেট

A∩B=মাছ ও মাংস উভিয়টি পছন্দকারী ছাত্রের সেট

(খ) উভয় খাদ্য পছন্দ করে না তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, মোট ছাত্র সংখ্যা, U=100

∴উভয় খাদ্য পছন্দকারী ছাত্রের সংখ্যা, A∩B=40

তাহলে,

উভয় খাদ্য পছন্দ করে না এমন ছাত্রের সংখ্যা হবে U-(A∩B)=100-40=60

অর্থাৎ, 60% ছাত্র উভয় খাদ্য পছন্দ করে না।

(গ) যারা শুধু একটি খাদ্য পছন্দ করে তাদের সংখ্যার গুণনীয়ক সেটের ছেদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মাছ পছন্দকারী ছাত্র সংখ্যা=65%

মাংস পছন্দকারী ছাত্র সংখ্যা=55%

মাছ ও মাংস উভয় পছন্দকারী ছাত্র সংখ্যা=40%

তাহলে,

শুধু মাছ পছন্দকারী ছাত্র সংখ্যা =(65-40)%=25%

এবং শুধু মাংস পছন্দকারী ছাত্র সংখ্যা=(55-40)%=15%

এখানে 25 এর গুণনীয়কের সেট P={1,5,25}

এবং 15 এর গুণনীয়কের সেট Q={1,3,5,15}

∴ P∩Q={1,5,25}∩{1,3,5,15}={1,5}

২৩.

(ক) A সেটটি সেট গঠন পদ্ধতিতে লিখ।

সমাধানঃ

চিত্রে, A={3,4,5,6}

প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 3,4,5,6

এখানে, উপাদান্সমূহ 2 থেকে বড় এবং 7 থেকে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা।

ধরি যেকোনো চলক x

∴ নির্ণেয় সেট {x:x স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 2<x<7}

(খ) A, B ও C কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করো এবং A∩C ও A∪B নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

চিত্র হতে, A, B ও C কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে পাই,

A={3,4,5,6}

B={4,5,8,9}

C={5,6,7,8}

∴ A∩C={3,4,5,6}∩{5,6,7,8}={5,6}

এবং A∪B={3,4,5,6}∪{4,5,8,9}={3,4,5,6,8,9}

(গ) প্রমাণ কর যে, (A∪B)’=A’∩B’

সমাধানঃ

চিত্রে,

U={3,4,5,6,7,8,9,10}

A={3,4,5,6}

B={4,5,8,9}

C={5,6,7,8}

এখন,

A∪B={3,4,5,6}∪{4,5,8,9}={3,4,5,6,8,9}

∴(A∪B)’=U-(A∪B)={3,4,5,6,7,8,9,10}-{3,4,5,6,8,9}={7,10}

আবার,

A’=U-A={3,4,5,6,7,8,9,10}-{3,4,5,6}={7,8,9,10}

B’=U-B={3,4,5,6,7,8,9,10}-{4,5,8,9}={3,6,7,10}

∴ A’∩B’={7,8,9,10}∩{3,6,7,10}={7,10}

অতএব,

∴ (A∪B)’=A’∩B’ [প্রমাণিত]

২৪. সার্বিক সেট U={1,2,3,4,5,6,7} এর তিনটি উপসেট

A={x∈N:x<7 এবং x বিজোড় সংখ্যা}

B={x∈N:x<7 এবং x জোড় সংখ্যা}

C={x∈N:x≤3 এবং x মৌলিক সংখ্যা}

(ক) A ও B সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

A={x∈N:x<7 এবং x বিজোড় সংখ্যা}

এখানে,

U={1,2,3,4,5,6,7}

7 থেকে ছোট সংখ্যা 1,2,3,4,5,6 যার মধ্য বিজোড় সংখ্যা হলোঃ 1,3,5

∴ A={1,3,5}

আবার,

7 থেকে ছোট সংখ্যা 1,2,3,4,5,6 যার মধ্য জোড় সংখ্যা হলোঃ 2,4,6

∴ B={2,4,6}

অর্থাৎ, A ও B সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে পাই,

A={1,3,5} এবং B={2,4,6}

(খ) (A∪B) ∩ (A∪C) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

A={1,3,5} এবং B={2,4,6}

এখন, U={1,2,3,4,5,6,7} যেখানে 3 এর সমান ও ছোট মৌলিক সংখ্যা হলোঃ 1,2,3

∴ C={1,2,3}

এখন,

A∪B={1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}

A∪C={1,3,5}∪{1,2,3}={1,2,3,5}

∴ (A∪B)∩(A∪C={1,2,3,4,5,6}∩{1,2,3,5}={4,6}

(গ) (B∪C)’ এর উপসেটগুলো লিখ।

সমাধানঃ

এখানে,

U={1,2,3,4,5,6,7}

B={2,4,6}

C={1,2,3}

এখন,

B∪C={2,4,6}∪{1,2,3}={1,2,3,4,6}

∴ (B∪C)’=U-(B∪C)={1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,4,6}={5,7}

তাহলে, (B∪C)’ এর উপসেটগুলো ∅, {5}, {7}, {5,7}

২৫. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 ও 556 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে তাদের সেট যথাক্রমে A ও B

(ক) A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে সে সকল সংখ্যা 31 অপেক্ষা বড় এবং (346-31)=315 এর সাধারণ গুণনীয়ক যার সেট A.

এখন,

315

=1✕315

=3✕105

=5✕63

=7✕45

=9✕35

=15✕21

∴ A={35,45,63,105,315}

(খ) A∩B নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই, A={35,45,63,105,315}

এখন,

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 556 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে সে সকল সংখ্যা 31 অপেক্ষা বড় এবং (556-31)=525 এর সাধারণ গুণনীয়ক যার সেট B.

525

=1✕525

=3✕175

=5✕105

=7✕75

=15✕35

=21✕25

∴ B={35,75,105,175,525}

তাহলে,

A∩B={35,45,63,105,315}∩{35,75,105,175,525}={35,105}

(গ) A∩B ভেনচিত্রে দেখাও এবং A∩B এর উপসেটগুলো লিখ।

সমাধানঃ

নিচে ভেনচিত্রে A∩B দেখানো হলোঃ

ক হতে পাই, A∩B={35,105}

∴ A∩B এর উপসেটগুলো হলোঃ ∅, {35}, {105}, {35,105}