সপ্তম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১০.২ - কোণ-বাহু-কোণ, বাহু-বাহু-বাহু সমতা

 

কোণ-বাহু-কোণ, বাহু-বাহু-বাহু সমতাঃ

১. △ABC এ AB=AC এবং O, ABC এর অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু যেন OB=OC হয়। প্রমাণ কর যে, ∠AOB=∠AOC.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এ AB=AC এবং O, ABC এর অভ্যন্তরে এমন একটি বিন্দু যেন OB=OC হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB=∠AOC.

প্রমাণঃ

△AOB ও △AOC এ

AB=AC

OB=OC

এবং AO সাধারণ বাহু।

∴AOB ≅ △AOC [ বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

∴∠AOB=∠AOC

২. △ABC এর AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD=CE এবং BE=CD. প্রমাণ কর যে, ∠ABC=∠ACB.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এর AB ও AC বাহুতে যথাক্রমে D ও E এমন দুইটি বিন্দু যেন BD=CE এবং BE=CD. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC=∠ACB.

প্রমাণঃ

△BDC ও △BCE এ

BD=CE [কল্পনা]
BE=CD [কল্পনা]
এবং BC সাধারণ বাহু,
∴△BDC ≅ △BCE [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
∴∠BCD=∠CBE
বা, ∠ACB=∠ABC (প্রমাণিত)

৩. চিত্রে, AB=AC, BD=DC এবং BE=CF. প্রমাণ কর যে, ∠EDB=∠FDC.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABC এ AB=AC, BD=DC এবং BE=CF. প্রমাণ করতে হবে যে, ∠EDB=∠FDC.

প্রমাণঃ

△ABC এ AB=AC হওয়ায়
∠B=∠C  [ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ পরস্পর সমান]
আবার, BD=CD হওয়ায় সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণ ∠BED=∠CFD.
এখন, △BED ও △CDF এ
∠B=∠C.
 ∠BED=∠CFD এবং অনুরুপ BE বাহু=অনুরুপ CF বাহু
∴△BED ≅ △CDF
∴∠EDB=∠FDC (প্রমাণিত)

৪. চিত্রে, AB=AC এবং ∠BAD=∠CAE. প্রমাণ কর যে, AD=AE.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, △ABD এবং △ACE এর মধ্যে AB=AC এবং ∠BAD=∠CAE. প্রমাণ করতে হবে যে, AD=AE.

প্রমাণঃ

△ABD এবং △ACE এর মধ্যে
AB=AC
এবং ∠BAD=∠CAE
সুতরাং, BD=CE [সমান সমান কোণের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান]
∴△ABD ≅ △ACE [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
অতএব, AD=AE (প্রমাণিত)

৫. ABCD চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক। প্রমাণ কর যে, ∠B=∠D.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABCD চতুর্ভুজে AC, ∠BAD এবং ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠B=∠D.

প্রমাণঃ

△ABC এবং △ADC এর মধ্যে ∠BAC=∠CAD [AC, ∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক]
∠BCA=∠ACD [AC, ∠BCD এর সমদ্বিখন্ডক]
এবং AC সাধারন বাহু।
∴△ABC ≅ △ADC [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
∴∠B=∠D (প্রমাণিত)

৬. চিত্রে, AB এবং CD পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ কর যে, AD=BC.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচণঃ মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের AB এবং CD পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং AC ও BD কর্ণ দুইটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AD=BC.

প্রমাণঃ

△ADC এবং △ABC এর মধ্যে
CD=AB
AC সাধারণ বাহু।
এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ACD=অন্তর্ভুক্ত ∠BAC [একান্তর কোণ]
∴△ADC ≅ △ABC [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
∴AD=BC (প্রমাণিত)

৭. প্রমাণ কর যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমির প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় পরস্পর সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। BC ভূমির B ও C হতে BE ও CF বিপরীত বাহুর উপর দুইটি লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, BE=CF.

প্রমাণঃ

△ABC এ AB=AC হওয়ায় ∠B=∠C.
এখন, △BCE ও △BCF এ ∠BCE=∠CBF.
∠BEC=∠BFC [মনকোণ বলে]
এবং BC সাধারণ বাহু।
∴△BCE ≅ △BCF [কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
∴BE=CF (প্রমাণিত)

৮. প্রমাণ কর যে, কোনো ত্রিভুজের ভুমির প্রান্ত বিন্দুদ্বয় থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABC ত্রিভুজের BC ভূমির B ও C হতে BE ও CF বিপরীত বাহুর উপর দুইটি লম্ব। BE=CF হলে, প্রমাণ করতে হবে যে, ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।

প্রমাণঃ

BE ও CF লম্ব হওয়ায় BEC ও BCF দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ।
 এখন, BEC ও BCF দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ এর মধ্যে BE=CF এবং BC অতিভুজ সাধারণ বাহু।
∴△BEC ≅ △BCF [অতিভুজ-বাহু-উপপাদ্য]
 ∴∠BCE=∠CBF
বা, ∠C=∠B
এখন, △ABC এ ∠B=∠C হওয়ায়
AB=AC
∴△ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (প্রমাণিত)

৯. ABCD চতুর্ভুজের AB=AD এবং ∠B=∠D=এক সমকোণ। প্রমাণ কর যে, △ABC≅△ADC.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের AB=AD এবং ∠B=∠D=এক সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC≅△ADC.

প্রমাণঃ

ABC ও ADC সমকোণী ত্রিভুজ দুইটির মধ্যে AB=AD এবং AC অতিভুজ সাধারণ বাহু।
 ∴△ABC≅△ADC [অতিভুজ-বাহু উপপাদ্য] (প্রমাণিত)