অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-১০.২ বৃত্তের উপপাদ্য

 

বৃত্তঃ বৃত্তের জ্যা

১. বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, এদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে দুইটি সমান জ্যা AB ও CD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PA=PD এবং PB=PC.

অঙ্কনঃ

কেন্দ্র O থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OM এবং ON লম্ব আঁকি। O, P যোগ করি।

প্রমাণঃ

△MOP ও △NOP এর মধ্যে

∠OMP=∠ONP=90⁰ [অঙ্কন অনুসারে]

OM=ON [সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী]

OP সাধারণ বাহু।

∴ △MOP ≅ △NOP

∴ MP=NP……(i)

এখন

AB=CD [শর্ত মতে]

বা, ½AB= ½CD

বা, AM=DN [কেন্দ্র হতে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে]

বা, AM+MP=DN+MP [উভয়পক্ষে MP যোগ করি]

বা, AM+MP=DN+NP [(i) নং হতে]

বা, PA=PD…..(ii)

আবার,

AB=CD [শর্ত মতে]

বা, AB-PA=CD-PD [(ii) নং হতে]

বা, PB=PC

অতএব, PA=PD এবং PB=PC (প্রমাণিত)

২. প্রমাণ কর যে, বৃত্তের সমান জ্যা-এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB, CD ও EF তিনটি সমান জ্যা। AB, CD ও EF এর মধ্যবিন্দুগুলো যথাক্রমে M, P ও N। প্রমাণ করতে হবে যে, M, P ও N সমবৃত্ত।

অঙ্কনঃ

O, M; O, N এবং O, P যোগ করি।

প্রমাণঃ

আমরা জানি, কেন্দ্র হতে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে।

যেহেতু M, P, N যথাক্রমে জ্যা AB, CD, EF এর মধ্যবিন্দু সেহেতু OM, OP, ON যথাক্রমে AB, CD, EF এর উপর লম্ব।

তাহলে, OM, OP, ON ই কেন্দ্র হতে জ্যা তিনটির দূরত্ব।

এখন,

OM=OP=ON [বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী]

সুতরাং, O কে কেন্দ্র করে OM, ON, OP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা M, N, P বিন্দু দিয়ে যবে।

অতএব, M, N, P সমবৃত্ত (প্রমাণিত)

৩. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে এর বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা অঙ্কন করলে এরা সমান্তরাল হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ব্যাস। AB ব্যাসের A প্রান্ত থেকে AD জ্যা এবং B প্রান্ত থেকে BC জ্যা অঙ্কন করা হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AD।।BC.

প্রমাণঃ

AD=BC [শর্তানুসারে]

AB তাদের ছেদক।

∴∠DAB=∠CBA

ছেদকের উভয় পাশের একান্তর কোণগুলো সমান হলে রেখাদ্বয় সমান্তরাল।

∴AD।।BC (প্রমাণিত)

৪. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে এর বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে এরা সমান হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস। AB এর A প্রান্ত থেকে AD জ্যা এবং B প্রান্ত থেকে BC জ্যা আঁকা হল এবং AD।।BC। প্রমাণ করতে হবে যে, AD=BC.

অঙ্কনঃ

কেন্দ্র O থেকে AD ও BC এর উপর যথাক্রমে OM ও ON লম্ব আঁকি।

প্রমাণঃ

△AOM ও △BON এর মধ্য,

∠OMA=∠ONB [OM⊥AD; ON⊥BC]

∠MAO=∠NBO [AD।।BC ও AB ছেদক]

AO=BO [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ △AOM ≅ △BON

∴ OM=ON

তাহলে, AD=BC [বৃত্তের কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী সকল জ্যা সমান]

∴ AD=BC (প্রমাণিত)

৫. দেখাও যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যা টি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে AB ও CD দুইটি জ্যা এবং AB>CD। AB ও CD এর উপরে লম্বদ্বয় যথাক্রমে OE ও OF। দেখাতে হবে যে, OE<OF.

অঙ্কনঃ

O, A ও O, C যোগ করি।

প্রমাণঃ

যেহেতু, OE⊥AB এবং OF⊥CD

AE= ½AB, CF=½CD [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

কিন্তু, AB>CD

∴AE>CF 

এখন, △OAE এ OA²=AE²+OE²

এবং △OCF এ OC²=CF²+OF²

কিন্তু, OA=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ OA²=OC²

∴ AE²+OE²=CF²+OF²

এখন, AE>CF হওয়ায়

AE²>CF²

∴ OE²<OF²

বা, OE<OF

অর্থাৎ, বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর। (দেখানো হলো)

৬. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে PQ এবং RS দুটি সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N।

ক) 314 বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² [r=ব্যাসার্ধ]

দেওয়া আছে, বৃত্তের ক্ষত্রফল=314 বর্গ সেমি।

প্রশ্নমতে,

πr²=314

বা, 3.1416*r²=314

বা, r²=314/3.1416

বা, r²=99.949

বা, r=√99.949

বা, r=9.997

∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ=9.997 সেমি.

খ) প্রমাণ কর যে, OM=ON।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে PQ ও RS দুইটি সমান জ্যা যাদের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N। প্রমাণ করতে হবে যে,  OM=ON।

অঙ্কনঃ

O, Q ও O, S যোগ করি।

প্রমাণঃ

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে অঙ্কিত লম্ব জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে।

O বৃত্তের কেন্দ্র, জ্যা PQ ও RS এর মধ্যবিন্দু M ও N।

তাহলে, OM⊥PQ এবং ON⊥RS…….(i)

এখন, △OMQ ও △ONS এর মধ্যে,

∠OMQ=∠ONS=এক সমকোণ [(i) নং হতে]

MQ=NS [যেহেতু PQ=RS, জ্যা PQ ও RS এর মধ্যবিন্দু M ও N ]

OQ=OS [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

∴ △OMQ ≅ △ONS

অতএব, OM=ON [প্রমাণিত]

গ) PQ এবং RS জ্যাদ্বয় বৃত্তের অভ্যন্তরে পরস্পরকে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।

সমাধানঃ

এই প্রশ্নের সমাধান ১ নং প্রশ্নের অনুরুপ।