বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান এবং লেখচিত্রের সাহায্যে সরল সহসমীকরণের সমাধানঃ
বহুনির্বাচনি প্রশ্নঃ
১. x+y=5, x-y=3 হলে (x,y) এর মান নিচের কোনটি?
ক) (4,1) খ) (1,4) গ) (2,3) ঘ) (3,2)
উত্তরঃ ক
২. নিচের কোনটি সরল রেখার সমীকরণ নির্দেশ করে না?
ক) 3x-3y=0 খ) x+y=5
গ) x=1/y ঘ) 4x+5y=9
উত্তরঃ গ
৩. x-2y=8, 3x-2y=4 সমীকরণ জোটের x এর মান কত?
ক) -5 খ) -2 গ) 2 ঘ) 5
উত্তরঃ খ
৪. 4x+5y=9 সমীকরনটিতে কয়টি চলক আছে?
ক) 0 খ) 1 গ) 2 ঘ) 3
উত্তরঃ গ
৫. মূল বিন্দুর স্থানাংক কোনটি?
ক) (0,0) খ) (0,1) গ) (1,0) ঘ) (1,1)
উত্তরঃ ক
৬. (-3,-5) বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?
ক) প্রথম খ) দ্বিতীয় গ) তৃতীয় ঘ) চতুর্থ
উত্তরঃ গ
৭. x+2=30 সমীকরণের লেখচিত্রের উপর অবস্থিত বিন্দু
i. (10,10)
ii. (0,15)
iii. (10,20)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক
# নিচের অনুচ্ছেদটি লক্ষ করে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
x ও y সংখ্যা দুইটির বিয়োগফলের অর্ধেক 4। বড় সংখ্যাটির সাথে ছোট সংখ্যাটির তিনগুণ যোগ করলে যোগফল 20 হয়। যেখানে x>y।
৮. প্রথম শর্ত কোনটি?
ক) x-y=4 খ) x-y=8
গ) y-x=4 ঘ) y-x=8
উত্তরঃ খ
৯.(x,y) এর মান নিচের কোনটি?
ক) (3,11) খ) (7,3) গ) (11,7) ঘ) (11,3)
উত্তরঃ ঘ
১০. দুইটি সংখ্যার যোগফল 100 এবং 20 হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, সংখ্যা দুইটি x ও y
তাহলে,
১ম শর্তানুসারে, x+y=100……..(i)
২য় শর্তানুসারে, x-y=20…………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2x=120
বা, x=120/2
বা, x=60
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
60+y=100
বা, y=100-60
বা, y=40
∴ সংখ্যা দুইটি 60 ও 40
১১. দুইটি সংখ্যার যোগফল 160 এবং একটি অপরটির তিনগুণ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, সংখ্যা দুইটি x ও y
তাহলে,
১ম শর্তানুসারে, x+y=160……..(i)
২য় শর্তানুসারে, x=3y…………(ii)
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
3y+y=160
বা, 4y=160
বা, y=160/4
বা, y=40
∴ x=3✕40=120
∴ সংখ্যা দুইটি 120 ও 40
১২. দুইটি সংখ্যার প্রথমটির তিনগুণের সাথে দ্বিতীয়টির দুইগুণ যোগ করলে 59 হয়। আবার, প্রথমটির দুইগুণ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে 9 হয়। সংখ্যাদ্বয় নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, সংখ্যা দুইটি x ও y
তাহলে,
১ম শর্তানুসারে, 3x+2y=59……..(i)
২য় শর্তানুসারে, 2x-y=9…………(ii)
(i) নং কে 1 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
3x+2y=59
4x-2y=18
বা, x=77/7
বা, x=11
x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
2✕11-y=9
বা, 22-y=9
বা, -y=9-22
বা, -y=-13
বা, y=13
∴ সংখ্যা দুইটি 11 ও 13
১৩. 5 বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ছিল 3:1 এবং 15 বছর পর পিতা-পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে 2:1। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
বর্তমানে পিতার বয়স x বছর
এবং পুত্রের বয়স y বছর
১ম শর্তানুসারে,
(x-5) : (y-5) = 3 : 1
x-5 3
বা, x-5=3y-15
বা, x-3y=-15+5
বা, x-3y=-10………………..(i)
২য় শর্তানুসারে,
(x+15) : (y+15) = 2 : 1
x+15 2
বা, x+15=2y+30
বা, x-2y=30-15
বা, x-2y=15…………(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
-y=-25
বা, y=25
y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
x-2✕25=15
বা, x-50=15
বা, x=15+50
বা, x=65
∴ বর্তমানে পিতার বয়স 65 বছর
এবং পুত্রের বয়স 25 বছর
১৪. কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 5 যোগ করলে এর মান 2 হয়। আবার, হর থেকে 1 বিয়োগ করলে এর মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, ভগ্নাংশটি x/y
১ম শর্তানুসারে,
x+5
বা, x+5=2y
বা, x-2y=-5……………….(i)
২য় শর্তানুসারে,
x
বা, x=y-1
বা, x-y=-1……………….(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
-y=-4
বা, y=4
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
x-2✕4=-5
বা, x-8=-5
বা, x=-5+8
বা, x=3
∴ ভগ্নাংশটি 3/4
১৫. কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 14 এবং বিয়োগফল 8 হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, প্রকৃত্ত ভগ্নাংশটি x/y; x<y
তাহলে,
১ম শর্তানুসারে, x+y=14……..(i)
২য় শর্তানুসারে, y-x=8…………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2y=22
বা, y=22/2
বা, y=11
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
x+11=14
বা, x=14-11
বা, x=3
∴ ভগ্নাংশটি = 3/11
১৬. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল 10 এবং বিয়োগফল 4 হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্কটি x
এবং দশক স্থানীয় অঙ্কটি y
∴ সংখ্যাটি = 10y+x
১ম শর্তানুসারে, x+y=10……..(i)
২য় শর্তানুসারে, x-y=4…………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2x=14
বা, x= 14/2
বা, x=7
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
7+y=10
বা, y=10-7
বা, y=3
∴ সংখ্যাটি = 10✕3+7=30+7=37
১৭. একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 25 মিটার বেশি। আয়তাকার ক্ষেত্রটির পরিসীমা 150 মিটার হলে, ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ x মিটার
তাহলে এর দৈর্ঘ্য (x+25) মিটার
আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)
বা, 150=2(x+x+25)
বা, 150=2(2x+25)
বা, 150=4x+50
বা, 4x=150-50
বা, 4x=100
বা, x=100/4
বা, x=25
∴ আয়তাকার ক্ষেত্রটির প্রস্থ 25 মিটার
এবং এর দৈর্ঘ্য (25+25)=50 মিটার
১৮. একজন বালক দোকান থেকে 15টি খাতা ও 10টি পেন্সিল 300 টাকা দিয়ে ক্রয় করলো। আবার অন্য একজন বালক একই দোকান থেকে একই ধরনের 10টি খাতা 15টি পেন্সিল 250 টাকায় ক্রয় করলো। প্রতিটি খাতা ও পেন্সিলের মূল্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
১টি খাতার মূল্য x টাকা
এবং ১টি পেন্সিলের মূল্য y টাকা
১ম শর্তানুসারে, 15x+10y=300……..(i)
২য় শর্তানুসারে, 10x+15y=250…………(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
45x+30y=900
20x+30y=500
বা, x=400/25
বা, x=16
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
15✕16+10y=300
বা, 240+10y=300
বা, 10y=300-240
বা, 10y=60
বা, y=60/10
বা, y=6
∴ ১টি খাতার মূল্য 16 টাকা
এবং ১টি পেন্সিলের মূল্য 6 টাকা
১৯. একজন লোকের নিকট 5000 টাকা আছে। তিনি উক্ত টাকা দুই জনের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দিলেন যেন, প্রথম জনের টাকা দ্বিতীয় জনের 4 গুণ হয়। আবার প্রথম জন থেকে 1500 টাকা দ্বিতীয় জনকে দিলে উভয়ের টাকার পরিমাণ সমান হয়। প্রত্যেকের টাকার পরিমাণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
১ম জন পায় x টাকা
এবং ২য় জন পায় y টাকা
১ম শর্তানুসারে,
x=4y
বা, x-4y=0……..(i)
২য় শর্তানুসারে,
x-1500=y+1500
বা, x-y=1500+1500
বা, x-y=3000…………(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
-3y=-3000
বা, 3y=3000
বা, y=3000/3
বা, y=1000
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
x-4✕1000=0
বা, x-4000=0
বা, x=4000
∴ ১ম জন পায় 4000 টাকা
এবং ২য় জন পায় 1000 টাকা
২০. লেখের সাহায্যে সমাধান করঃ
ক.
x+y=6
x-y=2
সমাধানঃ
x+y=6……….(i)
x-y=2………..(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
y=6-x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
0
|
2
|
4
|
|
y
|
6
|
4
|
2
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
-y=2-x
বা, y=x-2
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
2
|
4
|
6
|
|
y
|
0
|
2
|
4
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (0,6), (2,4) ও (4,2) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (2,0), (4,2) ও (6,4) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 4 ও কোটি 2 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,2)
খ.
x+4y=11
4x-y=10
সমাধানঃ
x+4y=11……….(i)
4x-y=10………..(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
4y=11-x
11-x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
-1
|
3
|
7
|
|
y
|
3
|
2
|
1
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
-y=10-4x
বা, y=4x-10
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
2
|
3
|
5
|
|
y
|
-2
|
2
|
10
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (-1,3), (3,2) ও (7,1) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (2,-2), (3,2) ও (5,10) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 3 ও কোটি 2 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(3,2)
গ.
3x+2y=21
2x-3y=1
সমাধানঃ
3x+2y=21……….(i)
2x-3y=1………..(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
2y=21-3x
21-3x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
1
|
5
|
7
|
|
y
|
9
|
3
|
0
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
-3y=1-2x
বা, 3y=2x-1
2x-1
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
-1
|
5
|
8
|
|
y
|
-1
|
3
|
5
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (1,9), (5,3) ও (7,0) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (-1,-1), (5,3) ও (8,5) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 5 ও কোটি 3 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(5,3)
ঘ.
x+2y=1
x-y=7
সমাধানঃ
x+2y=1……….(i)
x-y=7………..(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
2y=1-x
1-x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
3
|
5
|
7
|
|
y
|
-1
|
-2
|
-3
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
-y=7-x
বা, y=x-7
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
-1
|
5
|
8
|
|
y
|
-8
|
-2
|
1
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (3,-1), (5,-2) ও (7,-3) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (-1,-8), (5,-2) ও (8,1) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 5 ও কোটি -2 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(5,-2)
ঙ.
x-y=0
x+2y=-15
সমাধানঃ
x-y=0……….(i)
x+2y=-15………..(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
-y=-x
বা, y=x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
1
|
-5
|
3
|
|
y
|
1
|
-5
|
3
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
2y=-15-x
-15-x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
-1
|
-5
|
3
|
|
y
|
-7
|
-5
|
-9
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (1,1), (-5,-5) ও (3,3) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (-1,-7), (-5,-5) ও (3,-9) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ -5 ও কোটি -5 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(-5,-5)
চ.
4x+3y=11
3x-4y=2
সমাধানঃ
4x+3y=11……….(i)
3x-4y=2………..(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
3y=11-3x
11-4x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
-1
|
2
|
5
|
|
y
|
5
|
1
|
-3
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
-4y=2-3x
বা, 4y=3x-2
3x-2
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
-2
|
2
|
6
|
|
y
|
-2
|
1
|
4
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (-1,5), (2,1) ও (5,-3) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (-2,-2), (2,1) ও (6,4) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 2 ও কোটি 1 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(2,1)
২১. কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 11 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয়। আবার হর হতে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়।
ক) ভগ্নাংশটি x/y ধরে সমীকরণ জোট গঠন কর।
সমাধানঃ
ভগ্নাংশটি x/y হলে,
১ম শর্তানুসারে,
x+11
বা, x+11=2y
বা, x-2y=-11………….(i)
২য় শর্তানুসারে,
x
বা, x=y-2
বা, x-y=-2………….(ii)
সমীকরণ জোট
x-2y=-11………….(i)
x-y=-2………….(ii)
খ) সমীকরণ জোটটি অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
সমীকরণ জোট
x-2y=-11………….(i)
x-y=-2………….(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
-y=-9
বা, y=9
y এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই,
x-9=-2
বা, x=-2+9
বা, x=7
∴ (x,y)=(7,9)
গ) সমীকরণ জোটটির লেখ অঙ্কন করে ছেদ বিন্দুর ভূজ ও কোটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
সমীকরণ জোট
x-2y=-11………….(i)
x-y=-2………….(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
-2y=-11-x
বা, 2y=11+x
11+x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
5
|
7
|
9
|
|
y
|
8
|
9
|
10
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
-y=-2-x
বা, y=2+x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
3
|
7
|
8
|
|
y
|
5
|
9
|
10
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (5,8), (7,9) ও (9,10) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (3,5), (7,9) ও (8,10) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 7 ও কোটি 9 ।
২২. একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ অপেক্ষা 5 মিটার বেশি এবং বাগানটির পরিসীমা 40 মিটার।
ক) দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার হলে উপরের তথ্যের আলোকে দুটি সমীকরণ গঠন কর।
সমাধানঃ
দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার হলে-
১ম শর্তানুসারে পাই,
x=2y+5
বা, x-2y=5
২য় শর্তানুসারে পাই,
2(x+y)=40
বা, x+y=20
∴দুটি সমীকরণ:-
x-2y=5…………..(i)
x+y=20…………(ii)
খ) অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর।
সমাধানঃ
দুটি সমীকরণ:-
x-2y=5…………..(i)
x+y=20…………(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
-3y=-15
বা, 3y=15
বা, y=15/3
বা, y=5
y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
x+5=20
বা, x=20-5
বা, x=15
∴ বাগানের দৈর্ঘ্য = 15 মিটার
এবং বাগানের প্রস্থ = 5 মিটার
গ) লেখচিত্রের সাহায্যে সমীকরণ জোটের সমাধান কর।
সমাধানঃ
দুটি সমীকরণ:-
x-2y=5…………..(i)
x+y=20…………(ii)
সমীকরণ (i) হতে পাই,
-2y=5-x
বা, 2y=x-5
x-5
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
5
|
15
|
19
|
|
y
|
0
|
5
|
7
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
y=20-x
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
10
|
15
|
18
|
|
y
|
10
|
5
|
2
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (5,0), (15,5) ও (19,7) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (10,10), (15,5) ও (18,2) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 15 ও কোটি 5 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(15,5)
২৩. 7x-3y=31 ও 9x-5y=41 দুইটি সরল সমীকরণ।
ক) (4,-1) বিন্দুটি কোন সমীকরণকে সিদ্ধ করে?
সমাধানঃ
7x-3y=31………….(i)
9x-5y=41………….(ii)
(i) নং এর বামপক্ষে x=4 ও y=-1 বসিয়ে পাই,
7✕4-3✕(-1)
=28+3
=31 যা (i) নং এর ডানপক্ষের সমান
∴ (4,-1) বিন্দুটি 7x-3y=31 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
আবার,
(ii) নং এর বামপক্ষে x=4 ও y=-1 বসিয়ে পাই,
9✕4-5✕(-1)
=36+5
=41 যা (ii) নং এর ডানপক্ষের সমান
∴ (4,-1) বিন্দুটি 9x-5y=41 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ (4,-1) বিন্দুটি 7x-3y=31 ও 9x-5y=41 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
খ) প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
7x-3y=31………….(i)
9x-5y=41………….(ii)
(i) হতে পাই,
-3y=31-7x
বা, 3y=7x-31
7x-31
y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
7x-31
3✕9x-5(7x-31)
বা, 27x-35x+155=3✕41
বা, -8x+155=123
বা, -8x=123-155
বা, -8x=-32
বা, 8x=32
বা, x=32/8
বা, x=4
x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
7✕4-3y=31
বা, 28-3y=31
বা, -3y=31-28
বা, -3y=3
বা, 3y=-3
বা, y=-3/3
বা, y=-1
∴ (x,y)=(4,-1)
গ) লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর।
সমাধানঃ
7x-3y=31………….(i)
9x-5y=41………….(ii)
(i) হতে পাই,
-3y=31-7x
বা, 3y=7x-31
7x-31
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
1
|
4
|
7
|
|
y
|
-8
|
-1
|
6
|
|
ছক-১
|
|||
সমীকরণ (ii) হতে পাই,
-5y=41-9x
বা, 5y=9x-41
9x-41
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y এর মান বের করে নিচের ছকটি তৈরি করিঃ
|
x
|
-1
|
4
|
9
|
|
y
|
-10
|
-1
|
8
|
|
ছক-২
|
|||
মনে করি, XOX’ ও YOY’ যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং 0 মূলবিন্দু।
উভয় অক্ষের ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি।
ছক-১ এ (1,-8), (4,-1) ও (7,6) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (i) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
আবার,
ছক-২ এ (-1,-10), (4,-1) ও (9,8) বিন্দুগুলোকে লেখ কাগজে স্থাপন করি। এই বিন্দুগুলো যোগ করে উভয় দিকে বর্ধিত করে একটি সরলরেখা পাওয়া গেল যা (ii) নং সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখার লেখচিত্র।
এই সরলরেখাটি পূর্বোক্ত সরলরেখাকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু উভয় সরলরেখার সাধারণ বিন্দু। এর স্থানাঙ্ক উভয় সরলরেখাকে সিদ্ধ করে। লেখ থেকে দেখা যায় যে, A বিন্দুর ভুজ 4 ও কোটি -1 ।
∴ নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,-1)
No comments:
Post a Comment