ষষ্ঠ শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৬.২ ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ

 

ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ

১. শূন্যস্থান পূরণ করঃ

(ক) সমকোণের পরিমাপ……….।
উত্তরঃ ৯০^০।
(খ) সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ সমকোণের পরিমাপ অপেক্ষা…….।
উত্তরঃ কম।
(গ) স্থুলকোণের পরিমাপ সমকোণের পরিমাপ্পপেক্ষা………।
উত্তরঃ বেশি।
(ঘ) সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ……….. এবং অপর কোণ……….।
উত্তরঃ সমকোণ, সূক্ষ্মকোণ।
(ঙ) …….. ত্রিভুজের…….স্থূলকোণ এবং……সূক্ষ্মকোণ থাকে।
উত্তরঃ স্থূলকোণী, একটি, দুইটি।
(চ) যে ত্রিভুজে প্রত্যেক কোণের পরিমাপ……..থেকে কম সেটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।
উত্তরঃ ৯০^০।

২. ইউক্লিড কোন দেশের পন্ডিত ছিলেন?

(ক) ইতালি   (খ) জার্মানি
(গ) গ্রিস      (ঘ) স্পেন
উত্তরঃ গ

৩. জ্যামিতি প্রতি পাদ্যের ওপর লিখিত ইউক্লিডের বইটির নাম কি?

(ক) Algebra     (খ) Elements
(গ) Geometry   (ঘ) Mathematic
উত্তরঃ খ

৪. খ্রিষ্টপূর্ব কত অব্দে গ্রিক পন্ডিত ইউক্লিড তার Elements পুস্তকে জ্যামিতিক প্পরিমাপ পদ্ধতির সংজ্ঞা ও প্রক্রিয়া সমূহ লিপিবদ্ধ করেন?

(ক) ৩০০    (খ) ৪০০   (গ) ৫০০    (ঘ) ৬০০
উত্তরঃ ক

৫. নিচের কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো; কোণগুলো আঁক।

(ক) 30⁰   (খ) 45⁰   (গ) 60⁰    (ঘ) 75⁰

(ঙ) 85⁰   (চ) 120⁰  (ছ) 135⁰   (জ) 160⁰

সমাধানঃ

অঙ্কনের চিত্রঃ

অঙ্কনের বিবরনঃ

(ক) 30⁰  

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 30 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 30⁰ ।

(খ) 45⁰  

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 45 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 45⁰ ।

(গ) 60⁰   

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 60 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 60⁰ ।

(ঘ) 75⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 75 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 75⁰ ।

 (ঙ) 85⁰  

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 85 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 85⁰ ।

 (চ) 120⁰ 

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 120 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 120⁰ ।

 (ছ) 135⁰   

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 135 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 135⁰ ।

 (জ) 160⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 160 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 160⁰ ।

৬. অনুমান করে একটি সূক্ষ্মকোণী, একটি স্থূলকোণী ও একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক।

(ক) প্রতিক্ষেত্রে বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য মাপ এবং খাতায় লেখ।
(খ) প্রতিক্ষেত্রে কোণ তিনটি পরিমাপ কর এবং খাতায় লেখা দেখে কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল সবক্ষেত্রে একই বলে মনে হয় কিনা বল।

সমাধানঃ

অনুমান করে একটি সূক্ষ্মকোণী, একটি স্থূলকোণী ও একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা হলোঃ

(ক) রুলারের সাহায্যে প্রতিটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মাপা হলো।

ABC ত্রিভুজের AB বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করি। লক্ষ করি যেন AB বাহুর B বিন্দু রুলারের 0 নির্দেশিত বিন্দুর সাথে মিলে। এখন AB বাহুর A বিন্দু রুলারের 3.9 সেমি নির্দেশিত বিন্দুতে পড়ে।
সুতরাং, AB=3.9 সেমি।
একইভাবে BC ও AC বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করলে
BC=4 সেমি এবং AC=4 সেমি পাওয়া যায়।
আনুরুপভাবে, DEF ত্রিভুজ এবং GHK ত্রিভুজ এর ক্ষেত্রে পাই,
DE=4.3 সেমি, EF=3.9 সেমি, DF=6.8 সেমি, GH=4 সেমি, HK=4 সেমি, KG=5.6 সেমি। 

(খ) চাঁদার সাহায্যে প্রতিটি ত্রিভুজের কোণগুলো পরিমাপ করা হলো। ABC ত্রিভুজের ∠ABC এর B বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি। লক্ষ্য করি যেন BC রেখার সাথে চাঁদার 0 বিন্দুগামী ব্যাস মিলে যায়। এখন BA রেখা চাঁদার 60 নির্দেশিত রেখায় পড়ে। সুতরাং, ∠ABC=60⁰।

একইভাবে, ∠BAC ও ∠ACB পরিমাপ করলে যথাক্রমে 65⁰ ও 55⁰ পাওয়া যায়।
সুতরাং, ∠ABC=60⁰,  ∠BAC=65⁰,   ∠ACB=55⁰
এখন, ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল=∠ABC+∠BAC+∠ACB=60⁰+65⁰+55⁰=180⁰
অনুরুপভাবে, DEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
∠EDF=33⁰, ∠DFE=35⁰, ∠DEF=112⁰
এবং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল=∠EDF+∠DFE+∠DEF=33⁰+35⁰+112⁰=180⁰
আবার, GHK ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
∠GHK=90⁰, ∠HGK=45⁰, ∠GKH=45⁰
এবং, ত্রিভুজের কোণ তিনটির পরিমাপের যোগফল=∠GHK+∠HGK+∠GKH=90⁰+45⁰+45⁰=180⁰
সুতরাং ত্রিভুজ তিনটির কোণগুলোর পরিমাপের যোগফল থেকে দেখা যায় সবক্ষেত্রে একই এবং তা 180⁰।

৭. নিচে কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো। প্রত্যেক ক্ষেত্রে পূরক কোণের পরিমাপ উল্লেখ কর এবং পূরক কোণটি আঁক।

(ক) 60⁰ (খ) 45⁰ (গ) 72⁰ (ঘ) 25⁰ (ঙ) 50⁰

সমাধানঃ

পূরক কোণের পরিমাপ নির্ণয়ঃ
আমরা জানি, দুইটি দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 90⁰ হলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
সুতরাং,
(ক) 60⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-60⁰=30⁰
(খ) 45⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-45⁰=45⁰
(গ) 72⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-72⁰=18⁰
(ঘ) 25⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-25⁰=65⁰
(ঙ) 50⁰ এর পূরক কোণ=90⁰-50⁰=40⁰

পূরক কোন অঙ্কনঃ

(ক) 60⁰ এর পূরক কোণ 30⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 30 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 30⁰ ।

(খ) 45⁰ এর পূরক কোণ 45⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 45 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 45⁰ ।

(গ) 72⁰ এর পূরক কোণ 18⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 18 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 18⁰ ।

(ঘ) 25⁰ এর পূরক কোণ 65⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 65 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 65⁰ ।

(ঙ) 50⁰ এর পূরক কোণ 40⁰

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্র বিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডান দিকে কাগজের উপর OA রশ্মি আঁকি। ডান দিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 50 নির্দেশক দাগের উপর একটি বিন্দু B নিই। এবার, চাদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।

∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 50⁰ ।

৮. নিচের কয়েকটি কোণের পরিমাপ দেওয়া হলো। প্রত্যেক ক্ষেত্রে একই চিত্রে প্রদত্ত কোণ, এর সম্পূরক কোণ ও বিপ্রতীপ কোণ আঁক এবং এদের পরিমাপ উল্লেখ কর। চিত্রে সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণটিও চিহ্নিত কর।

(ক) 45⁰  (খ) 120⁰   (গ) 72⁰  (ঘ) 110⁰   (ঙ) 85⁰

সমাধানঃ

আমরা জানি, দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল 180⁰ হলে, কোণ দুইটির একটি অপরটির সম্পূরক কোণ। আর বিপ্রতীপ কোণের মান প্রদত্ত কোনের সমান হয়। সেহেতু,

(ক)

45⁰  এর সম্পূরক কোণ (180⁰-45⁰)=135⁰
45⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 45⁰
এবং, সম্পূরক কোণ 135⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 135⁰

(খ)

120⁰  এর সম্পূরক কোণ (180⁰-120⁰)=60⁰
120⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 120⁰
এবং, সম্পূরক কোণ  60⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 60⁰

(গ)

72⁰  এর সম্পূরক কোণ (180⁰-72⁰)=108⁰
72⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 72⁰
এবং, সম্পূরক কোণ  108⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 108⁰

(ঘ) 110⁰   

110⁰  এর সম্পূরক কোণ (180⁰-110⁰)=70⁰
110⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 110⁰
এবং, সম্পূরক কোণ  70⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 70⁰

(ঙ)

85⁰  এর সম্পূরক কোণ (180⁰-85⁰)=95⁰
85⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 85⁰
এবং, সম্পূরক কোণ 95⁰  এর  বিপ্রতীপ কোণ= 95⁰

কোণ অঙ্কনঃ

(ক)

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্রবিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে কাগজের উপর COA রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 45 নির্দেশক দাগের ওপর একটি বিন্দু B নিই। এবার চাঁদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।
∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 45⁰
∴∠AOB ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠BOC=135⁰।
এখন, OB রশ্মির বিপরীত রশ্মি  OD আঁকি। ফলে ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠COD উৎপন্ন হলো।
∴∠COD=45⁰ [বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান]
অনুরূপভাবে, ∠BOC এর বিপ্রতীপ কোণ  ∠AOD।
∴∠AOD=135⁰।

(খ)

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্রবিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে কাগজের উপর COA রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 120 নির্দেশক দাগের ওপর একটি বিন্দু B নিই। এবার চাঁদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।
∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 120⁰
∴∠AOB ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠BOC=60⁰।
এখন, OB রশ্মির বিপরীত রশ্মি  OD আঁকি। ফলে ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠COD উৎপন্ন হলো।
∴∠COD=120⁰ [বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান]
অনুরূপভাবে, ∠BOC এর বিপ্রতীপ কোণ  ∠AOD।
∴∠AOD=60⁰।

(গ)

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্রবিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে কাগজের উপর COA রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 72 নির্দেশক দাগের ওপর একটি বিন্দু B নিই। এবার চাঁদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।
∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 72⁰
∴∠AOB ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠BOC=108⁰।
এখন, OB রশ্মির বিপরীত রশ্মি  OD আঁকি। ফলে ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠COD উৎপন্ন হলো।
∴∠COD=72⁰ [বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান]
অনুরূপভাবে, ∠BOC এর বিপ্রতীপ কোণ  ∠AOD।
∴∠AOD=108⁰।

(ঘ)

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্রবিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে কাগজের উপর COA রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 110 নির্দেশক দাগের ওপর একটি বিন্দু B নিই। এবার চাঁদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।
∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 110⁰
∴∠AOB ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠BOC=70⁰।
এখন, OB রশ্মির বিপরীত রশ্মি  OD আঁকি। ফলে ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠COD উৎপন্ন হলো।
∴∠COD=110⁰ [বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান]
অনুরূপভাবে, ∠BOC এর বিপ্রতীপ কোণ  ∠AOD।
∴∠AOD=70⁰।

(ঙ)

একটি চাঁদা কাগজের উপর রেখে কেন্দ্রবিন্দু থেকে ব্যাস বরাবর ডানদিকে কাগজের উপর COA রশ্মি আঁকি। ডানদিক থেকে চাঁদার নিচের স্কেলের 85 নির্দেশক দাগের ওপর একটি বিন্দু B নিই। এবার চাঁদাটিকে সরিয়ে OB রশ্মি আঁকি।
∴∠AOB আঁকা হলো, যার পরিমাপ 85⁰
∴∠AOB ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠BOC=95⁰।
এখন, OB রশ্মির বিপরীত রশ্মি  OD আঁকি। ফলে ∠AOB এর বিপ্রতীপ কোণ ∠COD উৎপন্ন হলো।
∴∠COD=85⁰ [বিপ্রতীপ কোণের পরিমাপ সমান]
অনুরূপভাবে, ∠BOC এর বিপ্রতীপ কোণ  ∠AOD।
∴∠AOD=95⁰।

৯.  

চিত্রে, ∠AOB=90⁰

i.. ∠AOC+∠BOC=90⁰
ii.. ∠AOC+∠BOC=∠AOB
iii.. ∠AOC ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক কোণ।

নিচের কোণটি সঠিক?

(ক) i ও ii     (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক

চিত্রে, △ABC এর ∠BAC=120⁰ এবং AD⊥BC

চিত্রের আলোকে ১০-১২ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

১০. ∠ADC=কত?

(ক) 30⁰   (খ) 45⁰
(গ) 60⁰    (ঘ) 90⁰
উত্তরঃ ঘ

১১. ∠ABD=এর পূরক কোণ কোণটি?

(ক) ∠ADB      (খ) ∠CAD
(গ) ∠BAD      (ঘ) ∠ACD
উত্তরঃ গ

১২. সরল রৈখিক কোণ নিচের কোণটি?

(ক) ∠ADB      (খ) ∠CAD
(গ) ∠ACD      (ঘ) ∠BDC
উত্তরঃ ঘ

১৩. রেখার—

i.. নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই

ii.. নির্দিষ্ট অরান্ত বিন্দু নেই 
iii.. নির্দিষ্ট প্রস্থ নেই

নিচের কোণটি সঠিক?

(ক) i ও ii     (খ) i ও iii
(গ) ii ও iii    (ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ

১৪. কয়েকটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁক। প্রতিক্ষেত্রে সমকোণ ছাড়া অন্য দুইটি কোণ মাপ এবং এদের পরিমাপের যোগফল নির্ণয় কর। প্রতি ক্ষেত্রে ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B=এক সমকোণ=90⁰, DEF সমকোণী ত্রিভুজের ∠E=এক সমকোণ=90⁰ এবং PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q=এক সমকোণ=90⁰।
এখন, ABC সমকোণী ত্রিভুজের C বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি। লক্ষ করি যেন, BC রেখার সাথে চাঁদার 0 নির্দেশিত রেখা মিলে যায়। এখন CA রেখা চাঁদার 45 অঙ্কিত রেখায় পড়ে। সুতরাং, ∠ACB=45⁰।
একইভাবে, ∠BAC পরিমাপ করলে 45⁰ পাওয়া যায়।
∴ABC ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি
∠ABC+∠BAC+∠ACB=90⁰+45⁰⁺45⁰=180⁰।
অনুরূপভাবে, DEF ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পাই,
∠DFE=48⁰
∠EDF=42⁰
∴DEF ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি
∠DEF+∠DFE+∠EDF=90⁰+48⁰⁺42⁰=180⁰।
অনুরূপভাবে, PQR ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পাই,
∠QRP=60⁰
∠QPR=30⁰
∴PQR ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি
∠PQR+∠QRP+∠QPR=90⁰+60⁰⁺30⁰=180⁰।

১৫. একটি চতুর্ভুজ আঁক। এর বাহু চারটির এবং কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ। চতুর্ভুজটির কোণ চারটি মেপে তাদের পরিমাপের যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ABCD চতুর্ভুজটি আঁকা হলো। AB, BC, CD ও AD উহার চারটি বাহু এবং AC ও BD উহার দুইটি কর্ণ। ABCD চতুর্ভুজের AB বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করি। লক্ষ্য করি যেন, AB বাহুর A বিন্দু রুলারের 0 নির্দেশিত বিন্দুর সাথে মিলে। এখন AB বাহুর B বিন্দু রুলারের 6.5 সেমি অঙ্কিত দাগে পড়ে। সুতরাং AB বাহুর দৈর্ঘ্য=6.5 সেমি।

একইভাবে BC, CD ও AD বাহুর দৈর্ঘ্য পরিমাপ করলে যথাক্রমে 4.5 সেমি, 3.5 সেমি, ও 5.5 সেমি পাওয়া যায়।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজের বাহু চারটির দৈর্ঘ,
AB=6.5 সেমি, BC=4.5 সেমি, CD=3.5 সেমি এবং AD=5.5 সেমি।
আবার, ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ মেপে পাই,
AC=7.5 সেমি ও BD=7.2 সেমি।
এখন, ABCD চতুর্ভুজের ∠ABC এর B বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই, ∠ABC=79⁰।
একইভাবে,
∠BCD=103⁰,  ∠ADC=100⁰,  ∠BAD=78⁰।
কোণ চারটি পরিমাপের যোগফল=79^০+103^০+100^০+78^০=360^০।

১৬. অনুমান করে দুইটি চতুর্ভুজ আঁক যাদের কোনো দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান নয়।

(ক) প্রতিক্ষেত্রে বাহু চারটির এবং কর্ণ দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ ও খাতায় লেখ।

(খ) কোণ চারটি পরিমাপ কর এবং খাতায় লেখা কোণ চারটি পরিমাপের যোগফল উভয় ক্ষেত্রে একই কিনা বল।

সমাধানঃ

অনুমান করে দুইটি চতুর্ভুজ ABCD ও EFGH আঁকা হলো। এই দুইটি চতুর্ভুজের কোনো দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান নয়। ABCD এর দুইটি কর্ণঃ AC ও BD; EFGH এর দুইটি কর্ণ EG ও FH।

(ক)

প্রতি বাহুর উপর স্কেল স্থাপন করে ABCD চতুর্ভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মেপে পাই,
AB=6.5 সেমি, BC=4.5 সেমি, CD=3.5 সেমি, AD=5.5 সেমি ।
এভাবে, কর্ণ মেপে পাই, AC=7.5 সেমি, BD=7.2 সেমি।
আবার,
প্রতি বাহুর উপর স্কেল স্থাপন করে EFGH চতুর্ভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মেপে পাই,
EF=5.5 সেমি, FG=4.8 সেমি, GH=4.3 সেমি, EH=5 সেমি ।
এভাবে, কর্ণ মেপে পাই, EG=6.7 সেমি, HF=7 সেমি।

(খ)

ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে,
∠ABC  এর B বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই, ∠ABC=79⁰।
একইভাবে,
∠BCD=103⁰,  ∠CDA=100⁰,  ∠DAB=78⁰।
কোণ চারটি পরিমাপের যোগফল=79^০+103^০+100^০+78^০=360^০।
আবার,
EFGH চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে,
∠EFG এর F বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই, ∠EFG=80⁰।
একইভাবে,
∠FGH=103⁰,  ∠GHE=92⁰,  ∠HEF=85⁰।
কোণ চারটি পরিমাপের যোগফল=80^০+103^০+92^০+85^০=360^০।

১৭.  অনুমান করে একটি বর্গ আঁক যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।

(ক) প্রত্যেক কর্ণের দৈর্ঘ্য মাপ এবং খাতায় লেখ।

(খ) বাহুগুলোর মধ্যবিন্দুসমূহ চিহ্নিত কর। মধ্যবিন্দুগুলো পর্যায়ক্রমে সংযুক্ত কর। উৎপন্ন চতুর্ভুজটি কী ধরনের চতুর্ভুজ বলে মনে হয়। এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য মাপ এবং কোনগুলো পরিমাপ কর।

সমাধানঃ

ABCD একটি বর্গ আঁকা হলো যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং AC ও BD এর দুটি কর্ণ।

(ক)

কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
AC বরাবর স্কেল স্থাপন করি যেন স্কেলের 0 বিন্দু A বিন্দুর সাথে মিলে। এখন C বিন্দুতে রুলারের মাপ পাই 11.3 সেমি। অতএব, AC=11.3 সেমি।
এভাবে, BD=11.3 সেমি।

(খ)

যেহেতু  বর্গটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি, সেহেতু বাহুগুলো সমদ্বিখন্ডিত করলে খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য হবে 4 সেমি।
মনে করি, AB , BC , CD ও AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F , G ও H।
এখন,  E,F ; G,F ;  G,H; EওH যোগ করি।
ফলে একটি চতুর্ভুজ উৎপন্ন হলো এবং উৎপন্ন চতুর্ভুজটি একটি বর্গ বলে মনে হয়।
EFGH বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
EF বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করে পাই,
EF= 5.6 সেমি।
একইভাবে, FG=5.6 সেমি, GH=5.6 সেমি ও EH=5.6 সেমি।
সুতরাং, EFGH বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 5.6 সেমি।
EFGH বর্গের কোণের পরিমাপ নির্ণয়ঃ
∠EFG এর F বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপণ করি। লক্ষ করি যেন, EF রেখার সাথে চাঁদার 0 অঙ্কিত রেখা মিলে যায়। এখন FG রেখা চাঁদার 90 অঙ্কিত রেখায় পড়ে। সুতরাং ∠EFG=90⁰।
একইভাবে, ∠FGH, ∠GHE, ∠HEF পরিমাপ করে প্রতিক্ষেত্রে 90⁰ পাওয়া যায়।

১৮. অনুমান করে একটি সামন্তরিক আঁক যার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবিং পাশের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সেমি। এদের বিপরীত বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য মাপ এবং প্রত্যেক জোড়া বিপরীত কোণের পরিমাপ নির্ণয় কর। সামন্তরিকটির কর্ণ দুইটি আঁক। এদের ছেদবিন্দুতে কর্ণদ্বয়ের চারটি খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য মাপ।

সমাধানঃ

অনুমান করে একটি সামন্তরিক ABCD আঁকা হলো যার AB বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি ও AD বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সেমি। DC ও BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

BC বাহু বরাবর রুলার স্থাপন করে দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে পাই, BC =3 সেমি ।
একইভাবে পাই, CD=4 সেমি।
কোণের পরিমাপ নির্ণয়ঃ
∠ABC এর B বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করে পাই ∠ABC=100⁰
একইভাবে, ∠ABC এর বিপরীত  ∠ADC=100⁰
অনুরুপভাবে, ∠BAD=80⁰,  ∠BAD এর বিপরীত ∠BCD=80⁰
কর্ণদ্বয়ের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
 ABCD সামন্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। কর্ণদ্বয়ের  চারটি খন্ডিতাংশ AO, OC, OB এবং OD এর দৈর্ঘ্য মাপতে হবে।
AO বরাবর রুলার স্থাপন করে দৈর্ঘ্য পরিমাপ করে পাই, AO=2.8 সেমি।
একইভাবে, OC=2.8 সেমি, BO=2.3 সেমি, OD=2.3 সেমি।

১৯. চিত্রে AB II CD এবং  EF II GH

(ক) কারণসহ PQRS চতুর্ভুজটির নাম লেখ।

(খ) চিত্র থেকে চারটি কোণ নিয়ে এদের সম্পূরক কোণ, একান্তর কোণ নির্ণয় কর।
(গ) প্রমান কর যে, ∠APE=∠DRH

সমাধানঃ

(ক)

AB II CD এবং  EF II GH
এখানে, AB এবং CD রেখাদ্বয়কে  EF রেখা এবং GH রেখা যথাক্রমে P ও Q এবং  S ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴PS II QR এবং PPQ II SR
আবার, PS=QR এবং PQ=SR
সুতরাং PQRS চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক।

(খ)

চিত্র হতে,
∠PAE এর সম্পূরক ∠APE এবং একান্তর ∠PQD
∠FQDএর সম্পূরক  ∠CQF এবং একান্তর ∠QRS
∠GRD এর সম্পূরক ∠HRD এবং একান্তর ∠RSA
∠HSB এর সম্পূরক ∠GSB এবং একান্তর ∠SRC

(গ)

AB ও  CD সমান্তরাল এবং  EF তাদের ছেদক
∴∠APE=অনুরুপ ∠CQE
আবার, EF ও GH সমান্তরাল এবং  CD তাদের ছেদক
∴∠CQE=অনুরুপ ∠CRG
সুতরাং, ∠APE=∠CRG
আবার, ∠CRG=বিপ্রতীপ ∠DRH
∴∠APE=∠DRH (প্রমাণিত)

২০. AB ও CD রেখাদ্বয় O বন্দুতে ছেদ করে।

ক. উপরোক্ত তথ্যের ভিত্তিতে একটি চিত্র অঙ্কন কর।

খ. প্রমান কর যে, উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।
গ. ∠AOC=(4x-16⁰) এবং ∠BOC=2(x+20⁰) হলে x এর মান কত?

সমাধানঃ

(ক)

অঙ্কিত চিত্রঃ

(খ)

মনে করি, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ফলে O বিন্দুতে ∠AOC,  ∠COB,  ∠BOD,  ∠AOD কোণ উৎপন্ন  হয়েছে। প্রমান করতে হবে যে,
∠AOC=বিপ্রতীপ∠BOD এবং ∠COB=বিপ্রতীপ∠AOD।
OA রশ্মির O বিন্দুতে CD রেখা মিলিত হয়েছে।
∴∠AOC+∠AOD=১ সরলকোণ=২ সমকোণ।
আবার, OD রশ্মির O বিন্দুতে AB রেখা মিলিত হয়েছে।
∴∠AOD+∠BOD=১ সরলকোণ=২ সমকোণ।
সুতরাং, ∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD
∴∠AOC=∠BOD
অনুরুপভাবে, ∠COB=∠AOD [প্রমাণিত]

(গ)

দেওয়া আছে, ∠AOC=(4x-16⁰) এবং ∠BOC=2(x+20⁰)
শর্তমতে,
∠AOC+∠BOC=∠AOB
বা, 4x-16⁰+2(x+20⁰)=180⁰
বা, 4x-16⁰+2x+40⁰=180⁰
বা, 6x=180⁰-40⁰+16⁰
বা, 6x=156⁰
বা, x=26⁰