সপ্তম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৯.১ - ত্রিভুজের মধ্যমা-উচ্চতা ও কোণের মান নির্ণয়

 

ত্রিভুজের কোণের মান নির্ণয়ঃ

১. ∠ABD, ∠CBD এবং ∠ADB এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

চিত্রে, △ABC এর
∠ABC=90⁰, ∠BAC=48⁰
∴BD⊥AC.
∴∠ADB=90⁰ এবং ∠ABD=90⁰-48⁰=42⁰
আবার, ∠CBD=∠ABC-∠ADB=90⁰-42⁰=48⁰

২. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত কোণটির মান 50⁰ । অবশিষ্ট কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের A শীর্ষ বিন্দু। ∠A=50⁰
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি=180⁰
এখানে, ∠A+∠B+∠C=180⁰
বা, 50⁰+∠B+∠C=180⁰
বা, ∠B+∠C=180⁰-50⁰=130⁰
আবার, △ABC এর  AB=AC
সুতরাং, ∠B=∠C
এখন, ∠B+∠C=130⁰
বা, ∠B+∠B=130⁰
বা, 2∠B=130⁰
বা,  ∠B=130⁰/2=65⁰
∴△ABC ∠B=∠C=65⁰

৩. প্রমান কর যে, চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণের সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচণঃ

মনে করি, ABCD একটি চতুর্ভুজ। প্রমান করতে হবে যে, এর চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোন অর্থাৎ ∠A+∠B+∠C+∠D=চার সমকোণ।

অঙ্কনঃ A, C যোগ করি।

প্রমাণঃ

△ABC এ ∠B+∠BAC+∠BCA= 2 সমকোণ…………….(১)
△ACD এ ∠D+∠DAC+∠DCA= 2 সমকোণ…………...(২)
(১)+(২) করে পাই,
∠∠B+∠BAC+∠BCA +∠D+∠DAC+∠DCA = 4 সমকোণ
বা, ∠DAC+∠BAC+∠B+∠BCA+∠DCA+∠D= 4 সমকোণ
বা, ∠A+∠B+∠C+∠D= 4 সমকোণ (প্রমাণিত)

৪. দুইটি রেখা PQ এবং RS পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ এবং RS এর উপর যথাক্রমে L ও M এবং E ও F চারটি বিন্দু, যেন, LM⊥RS, EF⊥PQ.  প্রমান কর যে, ∠MLO=∠FEO.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ

মনে করি, PQ এবং RS রেখাংশ দুইটি পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। LM⊥RS এবং EF⊥PQ. প্রমান করতে হবে যে,  ∠MLO=∠FEO

প্রমাণঃ

LM ও EF  লম্ব হওয়ায় LMO ও EFO দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ।

∠LMO=∠EFO= 1 সমকোণ।

সুতরাং, ∠MOL+∠MLO=1 সমকোণ।

এবং ∠FEO+∠EOF = 1 সমকোণ।

∴∠MLO+∠MOL=∠FEO+∠EOF

কিন্তু, ∠MLO=∠FEO [বিপ্রতীপ কোণ]

∴∠MLO=∠ FEO (প্রমাণিত)।

৫. △ABC এর AC⊥BC: E,AC এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং ED⊥AB. ED এবং BC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমান কর যে, ∠CEO=∠DBO.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ

মনে করি, AC⊥BC; E, AC এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং ED⊥AB.  ED এবং BC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমান করতে হবে যে, ∠CEO=∠DBO

প্রমাণঃ

AC ও DE লম্ব হওয়ায়

CEO ও BDO দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ।

সুতরাং ∠CEO+∠COE= 1 সমকোণ।

এবং, ∠DBO+∠DOB= 1 সমকোণ।

∴∠CEO+∠COE=∠DBO+∠DOB

কিন্তু ∠COE=∠DOB [বিপ্রতীপ কোণ]

∴∠CEO=∠DBO (প্রমাণিত)