কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও মান নির্ণয়ঃ
১. cosθ=1/2 হলে cotθ এর মানও কোনটি?
ক) 1/√3 খ) 1
গ) √3 ঘ) 2
উত্তরঃ ক
২. cos2θ-sin2θ=1/3 হলে cos4θ-sin4θ এর মান কত?
ক) 3 খ) 2 গ) 1 ঘ) 1/3
উত্তরঃ ঘ
৩. cot(θ-300)=1/√3 হলে, sinθ=কত?
ক) ½ খ) 0 গ) 1 ঘ) √3/2
উত্তরঃ গ
৪. tan(3A)= √3 হলে, A=কত?
ক) 450 খ) 300 গ) 200 ঘ) 150
উত্তরঃ গ
৫. 00≤θ≤900 এর জন্য, sinθ এর সর্বোচ্চ মান কত?
ক) -1 খ) 0 গ) ½ ঘ) 1
উত্তরঃ ঘ
৬. ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC=2 এবং AB=1
(ii) tanA=√3
(iii) sin(A+C)=0
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i খ) ii গ) i ও ii ঘ) ii ও iii
উত্তরঃ গ
৭. ABC সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ AC=2 এবং AB=1
(ii) cosA+secA=5/2
(iii) tanC=2/√3
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii খ) ii ও iii গ) i ও iii ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক
মান নির্ণয় কর (৮-১১)
1-cot2600
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
1-cot2600
1-(cot600)2
1-(1/√3)2
1-1/3
2/3
2 3
1
৯. tan450.sin2600.tan300.tan600
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
= tan450.sin2600.tan300.tan600
=1. ( √3/2)2. (1/√3). √3
=1. (3/4). (1/√3). √3
1. 3. 1. √3
3
1-cos2600
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
1-cos2600
1-(½)2
1-¼
4-1
3
3 4
3
3+20
23
১১. cos450.cot2600.cosec2300
সমাধানঃ
প্রদত্ত রাশি
=cos450.cot2600.cosec2300
=(1/√2). (1/√3)2. (2)2
1 1
4
দেখাও যে (১২-১৭)
১২. cos230-sin2300=cos600
সমাধানঃ
LHS
= cos230-sin2300
=(√3/2)2-(1/2)2
=3/4-1/4
3-1
=2/4
=1/2
=cos600 [cos600=1/2]
=RHS [Proved]
১৩. sin600.cos300+cos600.sin300=sin900
সমাধানঃ
LHS
= sin600.cos300+cos600.sin300
√3 √3 1 1
3 1
4
=1
=sin900 [sin900=1]
=RHS [Proved]
১৪. cos600.cos300+sin600.siin300=cos300
সমাধানঃ
LHS
= cos600.cos300+sin600.siin300
1 √3 √3 1
√3 √3
√3
=cos300 [cos300=√3/2]
=RHS [Proved]
১৫. sin3A=cos3A যদি A=150 হয়।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে A=150
LHS
=sin3A
=sin(3✕150)
=sin450
=1/√2
RHS
=cos3A
=cos(3✕150)
=cos450
=1/√2
∴ LHS=RSH [Proved]
2tanA
যদি A=450 হয়।
সমাধানঃ
LHS
=sin2A
=sin(2✕450)
=sin900
=1
RHS
2tanA
2tan450
2.1
2
2
=1
∴ LHS=RSH [Proved]
2tanA
যদি A=300 হয়।
সমাধানঃ
LHS
=tan2A
=tan(2✕300)
=tan600
=√3
RHS
2tanA
2tan300
2.(1/√3)
2
2
2 3
2 √3. √3
=√3
∴ LHS=RSH [Proved]
১৮. 2cos(A+B)=1=2sin(A-B) এবং A, B সূক্ষ্মকোণ হলে দেখাও যে, A=450, B=150.
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2cos(A+B)=1=2sin(A-B)
এখন,
2cos(A+B)=1
বা, cos(A+B)= ½
বা, cos(A+B)=cos600 [cos600=½]
বা, A+B=600………….(i)
আবার,
2sin(A-B)=1
বা, sin(A-B)= ½
বা, sin(A-B)=sin300 [sin300=½]
বা, A-B=300---------(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2A=900
বা, A=900/2
বা, A=450
(i)-(ii) করে পাই,
2B=300
বা, B=300/2
বা, B=150
∴A=450, B=150 (প্রমাণিত)
১৯. cos(A-B)=1, 2sin(A+B)=√3 এবং A, B সূক্ষ্মকোণ হলে, A এবং B এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cos(A-B)=1
বা, cos(A-B)=cos00
বা, A-B=0………….(i)
আবার,
2sin(A+B)=√3
বা, sin(A+B)= √3/2
বা, sin(A+B)=sin600
বা, A+B=600………..(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2A=600
বা, A=600/2
বা, A=300
(i)-(ii) করে পাই,
-2B=-600
বা, 2B=600
বা, B=600/2
বা, B=300
∴A=300, B=300
২০. সমাধান করঃ
cosA-sinA √3-1
সমাধানঃ
cosA-sinA √3-1
cosA-sinA+cosA+sinA
√3-1+√3+1
2cosA 2√3
cosA
বা, cotA=√3
বা, cotA=cot300
বা, A=300
∴ নির্ণেয় সমাধান A=300
২১. A ও B সূক্ষ্মকোণ এবং cot(A+B)=1, cot(A-B)= √3 হলে, A ও B এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cot(A+B)=1
বা, cot(A+B)=cot450
বা, A+B=450………….(i)
আবার,
cot(A-B)= √3
বা, cot(A-B)=cot300
বা, A-B=300…………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2A=750
বা, A=750/2
বা, A=37.50
(i)-(ii) করে পাই,
2B=150
বা, B=150/2
বা, B=7.50
∴ A=37.50 ও B=7.50
২২. দেখাও যে, cos3A=4cos3A-3cosA যদি A=300 হয়।
সমাধানঃ
LHS
=cos3A
=cos(3*300)
=cos900
=0
RHS
=4cos3A-3cosA
=4cos3300-3cos300
=4.(√3/2)3-3.(√3/2)
4.3√3 3√3
3√3 3√3
=0
∴ LHS=RHS [Proved]
২৩. সমাধান করঃ sinθ+cosθ=1 যখন 00≤θ≤900
সমাধানঃ
sinθ+cosθ=1
বা, cosθ=1-sinθ
বা, cos2θ=(1-sinθ)2 [বর্গ কর]
বা, 1-sin2θ=1-2sinθ+sin2θ
বা, 1-1-sin2θ-sin2θ-2sinθ=0
বা, -2sin2θ+2sinθ=0
বা, -2sinθ(sinθ-1)=0
বা, sinθ(sinθ-1)=0
বা, sinθ=0 অথবা, sinθ-1=0
বা, sinθ=sin00 বা, sinθ=1
বা, θ=00 বা, sinθ=sin900
বা, θ=900
∴ নির্ণেয় মান θ=00, 900
২৪. সমাধান করঃ cos2θ-sin2θ=2-5cosθ যখন θ সূক্ষ্মকোণ।
সমাধানঃ
cos2θ-sin2θ=2-5cosθ
বা, cos2θ-(1-cos2θ)=2-5cosθ
বা, cos2θ-1+cos2θ-2+5cosθ=0
বা, 2cos2θ+5cosθ-3=0
বা, 2cos2θ+6cosθ-cosθ-3=0
বা, 2cosθ(cosθ+3)-1(cosθ+3)=0
বা, (2cosθ-1)(cosθ+3)=0
বা, 2cosθ-1=0 অথবা, cosθ+3=0
বা, 2cosθ=1 বা, cosθ=-3
বা, cosθ=1/2 [গ্রহণযোগ্য নয়]
বা, cosθ=cos600
বা, θ=600
∴ নির্ণেয় মান θ=900
২৫. সমাধান করঃ 2sin2θ+3cosθ-3=0, θ সূক্ষ্মকোণ।
সমাধানঃ
2sin2θ+3cosθ-3=0
বা, 2(1-cos2θ)+3cosθ-3=0
বা, 2-2cos2θ+3cosθ-3=0
বা, -2cos2θ+3cosθ-1=0
বা, 2cos2θ-3cosθ+1=0
বা, 2cos2θ-2cosθ-cosθ+1=0
বা, 2cosθ(cosθ-1)-1(cosθ-1)=0
বা, (2cosθ-1)(cosθ-1)=0
বা, 2cosθ-1=0 অথবা, cosθ=0
বা, 2cosθ=1 বা, cosθ=cos00
বা, cosθ=1/2 বা, θ=00
বা, cosθ=cos600
বা, θ=600
θ=00 গ্রহণযোগ্য নয় কারন 00 সূক্ষ্মকোণ নয়।
∴ নির্ণেয় মান θ=600
২৬. সমাধান করঃ tan2θ-(1+√3)tanθ+√3=0
সমাধানঃ
tan2θ-(1+√3)tanθ+√3=0
বা, tan2θ-tanθ-√3tanθ+√3=0
বা, tanθ(tanθ-1)-√3(tanθ-1)=0
বা, (tanθ-1)(tanθ-√3)=0
বা, tanθ-1=0 অথবা, tanθ-√3=0
বা, tanθ=1 বা, tanθ=√3
বা, tanθ=tan450 বা, tanθ=tan600
বা, θ=450 বা, θ=600
∴ নির্ণেয় মান θ=450 ও 600
২৭. মান নির্ণয় করঃ 3cot2600+¼cosec2300+5sin2450-4cos2600
সমাধানঃ
3cot2600+¼cosec2300+5sin2450-4cos2600
=3.(1/√3)2+¼.(2)2+5.(1/√2)2-4.(1/2)2
=3.(1/3)+(1/4).4+5.(1/2)-1.(1/4)
=1+1+5/2-1
=1+5/2
=7/2
∴ নির্ণেয় মান=7/2
২৮. △ABC এর ∠B=900, AB=5 সেমি, BC=12 সেমি।
ক) AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
∴ AC2=AB2+BC2
বা, AC2=(5)2+(12)2
বা, AC2=25+144
বা, AC2=169
বা, AC=√169
বা, AC=13 (Ans)
খ) ∠C=θ হলে sinθ+cosθ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
5 12
5+12
17
গ) দেখাও যে, sec2θ+cosec2θ=sec2θ.cosec2θ
সমাধানঃ
আমরা জানি,
1
1
13
13
1
1
13
LHS
=sec2θ+cosec2θ
=(13/12)2+(13/5)2
169 169
4225+24336
28561
RHS
=sec2θcosec2 θ
=(13/12)2.(13/5)2
169 169
28561
∴ LHS=RHS [Proved]
২৯. প্রদত্ত চিত্রের আলোকে
সমাধানঃ
△ABC-এ ∠B=900
∴ AC2=AB2+BC2
বা, AC2=(1)2+(√3)2
বা, AC2=1+3
বা, AC2=4
বা, AC=2
খ) tanA+tanC এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
AB 1
BC √3
∴ tanA+tanC
1
3+1
4
গ) x ও y এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
1
বা, tan(x-y)=tan300
বা, x-y=300……………(i)
আবার,
tanA=√3
বা, tan(x+y)=tan600
বা, x+y=600…………….(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2x=900
বা, x=900/2
বা, x=450
(i)-(ii) করে পাই,
-2y=-300
বা, 2y=300
বা, y=300/2
বা, y=150
∴ x=450 ও y=150
৩০. sinθ=p, cosθ=q, tanθ=r, যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ।
ক) r=√3-1 হলে θ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
r=√3-1
বা, tanθ=√(1/3)
1
বা, tanθ=tan600
বা, θ=600
খ) p+q=√2 হলে, প্রমাণ কর যে, θ=450
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
p+q=√2
বা, sinθ+cosθ=√2
বা, sinθ =√2-cosθ
বা, sin2θ=(√2-cosθ)2
বা, 1-cos2θ=(√2)2-2.√2cosθ+cos2θ
বা, 1-cos2θ=2-2.√2cosθ+cos2θ
বা, 1-cos2θ-2+2.√2cosθ-cos2θ=0
বা, -2cos2θ-1+2.√2cosθ=0
বা, 2cos2θ-2.√2cosθ+1=0
বা, (√2cosθ)2-2.√2cosθ.1+12=0
বা, (√2cosθ-1)2=0
বা, √2cosθ-1=0
বা, √2cosθ=1
বা, cosθ=1/√2
বা, cosθ=cos450
বা, θ=450 [Proved]
গ) 7p2+3q2=4 হলে দেখাও যে, tanθ=1/√3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
7p2+3q2=4
বা, 7sin2θ+3cos2θ=4
বা, 7(1-cos2θ)+3cos2θ=4
বা, 7-7cos2θ+3cos2θ=4
বা, 7-4=7cos2θ-3cos2θ
বা, 3=4cos2θ
1 4
4
4
4
4-3
1
√1
1
৩১. প্রমাণ কর যে, যেকোনো ত্রিভুজ ABC এর জন্য
AB+BC
[বিদ্রঃ প্রদত্ত প্রশ্নটি সমাধান করা যায় না-প্রশ্নে ভুল আছে]
সঠিক প্রশ্ন বা প্রশ্নটি নিন্মরূপ হলে সমাধান সম্ভবঃ
প্রমাণ কর যে, যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর জন্য B সূক্ষ্মকোণ হলে,
AB+BC
সমাধানঃ
AB AD
AB+BC AD+DC
AB+BC AC
AB+BC BC
△BDC-এ
ভূমি BC
এই মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
AB+BC
৩২. প্রমাণ কর যে, যেকোনো ত্রিভুজ ABC এর জন্য AC≠BC হলে,
BCcosC-ACcosB
সংশোধনঃ সঠিক প্রশ্ন হবেঃ-
প্রমাণ কর যে, যেকোনো ত্রিভুজ ABC এর জন্য AC≠BC হলে,
BCcosA-ACcosB
সমাধানঃ
△ABC এর পরিব্যাসার্ধ R হলে,
ত্রিভুজের সাইন সূত্র অনুসারে,
BC AC AB
∴ BC=2RsinA, AC=2RsinB, AB=2RsinC
LHS
BCcosA-ACcosB
2RsinAcosA-2RsinBcosB
R(2sinAcosA-2sinBcosB)
sin2A-sin2B
[2sinAcosA=sin2A, sinAcosB-cosBsinA=sin(A-B)]
2A+2B 2A-2B
[sinC-sinD
C+D C-D
cos(A+B)sin(A-B)
=cos(A+B)+cosC
=cos(1800-C)+cosC
[A+B+C=1800]
=cos(2*900-C)+cosC
=-cosC+cosC
=0
=RHS [proved]
৩৩. প্রমাণ কর যে, যেকোনো ত্রিভুজ ABC এর জন্য cotA+cotB=2cotC হলে AC2+BC2=2AB2 হবে।
সমাধানঃ
এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R হলে,
ত্রিভুজের সাইন সূত্র অনুসারে পাই
a b c
a
b
c
ত্রিভুজের কোসাইন সূত্র অনুসারে পাই,
b2+c2-a2
c2+a2-b2
a2+b2-c2
দেওয়া আছে,
cotA+cotB=2cotC
cosA cosB cosC
b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2
b2+c2-a2 2R c2+a2-b2 2R
a2+b2-c2 2R
R(b2+c2-a2) R(c2+a2-b2)
2R(a2+b2-c2)
R(b2+c2-a2+c2+a2-b2)
2R(a2+b2-c2)
R.2c2 2R(a2+b2-c2)
বা, c2= a2+b2-c2
বা, c2+c2=a2+b2
বা, 2c2=a2+b2
বা, 2AB2=BC2+AC2 [Proved]
