নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.২ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, ট্রাপিজিয়াম

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, ট্রাপিজিয়াম:

১. O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। AC, BD কর্ণদ্বয় E বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, ∠AOB+∠COD=2∠AEB

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। AC, BD কর্ণদ্বয় E বিন্দুতে ছেদ করে। A, O; B, O; C, O; D, O যোগ করা হলো। প্রমাণ কর যে, ∠AOB+∠COD=2∠AEB

প্রমাণঃ
△AED-এ
বহিঃস্থ ∠AEB=অন্তঃস্থ(∠ADE+∠EAD)
বা,  ∠AEB=∠ADB+∠CAD………….(i)
আবার, AB চাপের উপর অবস্থিত ∠ADB হলো বৃত্তস্থ কোণ ও ∠AOB হলো কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴∠AOB=2∠ADB……………..(ii)
আবার, CD চাপের উপর অবস্থিত ∠CAD হলো বৃত্তস্থ কোণ ও ∠COD হলো কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴∠COD=2∠CAD……………..(iii)
((ii)+(iii)  করে পাই,
∠AOB+∠COD=2∠ADB+2∠CAD
                                =2(∠ADB+∠CAD)
                                =2∠AEB [ (i) হতে মান বসিয়ে]
∴∠AOB+∠COD=2∠AEB (প্রমাণিত)

২. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। ∠ADB+∠BDC = এক সমকোণ। প্রমাণ কর যে, A, O, C এক সরলরেখায় অবস্থিত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। ∠ADB+∠BDC = এক সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, A, O, C এক সরলরেখায় অবস্থিত।

অঙ্কনঃ
A, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
∠ADB+∠BDC = এক সমকোণ।
বা,  ∠ADC=এক সমকোণ
এখন, আমরা জানি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ হয়।
∴∠ADC=অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
সুতরাং AC বৃত্তের ব্যাস এবং বৃত্তের কেন্দ্র O, AC এর উপর অবস্থিত।
∴A, O, C এক সরলরেখায় অবস্থিত (প্রমাণিত)

৩. দেখাও যে, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় AB ও CD এবং তীর্যক বাহুদ্বয় AD ও BC. প্রমাণ করতে হবে যে, AD=BC.

অঙ্কনঃ
B, D যোগ করি।
প্রমাণঃ
ABCD ট্রাপিজিয়ামে,
AB।।CD ও BD তাদের ছেদক
∴∠ABD=∠CDB
বা,  AD চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ=BC চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ
বা,  AD চাপ=BC চাপ
বা,  AD জ্যা=BC জ্যা
বা,  AD=BC (প্রমাণিত)

৪. চিত্রে, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং OB = 2.5 সেমি

ক) ABCD বৃত্তটির পরিধি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বৃত্তের ব্যাসার্ধ OB=r=2.5 সেমি
ABCD বৃত্তের পরিধি=2πr সেমি
                        =2✕3.1416✕2.5 সেমি
                        =15.708 সেমি (প্রায়)।

খ) প্রমাণ কর যে, ∠BAD=(1/2)∠BOD

সমাধান

বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তের একই চাপ BD এর উপর বৃত্তস্থ ∠BAD এবং কেন্দ্রস্থ ∠BOD. প্রমাণ করতে হবে যে,  ∠BAD=(1/2)∠BOD

প্রমাণঃ
△AOB-এ
বহিস্থকোণ ∠BOC=∠OBA+∠BAO…….(i)
এবং, AO=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴∠OBA=∠BAO……………(ii)
(i) ও (ii) হতে,
∠BOC=∠BAO+∠BAO
বা,  ∠BOC=2∠BAO……………(iii)
অনুরুপভাবে,
∠DOC=2∠DAO………………..(iv)
(iii)+(iv) করে,
∠BOC+∠DOC=2∠BAO+2∠DAO

বা, ∠BOC+∠DOC=2(∠BAO+∠DAO)
বা,  ∠BOD=2∠BAD
বা,  ∠BAD=(1/2) ∠BOD (প্রমাণিত)।

গ) AC ও BD পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, ∠AOB+∠COD=2∠AEB

সমাধানঃ

১ নং এর সমাধান দেখ।

৫. ABCD বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুইটি পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাও যে, △AED ও △BEC সদৃশকোণী।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ADBC বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করেছে। A, D; B, C যোগ করি। দেখাতে হবে যে, △AED ও △BEC সদৃশকোণী।

প্রমাণঃ
△AED ও △BEC এর মধ্যে
∠AED=∠CEB [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
∠ADE=∠EBC [কোনদ্বয় একই চাপ AC এর বৃত্তস্থ কোণ বলে]
∠DAE=∠BCE [কোনদ্বয় একই চাপ DB এর বৃত্তস্থ কোণ বলে]
∴△AED ও △BEC সদৃশকোণী (প্রমাণিত)।