নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১১.১ - অনুপাত

অনুপাতঃ

১. দুইটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a মিটার এবং b মিটার হলে, এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধানঃ

মনে করি,
১ম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
এবং ২য় বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য b মিটার
তাহলে,
১ম বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= a² বর্গমিটার
এবং ২য় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= b² বর্গমিটার
অতএব,
তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত= a²:b²

২. একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, এদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr², এখানে r=ব্যাসার্ধ।
এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=a², এখানে a= বর্গের বাহু।
প্রশ্নমতে,
a²= πr²
বা, a=r√π…….(i)
এখন, বৃত্তের পরিসীমা=2πr
এবং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=4a
∴ বৃত্তের পরিসীমা : বর্গেক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2πr : 4a
= 2πr : 4 r√π [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]
= π : 2 √π
= √π.√π : 2√π
=√π : 2

৩. দুইটি সংখ্যার অনুপাত 3:4 এবং এদের লসাগু 180। সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
সংখ্যা দুইটির অনুপাত 3:4
মনে করি, ১ম সংখ্যা 3x
∴অপর সংখ্যা 4x
এখন, 3x ও 4x এর লসাগু=12x
প্রশ্নানুসারে,
12x=180
বা, x=180/12
বা, x=15
∴একটি সংখ্যা=3✕15=45
এবং অপর সংখ্যা=4✕15=60

৪. একদিন তোমার ক্লাসে দেখা গেল অনুপস্থিত ও উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত 1:4, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যাকে মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরায় প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

অনুপস্থিত ও উপস্থিত ছাত্র সংখ্যার অনুপাত 1:4
ধরি, অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা =x
এবং উপস্থিত ছাত্র সংখ্যা =4x
∴মোট ছাত্র=x+4x=5x
∴ অনুপস্থিত ছাত্র সংখ্যা, মোট ছাত্র সংখ্যার শতকরা হার
=(x/5x)✕100=20%

৫. একটি দ্রব্য ক্রয় করে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, ক্রয় মূল্য =100 টাকা
তাহলে 28% ক্ষতিতে বিক্রয় মূল্য=(100-28)=72 টাকা
∴বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য
=72 : 100
=18 : 25 [4 দ্বারা ভাগ করে]

৬. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি 70 বছর। 7 বছর পূর্বে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল; 5:2। 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধানঃ

মনে করি,
7 বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল 5x বছর
7 বছর পূর্বে পুত্রের বয়স ছিল 2x বছর
∴বর্তমানে পিতার বয়স হবে (5x+7) বছর
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স হবে (2x+7) বছর
প্রশ্নমতে,
(5x+7)+(2x+7)=70
বা, 5x+7+2x+7=70
বা, 7x+14=70
বা, 7x=70-14
বা, 7x=56
বা, x=56/7
বা, x=8
∴বর্তমানে পিতার বয়স  (5✕8+7)=40+7=47 বছর
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স (2✕8+7)=16+7=23 বছর
∴5 বছর পর পিতার বয়স হবে 47+5=52 বছর
এবং 5 বছর পর পুত্রের বয়স হবে 23+5=28 বছর
∴5 বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
=52 : 28
=13 : 7

৭. যদি a : b=b : c হয়, তবে প্রমাণ কপ্র যে,

ক)	a ---- c	=	a2+b2 -------- b2+c2
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a : b = b : c
বা,	a ---- c	=	a ---- c
ধরি,	a ---- c	=	a ---- c	=k
∴	b	=	ck
এবং	a	=	ck.k	=ck2
LHS
=	a ---- c
=	ck2 ---- c
=	k2
RHS
=	a2+b2 -------- b2+c2
=	(ck2)2+(ck)2 ----------------- (ck)2+c2
=	c2k4+c2k2 ----------------- c2k2+c2
=	c2k2(k2+1) ----------------- c2(k2+1)
=	k2
∴	a ---- c	=	a2+b2 -------- b2+c2
			[Proved]

খ)	a2b2c2(1/a3+1/b3+1/c3) =a3+b3+c3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a : b = b : c
বা,	a ---- b	=	b ----- c
∴	b2  =  ac
LHS = a2b2c2(1/a3+1/b3+1/c3)
=	a2b2c2 ------- a3	+	a2b2c2 ------- b3	+	a2b2c2 ------- c3
=	b2c2 ------- a	+	a2c2 ------- b	+	a2b2 ------- c
=	b2c2 ------- a	+	(ac)2 ------- b	+	a2b2 ------- c
=	ac.c2 ------- a	+	(b2)2 ------- b	+	a2.ac ------- c
			[মান বসিয়ে]
=	ac.c2 ------- a	+	b4 ------- b	+	a2.ac ------- c
=	c3	+	b3	+	a3
=	RHS	[Proved]

গ)	abc(a+b+c)3 -------------- (ab+bc+ca)3			=	1
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, a : b = b : c
বা,	a --- b	=	b --- c
ধরি,	a --- b	=	b --- c	=	k
∴	b	=	ck
এবং	a
=	bk	=	ck.k	=ck2
LHS
=	abc(a+b+c)3 -------------- (ab+bc+ca)3
=	ck2✕ck✕c(ck2+ck+c)3 --------------------------- (ck2✕ck+ck✕c+c✕ck2)3
=	c3k3{c(k2+k+1)}3 ------------------------- (c2k3+c2k+c2k2)3
=	c3k3c3(k2+k+1)3 ----------------------- {c2k(k2+k+1)}3
=	c6k3(k2+k+1)3 --------------------- c6k3(k2+k+1)3
=	1
=	RHS [Proved}

৮. সমাধান করঃ

ক)	1-√(1-x) -------------- 1+√(1-x)		=	1 -- 3
সমাধানঃ
	1-√(1-x) -------------- 1+√(1-x)		=	1 -- 3
বা,	1-√(1-x)+ 1+√(1-x) --------------------------- 1-√(1-x)-{1+√(1-x)}				=	1+3 ---- 1-3
	[যোজন বিয়োজন করে]
বা,	1-√(1-x)+ 1+√(1-x) --------------------------- 1-√(1-x)-1-√(1-x)				=	4 --- -2
বা,	2 ----------- -2√(1-x)		=	-2
বা,	1 -------- √(1-x)		=	2
বা,	1 -------  (1-x)		=	4	[বর্গ করে]
বা,	4(1-x) = 1
বা,	4-4x = 1
বা,	-4x = 1-4
বা,	-4x = -3
বা,	x =	3 --- 4

খ)	a+x-√(a2-x2) ---------------- a+x+√(a2-x2)	=	b -- x
	যেখানে, 2a>b>0 এবং x≠0
সমাধানঃ
	a+x-√(a2-x2) ---------------- a+x+√(a2-x2)	=	b -- x
বা,	a+x-√(a2-x2)+ a+x+√(a2-x2) --------------------------------- a+x-√(a2-x2)-{a+x+√(a2-x2)}
		=	b+x ---- b-x
	[যোজন বিয়োজন করে]
বা,	a+x-√(a2-x2)+ a+x+√(a2-x2) --------------------------------- a+x-√(a2-x2)-a-x-√(a2-x2)
		=	b+x ---- b-x
বা,	2a+2x ------------- -2√(a2-x2)	=	b+x ---- b-x
বা,	a+x ------------- -√(a2-x2)	=	b+x ---- b-x
বা,	(a+x)2 ------------- {-√(a2-x2)}2	=	(b+x)2 ------ (b-x)2
	[উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা,	(a+x)(a+x) ------------- (a2-x2)	=	(b+x)2 ------ (b-x)2
বা,	(a+x)(a+x) ------------- (a-x)(a+x)	=	(b+x)2 ------ (b-x)2
বা,	(a+x) ---------- (a-x)	=	(b+x)2 ------ (b-x)2
বা,	a+x+a-x -------------- a+x-(a-x)	=	(b+x)2+(b-x)2 ---------------- (b+x)2-(b-x)2
বা,	2a --------- 2x	=	2(b2+x2) --------- 4bx
বা,	a --------- x	=	(b2+x2) --------- 2bx
বা,	a --------- 1	=	(b2+x2) --------- 2b
বা,	b2+x2=2ab
বা,	x2=2ab-b2
বা,	x=±√(2ab-b2)

গ)	81.	(1-x)3 ------ (1+x)3	=	1+x ----- 1-x
সমাধানঃ
	81.	(1-x)3 ------ (1+x)3	=	1+x ----- 1-x
বা,	81=	1+x ----- 1-x	✕	(1+x)3 ------ (1-x)3
বা,	34=	(1+x)4 ------- (1-x)4
বা,	±3=	1+x ------- 1-x
বা,	3=	1+x ------- 1-x	………(i)
অথবা,
	-3=	1+x ------- 1-x	………..(ii)
(i) থেকে পাই,
	1+x=3-3x
বা,	4x=2
বা,	x =	1 -- 2
(ii) থেকে পা্‌ই
	1+x=-3+3x
বা,	2x=4
বা,	x=2
∴	x =	½; 2

৯.	a --- b	=	b --- c	=	c --- d
	হলে দেখাও যে,
ক)	a3+b3 ------ b3+c3		=	b3+c3 ------ c3+d3
সমাধানঃ
ধরি,	a --- b	=	b --- c	=	c --- d	=	k
∴	c=dk
	b=ck=dk.k=dk2
	a=bk=dk2.k=dk3
LHS
=	a3+b3 ------ b3+c3
=	(dk3)3+(dk2)3 --------------- (dk2)3+(dk)3
=	d3k9+d3 k6 ------------ d3k6+d3k3
=	d3k6(k3+1) ------------ d3k3(k3+1)
=	k3
RSH
=	b3+c3 ------ c3+d3
=	(dk2)3+(dk)3 -------------- (dk)3+d3
=	d3k6+d3k3 ------------ d3k3+d3
=	d3k3(k3+1) ------------ d3(k3+1)
=	k3
∴	a3+b3 ------ b3+c3		=	b3+c3 ------ c3+d3
			[Proved]

(খ) (a²+b²+c²)(b²+c²+d²)=(ab+bc+cd)²

সমাধানঃ

ধরি, a/b=b/c=c/d=k
∴ c=dk
b=ck=dk.k=dk²
a=bk=dk².k=dk³
LHS
=(a²+b²+c²)(b²+c²+d²)
={(dk³)²+(dk²)²+(dk)²}{(dk²)²+(dk)²+d²}
=(d²k⁶+d²k⁴+d²k²)(d²k⁴+d²k²+d²)
=d²k²(k⁴+k²+1)✕d²(k⁴+k²+1)
= d⁴k²(k⁴+k²+1)²
RSH
=(ab+bc+cd)²
=(dk³✕dk²+dk²✕dk+dk✕d)²
={d²k(k⁴+k²+1)}²
=d⁴k²(k⁴+k²+1)²
∴  (a²+b²+c²)(b²+c²+d²)=(ab+bc+cd)² [Proved]

-

১১.	x	=	3√(m+a)+ 3√(m-a) ---------------------- 3√(m+a)- 3√(m-a)	হলে,
	প্রমাণ কর যে,
	x3-3mx2+3x-m=0
সমাধানঃ			দেওয়া আছে,
	x	=	3√(m+a)+ 3√(m-a) ---------------------- 3√(m+a)- 3√(m-a)
বা,	x+1 ---- x-1
	=	3√(m+a)+ 3√(m-a)                  + 3√(m+a)- 3√(m-a)     ------------------------------------             3√(m+a)+ 3√(m-a)                    -3√(m+a)+ 3√(m-a)
বা,	x+1 ---- x-1		2.3√(m+a) =       ----------- 2.3√(m-a)
বা,	x+1 ---- x-1		3√(m+a) =       --------------- 3√(m-a)
বা,	(x+1)3 ------- (x-1)3		{3√(m+a)}3 =        -------------- {3√(m-a)}3	[ঘন করে]
বা,	(x+1)3 ------ (x-1)3		m+a =           --------- m-a
বা,	m+a ----- m-a		x3+3x2+3x+1 =  -----------------    x3-3x2+3x-1
বা,	m+a+m-a ------------ m+a-m+a
	=	x3+3x2+3x+1+ x3-3x2+3x-1 ------------------------------- x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1
			[যোজন বিয়োজন]
বা,	2m --- 2	=	2x3+6x ----------- 2+6x2
বা,	m	=	2(x3+3x) ------------ 2(1+3x2)
বা,	m	=	x3+3x ------------ 1+3x2
বা,	x3+3x   =    m+3mx2
বা,	x3-3mx2+3x-m  = 0 [প্রমাণিত]

-

১২.	x		=	√(2a+3b)+ √(2a-3b) ------------------------- √(2a+3b)+ √(2a-3b)
	হলে, প্রমাণ কর যে,
	3bx2-4ax+3b = 0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
	x		=	√(2a+3b)+ √(2a-3b) ------------------------- √(2a+3b)+ √(2a-3b)
বা,	x+1 ----- x-1		=	√(2a+3b)+ √(2a-3b) +√(2a+3b)+ √(2a-3b) -------------------------- √(2a+3b)+ √(2a-3b) -{√(2a+3b)+ √(2a-3b)}
				[যোজন বিয়োজন করে]
বা,	x+1 -----    x-1		=	2√(2a+3b) ------------- 2√(2a-3b)
বা,	x+1 -----    x-1		=	√(2a+3b) ----------- √(2a-3b)
বা,	(x+1)2 ------- (x-1)2		=	(2a+3b) ----------- [বর্গ করে] (2a-3b)
বা,	x2+2x+1 ----------- x2-2x+1			2a+3b =  --------      2a-3b
বা,	x2+2x+1+ x2-2x+1 ----------------------- x2+2x+1- x2+2x-1
			=	2a+3b+2a-3b -----------------  2a+3b-2a+3b
বা,	2x2+2 --------    4x		=	4a ---- 6b
বা,	x2+1 --------    2x		=	2a ---- 3b
বা, 3b(x2+1) = 4ax
বা, 3bx2-4ax+3b = 0 [প্রমাণিত]

-

১৩.	a2+b2 ------- b2+c2	=	(a+b)2 -------- (b+c)2
	হলে, প্রমাণ কর যে a, b, c ক্রমিক সমাণুপাতী।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
	a2+b2 ------- b2+c2	=	(a+b)2 -------- (b+c)2
বা,	(a2+b2)(b+c)2            =(b2+c2)(a+b)2
বা,	(a2+b2)(b2+c2+2bc)        =(b2+c2)(a2+b2+2ab)
বা,	a2b2+b4+a2c2+b2c2+2a2bc+2b3c =a2b2+a2c2+b4+b2c2+2ab3+2abc2
বা,	a2b2+b4+a2c2+b2c2+2a2bc+2b2c -a2b2-a2c2-b4-b2c2=2ab3+2abc2
বা,	2a2bc+2b3c=2ab3+2abc2
বা,	2b(a2c+b2c)=2b(ab2+ac2)
বা,	a2c+b2c= ab2+ac2
বা,	a2c-ac2= ab2-b2c
বা,	ac(a-c)=b2(a-c)
বা,	ac=b2
বা,	ac=b.b
বা,	a/b=b/c
অর্থাৎ a, b, c ক্রমিক সমাণুপাতী (প্রমাণিত)

-

১৪.	x --- b+c	=	y --- c+a	=	z --- a+b
	হলে, প্রমাণ কর যে,
	a ------ y+z-x	=	b ------ z+x-y	=	c ------ x+y-z
সমাধানঃ
মনে করি,
	x --- b+c	=	y --- c+a	=	z --- a+b	=	k
∴ x=k(b+c); y=k(c+a); z=k(a+b)
১ম পক্ষ
=	a ------ y+z-x
=	a ---------------------------- k(c+a)+k(a+b)-k(b+c)
=	a -------------------- k(c+a+a+b-b-c)
=	a --- 2ak
=	1 --- 2k
২য় পক্ষ
=	b ------ z+x-y
=	b -------------------------- k(a+b)+k(b+c)-k(c+a)
=	b -------------------- k(a+b+b+c-c-a)
=	b --- 2bk
=	1 --- 2k
৩য় পক্ষ
=	c ------ x+y-z
=	c -------------------------- k(b+c)+k(c+a)-k(a+b)
=	c -------------------- k(b+c+c+a-a-b)
=	c --- 2ck
=	1 --- 2k
∴	a ------ y+z-x	=	b ------ z+x-y	=	c ------ x+y-z
				[Proved]

১০.	x	=	4ab ----- a+b		হলে
	দেখাও যে,
	x+2a ------ x-2a		+	x+2b ------ x-2b		=	2
সমাধানঃ
দেওয়া আছে		x	=	4ab ----- a+b
বা,	x -- 2a	=	4ab -------- 2a(a+b)			[2a দ্বারা ভাগ করে]
বা,	x -- 2a	=	2b ------- a+b
বা,	x+2a ------ x-2a		=	2b+a+b --------- 2b-(a+b)
		[যোজন-বিয়োজন করে]
বা,	x+2a ------ x-2a		=	2b+a+b --------- 2b-a-b)
বা,	x+2a ------ x-2a		=	3b+a ------- b-a			….(i)
আবার,		x	=	4ab ----- a+b
বা,	x -- 2b	=	4ab -------- 2b(a+b)			[2b দ্বারা ভাগ করে]
বা,	x -- 2b	=	2a ------ a+b
বা,	x+2b ------- x-2b		=	2a+a+b ------ 2a-a-b
		[যোজন বিয়োজন করে]
বা,	x+2b ------- x-2b		=	3a+b ------ a-b			…(ii)
LHS
=	x+2a ------ x-2a		+	x+2b ------ x-2b
=	3b+a ------- b-a		+	3a+b ------ a-b		[(i) ও (ii) থেকে মান বসিয়ে]
=	3b+a ------- b-a		-	3a+b ------ b-a
=	3b+a-3a-b --------------- b-a
=	2b-2a -------- b-a
=	2(b-a) -------- b-a
=	2
=	RHS				[Proved]