সমান্তর ধারাঃ
১. 13+20+27+34+….+111 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?
ক) 10 খ) 13 গ) 15 ঘ) 20
উত্তরঃ গ
২. 5+8+11+14+…+62 ধারাটি
(i) একটি সসীম ধারা
(ii) একটি গুণোত্তর ধারা
(iii) এর 19 তম পদ 59
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii খ) i ও iii গ) ii ও iii ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ খ
নিচের তথ্যের আলোকে ৩-৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
7+13+19+25+…….. একটি ধারা।
৩. ধারাটির 15 তম পদ কোনটি?
ক) 85 খ) 91 গ) 97 ঘ) 104
উত্তরঃ খ
৪. ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?
ক) 141 খ) 1210 গ) 1280 ঘ) 2560
উত্তরঃ গ
৫. 2-5-12-19-…….. ধারাটির সাধারণ অন্তর এবং 12 তম পদ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, এর প্রথম পদ a=2
সাধারণ অন্তর d=২য় পদ-১ম পদ=(-5)-2=-5-2=-7
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ =a+(n-1)d
∴ধারাটির 12 তম পদ
= a+(12-1)d
=2+11.(-7)
=2-77
=-75
∴ধারাটির সাধারণ অন্তর -7 এবং 12 তম পদ -75
৬. 8+11+14+17+…..ধারাটির কোন পদ 392?
সমাধানঃ
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,
এর ১ম পদ a=2
সাধারণ অন্তর d=11-8=3
মনে করি, n তম পদ=392
তাহলে,
a+(n-1)d=392
বা, 8+(n-1)3=392
বা, (n-1)3=392-8
বা, 3n-3=384
বা, 3n=384+3
বা, 3n=387
বা, n=387/3
বা, n=129
অতএব, ধারাটির 129 তম পদ 392.
৭. 4+7+10+13+…….ধারাটির কোন পদ 301?
সমাধানঃ
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,
এর ১ম পদ a=4
সাধারণ অন্তর d=7-4=3
মনে করি, r তম পদ=301
তাহলে,
a+(r-1)d=301
বা, 4+3r-3=301
বা, 3r+1=301
বা, 3r=301-1
বা, 3r=300
বা, r=300/3
বা, r=100
অতএব, ধারাটির 100 তম পদ 301.
৮. কোনো সমান্তর ধারার m তম পদ n এবং n তম পদ m হলে, ধারাটির (m+n) তম পদ কত?
সমাধানঃ
মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
∴m তম পদ=a+(m-1)d=a+md-d
∴n তম পদ=a+(n-1)d=a+nd-d
প্রশ্ন অনুসারে,
a+md-d=n………..(i)
a+nd-d=m……….(ii)
বা, d(m-n)=n-m
বা, d(m-n)=-(m-n)
বা, d=-1
d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
a+m(-1)-(-1)=n
বা, a-m+1=n
বা, a=n+m-1
এখন (m+n) তম পদ
=a+(m+n-1)d
=m+n-1+(m+n-1)(-1)
=m+n-1-m-n+1
=0
∴ ধারাটির (m+n) তম পদ 0
৯. 1+3+5+7+……ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,
প্রথম পদ a=1
সাধারণ অন্তর, d=3-1=2
পদসংখ্যা=n
ধারাটির সমষ্টি
n
n
n
n
=n2
∴ ধারাটির n পদের সমষ্টি n2
১০. 8+16+24+………ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা,
ধারার ১ম পদ a=8
সাধারণ অন্তর d=16-8=8
পদের সংখ্যা n=9
সমষ্টি
n
∴9টি পদের সমষ্টি
9
9
9
=360
∴ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি 360
১১. 5+11+17+23+……..+59=কত?
সমাধানঃ
ধারাটি সমান্তর ধারা,
এখানে, ১ম পদ, a=5
সাধারণ অন্তর, d=11-5=6
মনে করি, n তম পদ =59
∴ a+(n-1)d=59
বা, 5+(n-1)6=59
বা, (n-1)6=54
বা, (n-1)=9
বা, n=9+1
বা, n=10
∴ধারাটির সমষ্টি
n
10
10
=5✕64
=320
১২. 29+25+21+……-23=কত?
সমাধানঃ
ধারাটি সমান্তর ধারা,
এখানে, ১ম পদ, a=29
সাধারণ অন্তর, d=25-29=-4
মনে করি, n তম পদ =-23
∴ a+(n-1)d=59
বা, 29+(n-1)(-4)=-23
বা, -4(n-1)=-23-29
বা, -4(n-1)=-52
বা, -4n+4=-52
বা, -4n=-52-4
বা, -4n=-56
বা, n=14
∴ধারাটির সমষ্টি
n
14
14
=7✕6
=42
১৩. কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
মনে করি,
ধারাটির প্রথম পদ=a
সাধারণ অন্তর=d
12 তম পদ
=a+(12-1)d
=a+11d
প্রশ্ন অনুসারে,
a+11d=77
∴ধারাটির প্রথম 23 পদের সমষ্টি
23
23
23
=23(a+11d)
=23✕77
=1771
১৪. একটি সমান্তর ধারার 16 তম পদ -20 হলে, এর প্রথম 31 টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
মনে করি,
ধারাটির প্রথম পদ=a
সাধারণ অন্তর=d
16 তম পদ
=a+(16-1)d
=a+15d
প্রশ্ন অনুসারে,
a+15d=-20
∴ধারাটির প্রথম 31 পদের সমষ্টি
31
31
31
=31(a+11d)
=31✕-20
=-620
১৫. 9+7+5+…. ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি -144 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধাএয়াটি সমান্তর ধারা,
ধারাটির প্রথম পদ a=9
সাধারণ অন্তর, d=7-9=-2
সমষ্টি, S=-144
পদ সংখ্যা, n=?
আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
n
বা, 2s=n{2a+(n-1)d}
বা, 2.(-144)= n{2.9+(n-1)(-2)}
বা, -288=n(18-2n+2)
বা, -288=n(20-2n)
বা, -288=2n(10-n)
বা, -144=n(10-n)
বা, -144=10n-n2
বা, 10n-n2+144=0
বা, n2-10n-144=0
বা, n2-18n+8n-144=0
বা, n(n-18)+8(n-18)=0
বা, (n-18)(n+8)=0
বা, n-18=0 অথবা, n+8=0
বা, n=18 বা, n=-8
-8 গ্রহনযোগ্য নয় কারণ পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴n=18
১৬. 2+4+6+8+……ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2550 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ধারাটি সমান্তর ধারা,
ধারাটির প্রথম পদ a=2
সাধারণ অন্তর d=4-2=2
সমষ্টি S=2550
পদ সংখ্যা n=?
আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি S
n
বা, 2S=n(2a+nd-d)
বা, 2.2550=2an+n2d-nd
বা, 2.2550=2.2n+n2.2-n.2
বা, 2.2550=2(2n+n2-n)
বা, 2550=n+n2
বা, n2+n-2550=0
বা, n2+52n-51n-2550=0
বা, n(n+52)-51(n+52)=0
বা, (n-51)(n+51)=0
বা, n-51=0 অথবা, n+51=0
বা, n=51 বা, n=-51
পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴n=51
১৭. কোনো ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n+1) হলে, ধারাটি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি শ Sn = n(n+1)=n2+n
এখন, n=1, 2, 3….বসিয়ে পাই,
S1=12+1=1+1=2
S2=22+2=4+2=6
S3=32+3=9+3=12
∴প্রথম পদ=2
২য় পদ=S2-S1=6-2=4
৩য় পদ= S3-S2=12-6=6
∴নির্ণেয় ধারা = 2+4+6+…………….
১৮. কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n+1) হলে, ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি শ Sn = n(n+1)=n2+n
এখন, n=10 হলে,
S10=102+10=100+10=110
∴ ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি 110
১৯. একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
১ম শর্ত মতে,
n
বা, 2.144=n{2a+(n-1)d}
বা, 2.144=12{2a+12d-d} [১ম শর্তে n=12]
বা, 24=2a+11d
বা, 2a+11d=24………….(i)
২য় শর্তে,
n
বা, 2.560=n(2a+nd-d)
বা, 2.560=20(2a+20d-d) [২য় শর্তে n=12]
বা, 56=2a+19d
বা, 2a+19d=56………………(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
-8d=-32
বা, 8d=32
বা, d=32/8
বা, d=4
d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2a+11.4=24
বা, 2a+44=24
বা, 2a=24-44
বা, 2a=-20
বা, a=-20/2
বা, a=-10
∴প্রথম 6 পদের সমষ্টি
6
=3{2.(-10)+5.4}
=3{-20+20}
=3✕0
=0
২০. কোনো সমান্তরর ধারার প্রথম m পদের সমষ্টি n এবং n পদের সমষ্টি m হলে, এর প্রথম (m+n) পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
১ম শর্তমতে,
m
বা, 2n=m{2a+md-d}
বা, 2n=2am+m2d-md………………(i)
২য় শর্তমতে,
n
বা, 2m=n{2a+nd-d}
বা, 2m=2an+n2d-nd…………………..(ii)
(i) নং কে n দ্বারা ও (ii) নং কে m দ্বারা গুণ করে পাই,
2n2=2anm+nm2d-nmd
2m2=2anm+mn2d-nmd
বা, 2n2-2m2=nm2d-mn2d
বা, 2(n2-m2)=dmn(m-n)
বা, dmn(m-n)=2(n-m)(m+n)
বা, dmn(m-n)=2(n-m)(m+n)
বা, dmn(m-n)=-2(m-n)(m+n)
বা, dmn=-2(m+n)……………………..(iii)
এখন, (m+n) পদের সমষ্টি
m+n
(m+n)(2a+md+nd-d)
2am+m2d+mnd-md+2an+mnd+n2d-nd
(2am+m2d-md)+(2an+n2d+nd)+2mnd
2m+2n+2mnd
=m+n+mnd
=m+n-2(m+n) [(iii) হতে মান বসিয়ে]
=-(m+n)
∴ (m+n) পদের সমষ্টি -(m+n)
২১. কোনো সমান্তর ধারায় p তম, q তম ও r তম পদ যথাক্রমে a,b,c হলে, দেখাও যে, a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)=0
সমাধানঃ
মনে করি,
সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = x
এবং সাধারণ অন্তর = d
তাহলে, P তম পদ = x+(p-1)d = a
q তম পদ = x+(q-1)d = b
r তম পদ = x+(r-1)d = c
এখন,
LHS
= a(q-r)+b(r-p)+c(p-q)
={x+(p-1)d}(q-r)+{x+(q-1)d}(r-p)+{x+(r-1)d}(p-q) [ মান বসিয়ে]
=x(q-r)+(p-1)(q-r)d+x(r-p)+(q-1)(r-p)d+x(p-q)+(r-1)(p-q)d
=x(q-r+r-p+p-q)+d{(p-1)((q-r)+(q-1)(r-p)+(r-1)(p-q)
=x✕0+d(pq-pr-q+r+qr-pq+p-r+pr-qr-p+q)
=0+d✕0
=0+0
=0
=RHS [Proved]
২২. দেখাও যে, 1+3+5+7+….+125=169+171+173+…+209.
সমাধানঃ
LHS=1+3+5+7+….+125
এখানে, a=1
সাধারণ অন্তর d=3-1=2
∴ n তম পদ, a+(n-1)d=125
বা, 1+(n-1)2=125
বা, 1+2n-2=125
বা, 2n-1=125
বা, 2n=125+1
বা, 2n=126
বা, n=126/2
বা, n=63
∴ধারাটির সমষ্টি
n
63
63
63
63
=63✕63
=3969
RHS=169+171+173+…+209
এখানে, a=169
সাধারণ অন্তর d=171-169=2
∴ n তম পদ, a+(n-1)d=209
বা, 169+(n-1)2=209
বা, 169+2n-2=209
বা, 167+2n=209
বা, 2n=209-167
বা, 2n=42
বা, n=42/2
বা, n=21
∴ধারাটির সমষ্টি
n
21
21
21
=21✕189
=3969
∴ LHS=RHS [Proved]
২৩. এক ব্যক্তি 2500 টাকার একটি ঋণ কিছু সংখ্যক কিস্তিতে পরিশোধ করতে রাজী হন। প্রত্যেক কিস্তি পূর্বের কিস্তি থেকে 2 টাকা বেশি। যদি প্রথম কিস্তি 1 টাকা হয়, তবে কতগুলো কিস্তিতে ঐ ব্যক্তি তাঁর ঋণ শোধ করতে পারবেন?
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। আর তা হলো-
1+3+5+7+………………
ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2500, যেখানে n এর মানই হবে নির্ণেয় কিস্তির পরিমাণ।
এখন, মনে করি ধারাটির প্রথম পদ a=1
এবং সাধারণ অন্তর d=3-1=2
আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি
n
n
বা, 2.2500=n{2.1+(n-1)2}
বা, 2.2500=n(2+2n-2)
বা, 2.2500=n(2n)
বা, 2500=n2
বা, n=√2500
বা, n=50
∴50টি কিস্তিতে ঐ ব্যাক্তির ঋণ শোধ করতে পারবেন।
২৪. কোন সমান্তর ধারার দুইটি নির্দিষ্ট পদ, l তম পদ l2 এবং k তম পদ k2।
ক) ধারাটির প্রথম a পদ এবং সাধারণ অন্তর d ধরে উদ্দীপকের আলীকে দুইটি সমীকরণ তৈরি কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
ধারাটির l তম পদ = a+(l-1)d
এবং k তম পদ = a+(k-1)d
প্রশ্নমতে,
a+(l-1)d=l2………….(i)
a+(k-1)d=k2…………(ii)
খ) (l+k) তম পদ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(i)-(ii) করে পাই,
(l-1)d-(k-1)d=l2-k2
বা, d(l-1-k+1)=l2-k2
বা, d(l-k)=(l-k)(l+k)
বা, d=l+k…………(iii)
এখন,
(l+k) তম পদ
= a+(l+k-1)d
=a+(l-14)d+kd
=l2+kd [(i) থেকে]
=l2+k.(l+k) [(iii) থেকে]
=l2+lk+k2
গ) প্রমাণ কর ধারাটির প্রথম (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি
l+k
সমাধানঃ
খ হতে পাই,
d=l+k
d এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
a+(l-1)(l+k)=l2
বা, a+l2-l+lk-k=l2
বা, a=l2-l2+l-lk+k
বা, a=l-lk+k
আমরা জানি, সামন্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
n
∴ (l+k) সংখ্যক পদের সমষ্টি
l+k
(l+k) {2(l-lk+k)+(l+k-1)(l+k)}
(l+k)(2l-2lk+2k)+(l2+lk-l+lk+k2-k)
(l+k){2l-2lk+2k+l2+lk-l+lk+k2-k)
(l+k)
No comments:
Post a Comment