নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১২.৪ - সহসমীকরন গঠন করে সমাধান

 

সহসমীকরন গঠন করে সমাধান:

১. নিচের কোন শর্তে ax+by+c=0 ও ppx+qy+r=0 সমীকরণজোটটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে?

ক)	a -- p	≠	b -- q	খ)	a -- p	=	b -- q	=	c -- r
গ)	a -- p	=	b -- q	≠	c -- r	ঘ)	a -- p	=	b -- q
উত্তরঃ		ক

২. x+y=4, x-y=2 হলে (x,y) এর মান নিচের কোনটি?

ক) (2,4)   খ) (4,2)   গ) (3,1)  ঘ) (1,3)

উত্তরঃ গ

৩. x+y=6 ও 2x=4  হলে, y এর মান কত?

ক) 2   খ) 4   গ) 6   ঘ) 8

উত্তরঃ খ

৪. নিচের কোনটির জন্য নিন্মের ছকটি সঠিক?

x	0	2	4
y	-4	0	4

ক) y=x-4   খ) y=8-x   গ) y=4-2x   ঘ) y=2x-4

উত্তরঃ ঘ

৫. 2x-y=8 এবং x-2y=4 হলে x+y=কত?

ক) 0   খ) 4   গ) 8   ঘ) 12

উত্তরঃ খ

৬. x-y-4=0 এবং 3x-3y-10=0 সমীকরণদ্বয়

(i) পরস্পর নির্ভরশীল

(ii) পরস্পর সমঞ্জস
(iii) এর কোনো সমাধান নেই

উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) ii   খ) iii   গ) i ও iii    ঘ) ii ও iii

উত্তরঃ খ

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ৭-৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

আয়তাকার একটি ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা 2 মিটার বেশি এবং মেঝের পরিসীমা 20 মিটার। ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে প্রতি বর্গমিটারে 900 টাকা খরচ হয়।

৭. ঘরটির মেঝের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

ক) 10   খ) 8   গ) 6   ঘ) 4

উত্তরঃ গ

৮. ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

ক) 24   খ) 32   গ) 48   ঘ) 80

উত্তরঃ ক

৯. ঘরটির মেঝে মোজাইক করতে মোট কত খরচ হবে?

ক) 72000   খ) 32   গ) 48   ঘ) 80

উত্তরঃ ঘ

সহসমীকরণ গঠন করে সমাধান কর (১০-১৭):

১০. কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরের প্রত্যকটির সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হবে। আবার, লব ও হরের প্রত্যেকটি থেকে 5 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি ½ হবে। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

ভগ্নাংশটির লব=x এবং হর=y

                      x

∴ভগ্নাংশটি= -------

                      y

১ম শর্তমতে,

 x+1        4

------ = ------ ….(i)

 y+1        5

আবার, ২য় শর্তমতে,

 x-5          1

------- = ----- ….(ii)

 y-5          2

(i) নং সমীকণ হতে পাই,

4(y+1)=5(x+1)

বা,  4y+4=5x+5

বা,  5x-4y=4-5

বা,  5x-4y=-1………(iii)

(ii) নং সমীকণ হতে পাই,

2(x-5)=1(y-5)

বা,  2x-10=y-5

বা,  2x-y=-5+10

বা,  2x-y=5…….(iv)

এখন (iv) নং কে 4 দ্বারা গুণ করে (iii) নং হতে বিয়োগ করি,

5x-4y=-1

8x-4y=20

-------------

(-) -3x=-21

বা,  3x=21

বা,  x=21/3

বা,  x=7

x এর মান (iv) নং এ বসিয়ে পাই,

2.7-y=5

বা, 14-y=5

বা,  -y=5-14

বা,  -y=-9

বা,  y=9

                      7

∴ভগ্নাংশটি= -------

                      9

১১. কোনো ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ ও হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি ½ হয়। আর লব থেকে 7 বিয়োগ এবং হর থেকে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটি 1/3 হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

ভগ্নাংশটির লব=x এবং হর=y

                      x

∴ভগ্নাংশটি= -------

                      y

১ম শর্তমতে,

 x-1        1

------ = ------ ….(i)

 y+2        2

আবার, ২য় শর্তমতে,

 x-7          1

------- = ----- ….(ii)

 y-2          3

(i) নং সমীকণ হতে পাই,

2(x-1)=1(y+2)

বা,  2x-2=y+2

বা,  2x-y=2+2

বা,  2x-y=4………….(iii)

(ii) নং সমীকণ হতে পাই,

3(x-7)=1(y-2)

বা,  3x-21=y-2

বা,  3x-y=-2+21

বা,  3x-y=19…………(iv)

(ii) নং থেকে (iv) নং বিয়োগ করে পাই,

-x=-15

বা,  x=15

x এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

2.15-y=4

বা,  30-y=4

বা,  -y=4-30

বা,  -y=-26

বা,  y=26

                      15

∴ভগ্নাংশটি= -------

                      26

১২. দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ অপেক্ষা 1 বেশি। কিন্তু অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির আটগুণের সমান। সংখ্যাটি কত?

সমাধানঃ

মনে করি, দশক স্থানীয় অঙ্ক=x

এবং একক স্থানীয় অঙ্ক=y

∴সংখ্যাটি=10x+y

১ম শর্তানুসারে,

y=3x+1…………….(i)

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে প্রাপ্ত সংক্লহ্যাটি 10y+x

২য় শর্তানুসারে,

10y+x=8(x+y)…………………(ii)

(i)  নং থেকে y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

10(3x+1)+x=8(x+3x+1)

বা,  30x+10+x=8(4x+1)

বা,  31x+10=32x+8

বা,  31x-32x=8-10

বা,  -x=-2

বা,  x=2

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y=3.2+1=6+1=7

∴সংখ্যাটি=10x+y=10.2+7=27

১৩. দুই অঙ্কবিশীষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তর 4। সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তার ও মূল সংখ্যাটির যোগফল 110। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক=x

এবং একক স্থানীয় অঙ্ক=y

∴সংখ্যাটি=10x+y

১ম শর্ত মতে,

x-y=±4 [যেহেতু কোন অঙ্কটি বড় তা অজানা]…………(i)

২য় শর্ত মতে,

10x+y+10y+x=110……….(ii)

বা,  11x+11y=110

বা,  11(x+y)=110

বা,  x+y=10………….(iii)

(i)+(iii) করে পাই,

2x=±4+10

বা,  2x=4+10 অথবা, 2x=-4+10

বা,  2x=14        বা,  2x=6

বা,  x=7            বা,  x=3

x এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

7+y=10           অথবা, 3+y=10

বা,  y=10-7      বা,  y=10-3

বা,  y=3            বা,  y=7

সংখ্যাটি=10x+y=10.7+3=73 অথবা, 10.3+7=37

১৪. মাতার বর্তমান বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির চারগুণ। 5 বছর পর মাতার বয়স ঐ দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধানঃ

মনে করি, মাতার বর্তমান বয়স x বছর

এবং দুই কন্যার বর্তমান বয়সের সমষ্টি y বছর।

১ম শর্ত মতে,

x=4y……….(i)

২য় শর্ত মতে,

x+5=2(y+5*2)

বা,  x+5=2y+20

বা,  4y+5=2y+20 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

বা,  4y-2y=20-5

বা,  2y=15

বা,  y=15/2

∴মাতার বর্তমান বয়স=4.(15/2)=30 বছর।

১৫. একটি আয়তাক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 5 মিটার কম ও প্রস্থ 3 মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 9 বর্গমিটার কম হবে। আবার দৈর্ঘ্য 3 মিটার বেশি ও প্রস্থ 2 মিটার বেশি হলে ক্ষেত্রফল 67 বর্গমিটার বেশি হবে। ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x মিটার

এবং প্রস্থ y মিটার।

১ম শর্তমতে,

(x-5)(y+3)=xy-9

বা,  xy-5y+3x-15=xy-9

বা,  xy-5y+3x-15-xy+9=0

বা,  3x-5y-6=0

বা,  3x-5y=6………..(i)

২য় শর্তমতে,

(x+3)(y+2)=xy+67

বা,  xy+3y+2x+6-xy-67=0

বা,  2x+3y-61=0

বা,  2x+3y=61…………(ii)

(i) কে 2 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

6x-10y=12

6x+9y=183

---------------------

(-) 19y=-171

বা,  19y=171

বা,  y=171/19

বা,  y=9

y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

3x-5.9=6

বা,  3x-45=6

বা,  3x=6+45

বা,  3x=51

বা,  x=51/3

বা,  x=17

∴আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 17 মিটার

এবং প্রস্থ 9 মিটার।

১৬. একটি নৌকা দাঁড় বেয়ে স্রোতের অনুকুলে ঘন্টায় 15 কিমি যায় এবং স্রোতের প্রতিকূলে যায় 5 কিমি। নৌকার বেগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,
নৌকার বেগ ঘন্টায় x কিমি
এবং স্রোতের বেগ ঘন্টায় y কিমি
১ম শর্ত মতে,
x+y=15………….(i)
২য় শর্তমতে,
x-y=5…………..(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2x=20
বা,  x=10
∴ নৌকার বেগ ঘন্টায় 10 কিমি

১৭. একজন গার্মেন্টস শ্রমিক মাসিক বেতনে চাকরি করেন। প্রতিবছর শেষে একটি নির্দিষ্ট বেতনবৃদ্ধি পায়। তাঁর মাসিক বেতন 4 বছর পর 4500 টাকা ও 8 বছর পর 5000 টাকা হয়। তাঁর চাকরি শুরুর বেতন ও বার্ষিক বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ 

মনে করি,
গার্মেন্টস শ্রমিকের মাসিক বেতন x টাকা এবং বার্ষিক বেতন বৃদ্ধি y টাকা।
১ম শর্তমতে,
x+4y=4500……….(i)
২য় শর্তমতে,
x+8y=5000………..(i)
(i)-(ii) করে পাই,
-4y=-500
বা,  4y=500
বা,  y=500/4
বা,  y=125
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
x+4.125=4500
বা,  x+500=4500
বা,  x=4500-500
বা,  x=4000
∴ গার্মেন্টস শ্রমিকের মাসিক বেতন 4000 টাকা এবং বার্ষিক বেতন বৃদ্ধি 125 টাকা।

১৮. একটি সরল সমীকণজোট x+y=10, 3x-2y=0

ক) দেখাও যে, সমীকরণজোটটি সমঞ্জস। এর কয়টি সমাধান আছে?

সমাধানঃ

x+y=10………..(i)
3x-2y=0……….(ii)
x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত=1/3
y এর সহগদ্বয়ের অনুপাত=1/2
∴1/3≠1/2
∴ সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ। এর সমাধান আছে মাত্র একটি।

খ) সমীকরণজোটটি সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সমীকরণ (i) থেকে পাই,
x=10-y……(iii)
এই মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
3(10-y)-2y=0
বা,  30-3y-2y=0
বা,  30-5y=0
বা,  -5y=-30
বা,  5y=30
বা,  y=30/5
বা,  y=6
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=10-6
বা,  x=4
∴  (x,y)=(4,6)

গ) সমীকরণদ্বয় দ্বারা নির্দেশিত সরলরেখাদ্বয় x অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

x+y=10……..(i)
3x-2y=0………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
y=10-x
y=10-x
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	1	5	4
y	9	5	6

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (1,9), (4,6), (5,5)
এবং (ii) নং হতে পাই,
-2y=-3x
বা, 2y=3x
বা, y=3x/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	2	4	8
y	3	6	10

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (2,3), (4,6), (8,10)
এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (1,9), (4,6), (5,5) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (2,3), (4,6), (8,10) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (4,6)।
সরলরেখাদ্বয় x অক্ষের সাথে POB ত্রিভুজ গঠন করে।
△POB এ
ভূমি OB=10 একক
উচতা PD=6 একক
△POB এর ক্ষেত্রফল=½✕10✕6 =30 বর্গ একক।

১৯. কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 2 হয়। আবার হর হতে 2 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান পূর্ণসংখ্যা 1 হয়।

ক) ভগ্নাংশটি x/y ধরে সমীকরণজোট গঠন কর।

সমাধানঃ

যেহেতু ভগ্নাংশটি ধরা হয়েছে x/y

১ম শর্তমতে,

x+7

------ = 2

 y

বা,  x+7=2y

বা,  x-2y+7=0

২য় শর্তমতে,

   x

------ = 1

 y-2

বা,  x=y-2

বা,  x-y+2=0

সুতরাং, সমীকরণজোট হলোঃ x-2y+7=0, x-y+2=0

খ) সমীকরণজোটটি আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান করে (x,y) নির্ণয় কর। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

x-2y+7=0………(i)

x-y+2=0………..(ii)

(i) ও (ii) নং কে আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

           x                         y

------------------- = ----------------

(-2)✕2-(-1)✕7          7✕1-1✕2

                                        1

                              = --------------------

                                  1✕(-1)-1✕(-2)

        x                 y                1

বা, --------- = ---------- = -----------

      -4+7           7-2            -1+2

        x                 y                1

বা, --------- = ---------- = -----------

        3                 5                1

বা, x/3=1         অথবা, y/5=1

বা, x=3             বা, y=5

∴ নির্ণেয় সমাধান (x,y)=(3,5)

এবং ভগ্নাংশটি হলোঃ 3/5

গ) সমীকরণ জোটটির লেখ অঙ্কন করে (x,y) এর প্রাপ্ত মানের সত্যতা যাচাই কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই,
x-2y+7=0………(i)
x-y+2=0………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
-2y=-7-x
বা, 2y=x+7
বা, y=(x+7)/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-3	3	5
y	2	5	6

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-3,2), (3,5), (5,6)
এবং (ii) নং হতে পাই,
-y=-2-x
বা, y=x+2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-3	2	5
y	-1	4	7

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-3,-1), (2,4), (5,7)
এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-3,2), (3,5), (5,6) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-3,-1), (2,4), (5,7) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (3,5)।
∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(3,5)
∴খ হতে প্রাপ্ত মান সঠিক [যাচাই করা হলো]

২০. দুইটি বহুভূজের বাহু সংখ্যা 17 এবং এদের কর্ণের সংখ্যা 53 হলে প্রত্যেক বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধানঃ

আমরা জানি,

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে,

                        n(n-3)

কর্ণের সংখ্যা=------------

                           2

ধরি, ১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা x

এবং ২ বহুভূজের বাহুর সংখ্যা y (x>y)

                                           x(x-3)

১ম বহুভূজের কর্ণের সংখ্যা=--------

                                              2

                                            y(y-3)

২য় বহুভূজের কর্ণের সংখ্যা=---------

                                               2

শর্তমতে,

x+y=17…………….(i)

 x(x-3)         y(y-3)

--------- + --------- =53 ……(ii)

    2               2

বা, x(x-3)+y(y-3)=53✕2

বা, x²-3x+y²-3y=106

বা, x²+y²-3(x+y)=106

বা, x²+y²-3.17=106

বা, x²+y²-51=106

বা, x²+y²=106+51

বা, x²+y²=157………….(iii)

বা, (x+y)²-2xy=157

বা, (17)²-2xy=157

বা, 289-2xy=157

বা, 289-157=2xy

বা, 2xy=132

বা, xy=66

আবার,

x²+y²=157

বা, (x-y)²+2xy=157

বা, (x-y)²+2.66=157

বা, (x-y)²+132=157

বা, (x-y)²=157-132

বা, (x-y)²=25

বা, x-y=5…………..(iv)

(i)+(iv) করে পাই,

2x=22

বা, x=22/2

বা, x=11

x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

11+y=17

বা, y=17-11

বা, y=6

∴ ১ম বহুভূজের বাহুর সংখ্যা 11 টি

২য় বহুভূজের বাহুর সংখ্যা 6 টি

২১. শিক্ষক বললেন একটি কাজ একা বা ছাত্র-ছাত্রীর জুটি করতে পারবে। ছাত্রদের 2/3 এবং ছাত্রীদের 3/5 অংশ জুটি বেধে কাজটি করলো। শ্রেণির কত ভাগ ছাত্র-ছাত্রী একা কাজটি করলো?

সমাধানঃ
ধরি, ছাত্র সংখ্যা x ও ছাত্রী সংখ্যা y
জুটি করে কাজ করা ছাত্র সংখ্যা	=	2x -- 3
জুটি করে কাজ করা ছাত্রী সংখ্যা	=	3y -- 5
একা কাজ করা ছাত্র সংখ্যা	=	x	-	2x -- 3	=	x -- 3
একা কাজ করা ছাত্রী সংখ্যা	=	y	-	3y -- 5	=	2y -- 5
শর্ত অনুসারে পাই,	2x -- 3	=	3y -- 5
বা,	x	=	9y ---   …...(i) 10
মোট একা করল  =	x -- 3	+	2y -- 5
=	1    9y --✕-- 3   10		+	2y -- 5	[(i) হতে]
=	3y -- 10	+	2y -- 5
=	3y+4y --------- 10
=	7y --------- 10
মোট শিক্ষার্থী =	x	+	y
=	9y -- 10	+	y
=	9y+10y ------------ 10
=	19y ----- 10
∴ নির্ণেয় অনুপাত	7y -- 10 -- 19y -- 10	=	7 -- 10

২২. 100 ও 200  মিটার দীর্ঘ দুইটি ট্রেন সমবেগে সামনা সামনি অতিক্রম করতে 5 সেকেন্ড সময় লাগে কিন্তু একি দিকে চললে অতিক্রম করতে 15 সেকেন্ড সময় লাগে। ট্রেন দুইটির বেগ নির্ণয় কর

সমাধানঃ 

ধরি, 100 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ V_x কিমি/সেকেন্ড এবং 200 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ V_y কিমি/সেকেন্ড
প্রশ্নমতে,

5(V_x+V_y)=300
বা, V_x+V_y=300/5
বা, V_x+V_y=60………(i)
এবং,
15(V_x-V_y)=300
বা, V_x-V_y=300/15
বা, V_x-V_y=20……..(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
2V_x=80
বা, V_x=80/2
বা, V_x=40
(i)-(ii) করে পাই,
2V_y=40
বা, V_y=40/2
বা, V_y=20
∴100 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ 40 কিমি/সেকেন্ড এবং 200 মিটার দৈর্ঘ্যের ট্রেনের বেগ 20 কিমি/সেকেন্ড

২৩. কমপক্ষে কতগুলো ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তাঁর গুণফল অবশ্যই 5040 দ্বারা বিভজ্য হবে?

সমাধানঃ 

2)5040
 ----------
  2)2520
 ----------
   2)1260
  -------------
    2)630
  -------------
     3)315
  -------------
       3)105
    -------------
         5)35
       -------------
              7

∴ 5040

=2✕2✕2✕2✕3✕3✕5✕7
=1✕2✕2✕2✕2✕3✕3✕5✕7
=1✕2✕3✕(2✕2)✕5✕(2✕3)✕7
=1✕2✕3✕4✕5✕6✕7
1 থেকে 7 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যা 7টি।
∴ কমপক্ষে 7টি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নিলে তাঁর গুণফল অবশ্যই 5040 দ্বারা বিভজ্য হবে।

২৪. ঘড়ির ঘন্টা এবং মিনিটের কাঁটা পরস্পরের সঙ্গে 30 ডিগ্রি কোণ করে কত বার ঘোরে? সময়গুলো নির্ণয় কর।

সমাধানঃ  

12 ঘন্টার মধ্যে ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা 30⁰ কোণ উৎপন্ন করে 22 বার।
তাহলে, 24 ঘন্টার মধ্যে ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা 30⁰ কোণ উৎপন্ন করে 44 বার।

 সময়গুলো নিন্মরুপঃ

12	:	05	5 -- 11
1	:	00
1	:	10	10 -- 11
2	:	5	5 -- 11
2	:	16	4 -- 11
3	:	10	10 -- 11
3	:	21	9 -- 11
4	:	16	4 -- 11
4	:	27	3 -- 11
5	:	21	9 -- 11
5	:	32	8 -- 11
6	:	27	3 -- 11
6	:	37	2 -- 11
7	:	32	8 -- 11
7	:	43	7 -- 11
8	:	38	2 -- 11
8	:	49	1 -- 11
9	:	43	7 -- 11
9	:	54	6 -- 11
10	:	49	1 -- 11
11	:	00
11	:	54	6 -- 11