নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১৩.২ - গুণোত্তর ধারা

 

গুণোত্তর ধারাঃ

১. a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

             c+d

ক) b= ----------

                2

             b+c

খ) a= ----------

                2

             b+d

গ) c= ----------

                2

             a+c

ঘ) d= ----------

                2

উত্তরঃ গ

২. n ∈ N এর জন্য

            n²+n

(i) Σi=---------

                2

               1

(ii) Σi² =----- n(n+1)(n+2)

            6

             n²(n²+2n+1)

(iii) Σi³ =------------------

                 4

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii   গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

নিচের ধারাটির ভিত্তিতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

log2+log4+log8+……..

৩. ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?

ক) 2   খ) 4   গ) log2   ঘ) 2log2

উত্তরঃ গ

৪. ধারাটির সপ্তম পদ কোনটি?

ক) log32   খ) log64   গ) log128   ঘ) log256

উত্তরঃ গ

৫. 64+32+16+8+……….ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=64

সাধারণ অনুপাত r

   32

=------

    64

   1

=----

    2

ধারাটির অষ্টম পদ

= ar^8-1

=64.( ½)⁷

    64

=------

    2⁷

    64

=-------

    128

     1

=------

     2

৬. 3+9+27+……….ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=3

সাধারণ অনুপাত r=9/3=3

এবং পদ সংখ্যা n=14

যেহেতু সাধারণ অনুপাত, 3>1

সমষ্টি S

    a(rⁿ-1)

=----------

      r-1

    3(3¹⁴-1)

=----------

      3-1

    3(4782969-1)

=-------------------

           2

    3✕4782968

=-----------------

           2

=7174452

৭. 128+64+32+…… ধারাটির কোন পদ ½

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এখানে, প্রথম পদ a= 128

সাধারণ অনুপাত r=64/128=½

প্রশ্নমতে,

ar^n-1=½

বা, 128.( ½)^n-1=½

                       1

বা, (½)^n-1=------------

                   2✕128

        1                1

বা, -------- = ----------

      2^n-1            256

        1                1

বা, -------- = ----------

      2^n-1              2⁸

বা, n-1=8

বা, n=8+1

বা, n=9

∴ ধারাটির নবম পদ ½

৮. একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 2√3/9 এবং দশম পদ 8√2/81 হলে, ধারাটির তৃতীয় প্দ কত?

সমাধানঃ

মনে করি, গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ = a

এবং সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, পঞ্চম পদ= ar^5-1=ar⁴

এবং দশম পদ= ar^10-1=ar⁹

∴	ar9	=	8√2 ---- 81	……..(i)
	ar4	=	2√3 ----- 9	………(ii)
∴	ar9 --- ar4	=	8√2 ---- 81 -------- 2√3 ----- 9
বা,	r5	=	8√2      9    -----✕------    81       2√3
বা,	r5	=	4√2 ------- 9√3
বা,	r5		(√2)4. √2 ------------ (√3)4. √3
বা,	r5		(√2)5 ------- (√3)5
বা,	r	=	√2 ----- √3
r এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
	(√2)4 a-------- (√3)4	=	2√3 ----- 9
বা,	4 a-------- 9	=	2√3 ----- 9
বা,	a.4	=	2√3
বা,	a	=	2√3 ----- 4
বা,	a	=	√3 ---- 2
∴ধারাটির তৃতীয় পদ
=	ar3-1
=	ar2
=	√3  (√2)2 ----.------  2    (√3)2
=	√3   2 ----.----  2    3
=	√3 -------- √3. √3
=	1 ------- √3

৯. (1/√2)-1+√2- ……….. ধারাটির কোন পদ 8√2?

সমাধানঃ

ধরি, ধারাটির n তম পদ=8√2

                  1

প্রথম পদ, a=---------

                 √2

সাধারণ অনুপাত, r=-√2

প্রশ্নমতে,

ar^n-1=8√2

     1

বা, ------.(-√2)^n-1=8√2

    √2

বা, (-√2)^n-1=8√2✕√2

বা, (-√2)^n-1=8✕2

বা, (-√2)^n-1=16

      (-√2)ⁿ

বা, ----------- = 16

       -√2

বা, (-√2)ⁿ=16✕(-√2)

বা, (-√2)ⁿ=(-√2)⁹

বা, n=9

∴ধারাটির নবম পদ 8√2

১০. 5+x+y+135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a = 5

মনে করি, সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, দ্বিতীয় পদ, ar^2-1=ar=x

তৃতীয় পদ, ar^3-1=ar²=y

এবং, চতুর্থ পদ, ar^4-1=135

বা,  ar³=135

বা,  5.r³=135

বা,  r³=135/5

বা,  r³=27

বা,  r³=3³

বা,  r=3

তাহলে, দ্বিতীয় পদ, ar=5.3=15

তৃতীয় পদ, ar²=5.3²=5.9=45

১১.  3+x+y+z+243  গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x, y এবং z এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a=3

মনে করি, সাধারণ অনুপাত = r

তাহলে, দ্বিতীয় পদ ar=x

তৃতীয় পদ ar²=y

চতুর্থ পদ ar³=z

এবং পঞ্চম পদ ar⁴=243

বা,  3.r⁴=243

বা,  r⁴=243/3

বা,  r⁴=81

বা,  r⁴=3⁴

বা,  r=3

তাহলে, দ্বিতীয় পদ ar=x=3.3=9

তৃতীয় পদ ar²=y=3.3²=3.9=27

চতুর্থ পদ ar³=z=3.3³=3.27=81

১২. 2-4+8-16+…….. ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=2

সাধারণ অনুপাত, r=-4/2=-2

পদসংখ্যা n=7

যেহেতু সাধারণ অনুপাত -2<1,

∴সমষ্টি S

    (1-rⁿ)

a.---------

     1-r

       1-(-2)⁷

=2.----------

       1-(-2)

       1+128

=2.----------

        1+2

       129

=2.--------

         3

=86

∴ ধারাটির প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি 86

১৩. 1-1+1-1+………ধারাটির  (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এখানে, প্রথম পদ, a=1

সাধারণ অন্তর, r=-1/1=-1

পদ সংখ্যা q= 2n+1

যেহেতু সাধারণ অনুপত -1<1,

সুতরাং, সমষ্ট S

a(1-r^q)

---------

  1-r

   1.{1-(-1)²ⁿ⁺¹}

=----------------

      1-(-1)

   1-(-1)

=---------

    1+1

    1+1

=---------

    1+1

    2

=------

    2

=1

∴ধারাটির  (2n+1) সংখ্যক পদের সমষ্টি 1

১৪. log2+log4+log8+………ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

ধারাটির সমষ্টি=S

তাহলে,

S= log2+log4+log8+………+দশম পদ

=log2¹+log2²+log2³+…………+log2¹⁰

=log2[1+2+3+…..+10]

=[1+2+3+….+10] ✕log2

   10(10+1)

=------------✕log2

     2

                    n(n+1)

[1+2+3…n=-------------]

                        2

=5(10+1) ✕log2

=5✕11✕log2

=55log2

১৫. log2+log16+log512+………..ধারাটির প্রথম বারটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

ধারাটির বারটি পদের সমষ্টি

=log2+log16+log512+………..+12 তম পদ

=log2+log2⁴+log2⁹+……….+ 12 তম পদ

=1log2+4log2+9log2+……..+12 তম পদ

=(1+4+9+………..12 তম পদ)✕log2

=(1²+2²+3³+…….12²) ✕log2

   12(12+1)(2✕12+1)

=-------------------------✕log2

                6

=(2✕13+25)log2

=650log2

১৬. 2+4+8+16+…….ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 254 হলে, n এর মান কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর ১ম পদ a=2

সাধারণ অন্তর r=4/2=2

এবং n তম পদের সমষ্টি = 254

a(rⁿ-1)

--------- = 254

  r-1

বা,  a(rⁿ-1)=254(r-1)

বা,  2.(2ⁿ-1)=254(2-1)

বা,  2(2ⁿ-1))=254

বা,  (2ⁿ-1)=254/2

বা,  (2ⁿ-1)=127

বা,  2ⁿ=127+1

বা,  2ⁿ=128

বা,  2ⁿ=2⁷

বা,  n=7

১৭. 2-2+2-2+……ধারাটির (2n+2) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কত?

সমাধানঃ

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা,

এর প্রথম পদ a=2

সাধারণ অনুপাত r=-2/2=-1

পদ সংখ্যা = 2n+2

যেহেতু -1 < 1

আমরা জানি, পদ সংখ্যা n হলে সমষ্টি

   a(1-rⁿ)

=---------

    1-r

∴পদসংখ্যা (2n+2) এর ক্ষেত্রে সমষ্টি

   2{1-(-1)²ⁿ⁺²}

=----------------

      1+1

[এখানে 2n+2 জোড় সংখ্যা]

   2(1-1)

=---------

      2

     0

=------

    2

=0

∴ ধারাটির (2n+2) সংখ্যক পদের সমষ্টি 0

১৮. প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে, n এর মান কত? ঐ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি ={n(n+1)/2}²

প্রশ্নমতে,

{n(n+1)/2}²=441

বা,  {n(n+1)/2}²=21²

      n(n+1)

বা, ------------ = 21

          2

বা,  n(n+1)=42

বা,  n²+n=42

বা,  n²+n-42=0

বা,  n²+7n-6n-42=0

বা,  n(n+7)-6(n+7)=0

বা,  (n-6)(n+7)=0

বা,  n-6=0        অথবা, n+7=0

বা,  n=6           বা,  n=-7

ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।

∴ n=6

এখন n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি

   n(n+1)

=-----------

       2

    6(6+1)

=-----------

       2

=3✕7

=21

১৯. প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 225 হলে, n এর মান কত? ঐ সংখ্যাগুলোর বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধানঃ

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি ={n(n+1)/2}²

প্রশ্নমতে,

{n(n+1)/2}²=225

বা,  {n(n+1)/2}²=15²

বা,  {n(n+1)/2}=15

বা,  n(n+1)=30

বা,  n²+n-30=0

বা,  n²+6n-5n-30=0

বা,  n(n+6)-5(n+6)=0

বা,  (n-5)(n+6)=0

বা,  n-5=0        অথবা, n+6=0

বা,  n=5           বা,  n=-6

ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।

∴ n=5

এখন, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি

n(n+1)(2n+1)

------------------

          6

   5(5+1)(2.5+1)

=-------------------

          6

    5✕6(10+1)

=------------------

          6

    5✕6✕11

=---------------

          6

=55

২০. দেখাও যে, 1³+2³+3³+………+10³=(1+2+3+…..+10)²

সমাধানঃ

LHS=1³+2³+3³+………+10³

এখানে, পদ সংখ্যা = n

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি

={n(n+1)/2}²

={10(10+1)/2}²

 ={5(10+1)}²

=(5✕11)²

=(55)²

=3025

আবার,

RHS=(1+2+3+…..+10)²

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি

   n(n+1)

=-----------

      2

অর্থাৎ,

1+2+3+4+….+n

   n(n+1)

=-----------

      2

∴ 1+2+3+4+….+10

   10(10+1)

=-------------

       2

=5✕11

=55

তাহলে,

(1+2+3+4+….+10)²

=(55)²

=3025

∴ LHS=RSH [Proved]

      1³+2³+3³+….+n³

২১. -------------------- 

       1+2+3+……..+n

= 210 হলে n এর মান কত?

প্রদত্ত সমীকরণ,

1³+2³+3³+….+n³

-------------------- = 210

1+2+3+……..+n

     {n(n+1)/2}²

বা, ----------------- = 210

      {n(n+1)}/2

      {n²(n+1)²}/4

বা, ----------------- = 210

       {n(n+1)}/2

      n²(n+1)²         2

বা, ------------✕----------- = 210

           4               n(n+1)

      n(n+1)

বা, ----------- = 210

         2

বা,  n(n+1)=420

বা,  n²+n-420=0

বা,  n²+21n-20n-420=0

বা,  n(n+21)-20(n+21)=0

বা,  (n-20)(n+21)=0

বা,  n-20=0      অথবা, n+21=0

বা,  n=20         বা,  n=-21

ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ n=20

২২. 1 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি লৌহ দন্ডকে 10 টি টুকরার বিভক্ত করা হলো যাতে টুকরাগুলোর দৈর্ঘ্য গুণোত্তর ধারা গঠন করে। যদি বৃহত্তম টুকরাটি ক্ষুদ্রতম টুকরার 10 গুণ হয়, তব্র ক্ষুদ্রতম টুকরাটির দৈর্ঘ্যের মান আসন্ন মিলিমিটারে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, লোহার দণ্ডের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য s=1 মিটার = 1000 মিলিমিটার

ধরি, প্রথম টুকরার দৈর্ঘ্য = a

দশম টুকরার দৈর্ঘ্য = ar⁹, যেখানে r সাধারণ অনুপাত।

প্রশ্নমতে,

ar⁹=10a

বা,  r⁹=10

বা,  r=10^1/9

বা,  r=1.2915

দশ পদের সমষ্টি

      a(r¹⁰-1)

S=---------- [r>1]

        r-1

প্রশ্নমতে,

            a(r¹⁰-1)

1000=----------

             r-1

বা,  1000(r-1)=a(r¹⁰-1)

বা,  1000(1.2915-1)=a{(1.2915)¹⁰-1}

বা,  1000✕.2915=a(12.915-1)

বা,  291.5=a✕11.915

বা,  a=291.5/11.915

বা,  a=24.4649 (প্রায়)

ক্ষুদ্রতম টুকরাটির দৈর্ঘ্য 24.4649 মিলিমিটার।

২৩. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r, ধারাটির চতুর্থ পদ -2 এবং নবম পদ 8√2

ক) উপরোক্ত অথ্যগুলোকে দুইটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a

এবং সাধারণ অনুপাত = r

সুতরাং, ৪র্থ পদ=ar^4-1=ar³

এবং ৯ম পদ=ar^9-1=ar⁸

প্রশ্নমতে,

ar³=-2…………(i)

ar⁸=8√2……..(ii)

খ) ধারাটির 12 তম পদ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

(ii) নং কে (i) দ্বারা ভাগ করে পাই,

ar⁸/ar³=8√2/-2

বা,  r⁵=-4√2

বা,  r⁵=-{(√2)⁴. √2}

বা,  r⁵=-(√2)⁵

বা,  r=-√2

r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

a(-√2)³=-2

বা,  a.(- √2).(- √2).(- √2)=- √2. √2

বা,  -a. √2. √2. √2=-√2. √2

বা,  -a. √2=-1

বা,  a. √2=1

           1

বা,  a=-------

           √2

∴ধারাটির 12 তম পদ

=ar^12-1

=ar¹¹

      1

=--------.(-√2)¹¹

    √2

   -√2¹¹

=---------

    √2

=-√2^11-1

=-√2¹⁰

=-32

গ) ধারাটি নির্ণয় করে প্রথম 7 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

খ হতে পাই,

ধারাটির ১ম পদ=1/√2

সাধারণ অনুপাত, r=-√2

∴নির্ণেয় ধারাটি

 1        1                    1

-----+------(-√2)+-----(- √2)²+………

√2    √2             √2

     1

=------ -1 + √2 - ………

    √2

∴ধারাটির 7টি পদের সমষ্টি

      (1-r⁷)

=a----------; r<1

      1-r

     1          {1-(-√2)⁷}

=-----✕---------------

   √2      1-(-√2)

      1+√2⁷

=---------------

    √2(1+√2)

২৪. কোন ধারার n তম পদ 2n-4

ক) ধারাটি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ধারার n তম পদ 2n-4

এখন, n=1, 2, 3 ………….বসিয়ে ধারাটি নির্ণয় করা হলো-

অর্থাৎ, n=1 হলে, 2n-4=2.1-4=-2

n=2 হলে, 2.2-4=4-4=0

n=3 হলে, 2.3-4=6-4=2

n=4 হলে, 2.4-4=8-4=4

সুতরাং ধারাটি হলোঃ -2+0+2+4+………….এটি একটি সমান্তর ধারা।

খ) ধারাটির 10 তম পদ এবং 20 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, সমান্তর ধারার প্প্রথম পদ a=-2

এবং সাধারণ অন্তর d=0-(-2)=2

∴ 10 তম পদ

=a+(10-1)d

=-2+9d

=-2+9✕2

=-2+18

=16

এবং 20 টি পদের সমষ্টি

   20

=-------{2a+(20-1)d}

     2

=10{2a+19✕2}

=10{2.(-2)+38}

=10(-4+38)

=10✕34

=340

গ) প্রাপ্ত ধারাটির প্রথম পদকে প্রথম পদ এবং সাধারণ অন্তরকে সাধারণ অনুপাত ধরে একটি নতুন ধারা তৈরি কর এবং সূত্র প্রয়োগ করে ধারাটির প্রথম 8 টি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রাপ্ত ধারাটির প্রথম পদ a=-2

এবং সাধারণ অন্তর = সাধারণ অনুপাত = r = 2

তাহলে, ২য় পদ = ar^2-1=ar=-2✕2=-4

৩য় পদ = ar^3-1=ar²=-2✕ (2)²=-2✕4=-8

∴ ধারাটি -2-4-8-…………………

ধারাটির 8 পদের সমষ্টি

    a(r⁸-1)

=----------

     r-1

   -2(2⁸-1)

=------------

     2-1

=-2(256-1)

=-2✕255

=-510

২৫. দুপুর 1 টা 15 মিনিটে 1 জন এস,এসসি পরীক্ষার ফলাফল জানতে পারল। 1 টা 20 মিনিটে জানল 8 জন, 1 টা 25 মিনিটে জানল 27 জন। এভাবে ফলাফল ছড়িয়ে পড়ল।

ক) উদ্দীপকের আলোকে প্যাটার্ন দুইটি লিখ।

সমাধানঃ

১ম ক্ষেত্রে প্যাটার্ণ হবে

1 টা 15 মিনিট, 1 টা 20 মিনিট, 1 টা 25 মিনিট

২য় ক্ষেত্রে প্যাটার্ণ হবে

1, 8, 27, ………….

খ) ঠিক 2 টা 10 মিনিটে কত জন এবং 2 টা 10 মিনিট পর্যন্ত কত জন ফলাফল জানতে পারবে?

সমাধানঃ

1 টা 15 মিনিট, 1 টা 20 মিনিট, 1 টা 25 মিনিট

এক্ষেত্রে সাধারণ অন্তর = 1 টা 20 মিনিট-1 টা 15 মিনিট=5 মিনিট

1 টা 15 মিনিট থেকে 2 টা 10 মিনিট পর্যন্ত প্যাটার্ণের পদসংখ্যা = 12

এখন রেজাল্ট জানতে পারা শিক্ষার্থীদের ধারা,

1+8+27+……….=1³+2³+3³+…………..

তাহলে, ধারাটির 12 তম পদ = 12³ =1728

∴ 2 টা 10 মিনিটে 1728 জন জন ফলাফল জানতে পারবে।

এখন 12 টি পদের ঘনের সমষ্টি

={n(n+1)/2}²

={12(12+1)/2}²

={6(12+1)}²

=(6✕13)²

=(78)²

=6084

∴ 2 টা 10 মিনিট পর্যন্ত ফলাফল জানতে পারবে 6084 জন।

গ) কয়টার সময় 6175225 জন ফলাফল জানতে পারবে?

সমাধানঃ

মনে করি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি 6175225

এখন, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্রানুসারে,

{n(n+1)/2}²=6175225

বা,  n(n+1)/2=2485 [বর্গমূল করে]

বা,  n(n+1)=4970

বা,  n²+n-4970=0

বা,  n²+71n-70n-4970=0

বা,  n(n+71)-70(n+71)=0

বা,  (n-70)(n+71)=0

বা,  n-70=0      অথবা, n+71=0

বা,  n=70         বা,  n=-71

∴ n=70

১ম প্যাটার্ণের জন্য n=70 তম পদের সময়ের পার্থক্য

=70✕5 মিনিট

=350 মিনিট

=5 ঘন্টা 50 মিনিট

∴6175225 জন ফলাফল জানতে পারবে,

1 টা 15 মিনিট+5 ঘন্টা 50 মিনিট-5 মিনিট

=7টা