নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১১.২ - ধারাবাহিক অনুপাত

 

ধারাবাহিক অনুপাতঃ

১. a, b, c ক্রমিক সমানুপাতিক হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) a²=bc   খ) b²=ac

গ) ab=bc   ঘ) a=b=c

উত্তরঃ খ

২. আরিফ ও আকিবের বয়সের অনুপাত 5 : 3 আরিফের বয়স 20 বছর হলে, কত বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 7 : 5 হবে?

ক) 5 বছর   খ) 6 বছর

গ) 8 বছর   ঘ) 10 বছর

উত্তরঃ গ

৩. একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক) 2 গুণ  খ) 4 গুণ

গ) 8 গুণ   ঘ) 6 গুণ

উত্তরঃ 3 গুণ

[বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য x হলে এর ক্ষেত্রফল x² বর্গ একক। এখন বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুন বা 2x হলে ক্ষেত্রফল হয় (2x)²=4x² বর্গ একক। । ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়=4x²-x²=3x² বর্গ একক যা x² এর তিনগুণ।

৪. x : y = 7 : 5, y : z = 5 : 7 হলে x : z = কত?

ক) 35 : 49   খ) 35 : 35

গ) 25 : 49    ঘ) 49 : 25

উত্তরঃ খ

৫. b, a, c ক্রমিক সমানুপাতিক হলে-

(i) a²=bc

(ii) b/a=c/a

        a+b         c+a

(iii) -------- = -------

         a-b          c-a

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i      খ) i ও ii

গ) i ও iii    ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ গ

৬. x : y = 2 : 1 এবং y : z = 2 : 1 হলে

(i) x, y, z  ক্রমিক সমানুপাতিক

(ii) z : x =1 : 4

(iii) y²=zx=4yz

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii

গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

৭.	a -- x	=	m2+n2 ------- 2mn	হলে,	√(a+x) -------- √(a-x)	=	কত?
ক)	m -- n	খ)	m+n ----- m-n	গ)	m-n ----- m+n	ঘ)	n -- m
উত্তরঃ	খ

একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 36 সেমি এবং বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যর অনুপাত 3 : 4 : 5 হলে, নিচের ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

৮. ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত সেমি?

ক) 5   খ) 9

গ) 12  ঘ) 15

উত্তরঃ ঘ

৯. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

ক) 6   খ) 9

গ) 12  ঘ) 15

উত্তরঃ খ

১০. 1 ঘন সেমি কাঠের ওজন 7 ডেসিগ্রাম। কাঠের ওজন সম আয়তন পানির ওজনের শতকরা কত ভাগ?

সমাধানঃ

আমরা জানি,

1 ঘন সেমি পাণির ওজন = 10 ডেসিগ্রাম

দেওয়া আছে,

1 ঘন সেমি কাঠের ওজন 7 ডেসিগ্রাম

∴কাঠের ওজন সম আয়তন পানির ওজনের শতকরা

       কাঠের ওজন

=---------------------✕100

        পাণির ওজন

        7

=-----------✕100

       10

=70%

১১. ক, খ, গ, ঘ এর মধ্যে 300 টাকা এমনভাবে ভাগ করে দাও যেন, ক এর অংশ : খ এর অংশ = 2 : 3, খ এর অংশ : গ এর অংশ = 1 : 2  এবং গ এর অংশ : ঘ এর অংশ = 3 : 2 হয়।

সমাধানঃ

এখানে,

ক : খ = 2 : 3 = 2 : 3

খ : গ = 1 : 2 = 3 : 6

গ : ঘ = 3 : 2 = 6 : 4

∴ ক : খ : গ = 2 : 3 : 6 : 4

∴ অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল=2+3+6+4=15

এখানে, মোট টাকার পরিমাণ=300 টাকা

∴ ক এর টাকার পরিমাণ=300 টাকা✕(2/15) অংশ=40 টাকা

খ এর টাকার পরিমাণ=300 টাকা✕(3/15) অংশ=60 টাকা

গ এর টাকার পরিমাণ=300 টাকা✕(6/15) অংশ=120 টাকা

ঘ এর টাকার পরিমাণ=300 টাকা✕(4/15) অংশ=80 টাকা।

১২. তিনজন জেলে 690 টি মাছ ধরেছে। তাদের অংশের অনুপাত 2/3; 4/5 এবং 5/6 হলে, কে কয়টি মাছ পেল?

সমাধানঃ
জেলেদের মাছের অংশের অনুপাত
=	2 -- 3	:	4 -- 5	:	5 -- 6
=	20	:	24	:	25
	[প্রত্যেক অনুপাতকে 30দ্বারা গুণ করে]
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল =20+24+25=69
∴১ম জেলে পাবে		=	690 এর	20 -- 69	=200 টি
২য় জেলে পাবে		=	690 এর	24 -- 69	=240 টি
৩য় জেলে পাবে		=	690 এর	25 -- 69	=250 টি

১৩. একটি ত্রিভুজের পরিসীমা 45 সেমি। বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 5 : 7 হলে, প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে,

ত্রিভুজের পরিসীমা 45 সেমি

বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের অনুপাত=3 : 5 : 7

∴ অনুপাতের যোগফল= 3+5+7=15

এখন, ১ম বাহুর পরিমান=45 এর (3/15)=9 সেমি

দ্বিতীয় বাহুর পরিমাণ=45 এর (5/15)=15 সেমি

এবং ৩য় বাহুর পরিমাণ=45 এর (7/15)= 21 সেমি।

১৪. দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7 এবং গসাগু 4 হলে, সংখ্যা দুইটির লসাগু কত?

সমাধানঃ

দুইটি সংখ্যার অনুপাত=5 : 7

ধরি, সংখ্যা দুইটি 5x ও 7x

তাহলে, সংখ্যা দুইটির লসাগু=35x

প্রশ্নমতে,

5x✕7x=4✕35x

বা, 35x²=140x

বা, 35x=140

বা, x=140/35

বা, x=4

∴ লসাগু=35✕4=140

১৫. ক্রিকেট খেলায় সাকিব, মুশফিকুর ও মাশরাফী 171 রান করলো। সাকিব ও মুশফিকুরের এবং মুশফিকুর ও মাশরাফীর রানের অনুপাত 3 : 2 হলে, কে কত রান করেছে?

সমাধানঃ

তিন জনের মোট রান=171

সাকিবের রান : মুশফিকুরের রান=3 : 2 = 9 : 6

মুশফিকুরের রান : মাশরাফীর রান= 3 : 2 = 6 : 4

∴সাকিবের রান : মুশফিকুরের রান : মাশরাফির রান=9 : 6 : 4

মনে করি, সাকিব , মুশফিকুর ও মাশএয়াফির রান যথাক্রমে 9x, 6x এবং 4x

প্রশ্নমতে,

9x+6x+4x=171

বা, 19x=171

বা, x=171/19=9

∴সাকিবের রান=9✕9=81

মুশফিকের রান=6✕9=54

মাশরাফির রান=4✕9=36

১৬. একটি অফিসে 2 জন কর্মকর্তা, 7 জন অফিস সহকারী এবং 3 জন অফিস সহায়ক আছে। একজন অফিস সহায়ক 1 টাকা পেলে একজন অফিস সহকারী পায় 2 টাকা, একজন কর্মকর্তা পায় 4 টাকা। তাদের সকলের মোট বেতন 150000 টাকা হলে, কে কত বেতন পায়?

সমাধানঃ

1 জন অফিস সহায়ক 1 টাকা পেলে একজন অফিস সহকারী পায় 2 টাকা এবং একজন কর্মকর্তা পায় 4 টাকা।

অতএব, অফিস সহায়ক, অফিস সহকারী ও কর্মকর্তার বেতনের অনুপাতঃ 1 : 2 : 4

ধরি, একজন অফিস সহায়ক এর বেতন x টাকা

একজন অফিস সহকারী এর বেতন 2x টাকা

এবং একজন কর্মকর্তা এর বেতন 4x টাকা

প্রশ্নমতে,

4x✕2+2x✕7+x✕3=150000

বা, 8x+14x+3x=150000

বা, 25x=150000

বা, x=150000/25

বা, x=6000

∴একজন অফিস সহায়ক এর বেতন 6000 টাকা

একজন অফিস সহকারী এর বেতন 2✕6000=12000 টাকা

এবং একজন কর্মকর্তা এর বেতন 4✕6000=24000 টাকা

১৭. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাণ 20% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধানঃ

ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a একক

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= a² বর্গ একক

20% বৃদ্ধি পেলে বাহুর দৈর্ঘ্য হয়ঃ

a+a.20%

         20a

=a+---------

         100

           a

=a+---------

           5

     (5a+a)

=------------

          5

        6a

=------------ একক

          5

এবং ক্ষেত্রফল হয়ঃ

        (6a)²

=------------ বর্গ একক

          5²

        36a²

=------------ একক

          25

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়ঃ

        36a²

=------------ - a²

          25

        36a²-25a²

=-----------------

              25

        11a²

=------------ বর্গ একক

          25

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হারঃ

        11a²

  ------------

          25

  -------------✕100%

          a²

        11a²              1

=------------ ✕---------✕100%

          25               a²

=44%

১৮. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ 10% হ্রাস পেলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধানঃ

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x একক ও প্রস্থ y একক

10% বৃদ্ধিতে এর দৈর্ঘ্য হবে

      10x

x+--------

      100

          x

=x+--------

         10

    11x

=------- একক

     10

10% হ্রাসে প্রস্থ হবে

      10y

y - --------

      100

          y

=y - --------

         10

    9y

=------- একক

     10

∴নতুন আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

11x       9y

-----✕------

10        10

   99xy

=-------- বর্গ একক

    100

∴ ক্ষেত্রফল হ্রাস পায়

          99xy

=xy - --------

           100

     xy

= ------ বর্গ একক

    100

তাহলে, ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার

   xy

------

  100

-------✕100%

    xy

      xy

= ---------✕100%

    100xy

=1%

১৯. একটি মাঠের জমিতে সেচের সুযোগ আসার আগের ও পরের ফলনের অনুপাত 4 : 7। ঐ মাঠে যে জমিতে আগে 304 কুইন্টাল ধান ফলতো, সেচ পাওয়ার পরে তাঁর ফলন কত হবে?

সমাধানঃ

একটি মাঠের জমিতে সেচের সুযোগ আসার আগের ও পরের ফলনের অনুপাত 4 : 7

মনে করি, সেচের আগের ফলন 4x কুইন্টাল

তাহলে, সেচের পরের ফলন 7x কুন্টাল

প্রশ্নমতে,

4x=304

বা, x=304/4

বা, x=76

∴সেচের পর ফলন=7✕76=532 কুইন্টাল।

২০. ধান ও ধান থেকে উৎপন্ন চালের অনুপাত 3 : 2 এবং গম ও গম থেকে উৎপন্ন সুজির অনুপাত 4 : 3 হলে, সমান পরিমান ধান ও গম থেকে উৎপন্ন চাল ও সুজির অনুপাত বের কর।

সমাধানঃ

ধান : চাল= 3 : 2 =12 : 8 [4 দ্বরা গুণ করে]………….(i)

গম : সুজি = 4 : 3 = 12 : 9 [3 দ্বরা গুণ করে]………….(ii)

(i) ও (ii) নং থেকে দেখি ধান ও গমের পরিমাণ সমান বা 12 হলে চাল ও সুজির অনুপাত হবে= 8 : 9

∴চাল : সুজি=8 : 9

২১. একটি জমির ক্ষেত্রফল 432 বর্গমিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 5 হলে, অপর জমির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ

মনে করি,

১ম জমির দৈর্ঘ্য 3x মিটার

২য় জুমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার

আবার,

১ম জমির প্রস্থ 2y মিটার

২য় জমির প্রস্থ  5y মিটার

প্রশ্নমতে,

3x.2y=432

বা, 6xy=432

বা, xy=432/6

বা, xy=72

তাহলে, অপর জমির ক্ষেত্রফল

=4x.5y=20xy=20✕72=1440 বর্গ মিটার

২২. জেমি ও সিমি একই ব্যাংক থেকে একই দিনে 10% সরল মুনাফায় আলাদা আলাদা পরিমাণ অর্থ ঋণ নেয়। জেমি 2 বছর পর মুনাফা-আসলে যত টাকা শোধ করে 3 বছর পর সিমি মুনাফা-আসলে তত টাকা শোধ করে। তাদের ঋণের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

জেসি ঋণ নেয় P টাকা

সিমি ঋণ নেয় Q টাকা

আমরা জানি,

সরল মুনাফা=মুলধন✕মুনাফার হার✕সময়

তাহলে,

∴10% হারে জেসির 2 বছরের সুদ

       10

P✕--------✕2

       100

      P

=------- টাকা

      5

10% হারে সিমির 3 বছরের সুদ

       10

Q✕--------✕3

       100

    3Q

=------- টাকা

      10

∴জেসির মুনাফা-আসল

          P

=P+-------

          5

    6P

=-------টাকা

       5

সিমির মুনাফা আসল

          3Q

=Q+-------

           10

     13Q

=---------টাকা

       10

প্রশ্নমতে,

    6P         13Q

  -------=  -----------

      5         10

বা, 65Q=60P

বা, 13Q=12P [5 দ্বারা ভাগ করে]

বা, P/Q=13/12

বা, P : Q = 13 : 12

∴জেসি ও সিমির ঋণ এর পরিমাণের অনুপাত = 13 : 12

২৩. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 5 : 12 : 13 এবং পরিসীমা 30 সেমি

ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং কোণ ভেদে ত্রিভুজটি কি ধরণের তা লিখ।

সমাধানঃ

মনে করি, ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে 5x, 12x ও 13x সেমি

প্রশ্নমতে,

5x+12x+13x=30

বা, 30x=30

বা, x=30/30

বা, x=1

∴বাহুগুলো 5 সেমি,12 সেমি,13 সেমি। নিচে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলোঃ

যেহেতু,

BC²=13²=169=144+25=12²+5²=AC²+AB²

সেহেতু, ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

খ) বৃহত্তর বাহুকে দৈর্ঘ্য এবং ক্ষুদ্রতর বাহুকে প্রস্থ ধরে অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের কর্ণের সমান বাহুবিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক হতে বৃহত্তর বাহুর দৈর্ঘ্য = 13 সেমি ও ক্ষুদ্রতর বাহুর দৈর্ঘ্য = 5 সেমি

13সেমি দৈর্ঘ্য ও 5 সেমি প্রস্থ ধরে অঙ্কিত আয়তক্ষেত্র ABCD এর একটি কর্ণ AC.

এখন,

△ACD-এ

AC²=AD²+DC²

বা, AC²=13²+5²

বা, AC²=169+25

বা, AC²=194

বা, AC=√194

তাহলে AC এর সমান বাহু বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল

=AC²=(√194)²=194 বর্গ সেমি।

গ) উক্ত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 10% এবং প্রস্থ 20% বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধানঃ

উক্ত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=13 সেমি ও প্রস্থ=5 সেমি

ক্ষেত্রফল=13✕5 =65 বর্গসেমি

দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি পেলে হয়

                   10

13+13 এর--------

                   100

             13

=13+--------

            10

    130+13

=-------------

       10

    143

=-------

     10

=14.3 সেমি

প্রস্থ 20% বৃদ্ধি পেলে হয়

               20

5+5 এর --------

               100

=5+1

=6 সেমি

তাহলে, নতুন ক্ষেত্রফল=14.3✕6=85.8 বর্গসেমি

∴ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়=85.8-65=20.8 বর্গ সেমি।

∴ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার

=(20.8/65)✕100%=32%

২৪. একদিন কোন ক্লাসে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীর অনুপাত 1 : 4

ক) অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদেরকে মোট শিক্ষার্থীর শতকরায় প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

অনুপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা x জন

উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা 4x জন

তাহলে, মোট শিক্ষার্থী=x+4x=5x জন।

অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদেরকে মোট শিক্ষার্থীর শতকরা হার

=(x/5x)✕100%

=20%

খ) 5 জন শিক্ষার্থীর বেশি উপস্থিত হলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীর অনুপাত হত 1 : 9। মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত?

সমাধানঃ

5 জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত হলে উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে (4x+5) জন

এবং অনুপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে=(x-5) জন।

প্রশ্নমতে,

  x-5           1

---------=- ------

  4x+5         9

বা, 5x+5=9x-45

বা, 4x-9x=-45-5

বা, -5x=-50

বা, 5x=50

বা, x=50/5

বা, x=10

∴মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা=5x=5✕10=50 জন।

গ) মোট শিক্ষার্থীর মধ্যে ছাত্র সংখ্যা ছাত্রি সংখ্যার দ্বিগুন অপেক্ষা 10 জন কম। ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় কত?

সমাধানঃ

খ হতে মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা=50 জন

ধরি, ছাত্রী সংখ্যা x জন

তাহলে, ছাত্র সংখ্যা=2x-10 জন

প্রশ্নমতে,

2x-10+x=50

বা, 3x-10=50

বা, 3x=50+10

বা, 3x=60

বা, x=60/3

বা, x=20

∴ছাত্রী সংখ্যা=20 জন

ছাত্র সংখ্যা=2✕20-10=30 জন

∴ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত=30 : 20 = 3 : 2

২৫. আশিক, মিজান, অনিকা ও অহনা মোট 195000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে এবং এক বছর শেষে 26500 টাকা লাভ হয়। উক্ত ব্যবসায় মূলধনে আশিকের অংশ : মিজানের অংশ=2 : 3, মিজানের অংশ : অনিকার অংশ=4 : 5 এবং অনিকার অংশ  : অহনার অংশ= 5 : 6

ক) মূলধনের সরল অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ব্যবসাটিতে বিনিয়োগকৃত মূলধনে,

আশিকের অংশ : মিজানের অংশ=2 : 3 = 8 : 12

মিজানের অংশ : আনিকার অংশ=4 : 5 = 12 : 15

অনিকার অংশ : অহনার অংশ= 5 : 6 =15 : 18

∴ আশিকের অংশ : মিজানের অংশ : আনিকার অংশ : অহনার অংশ=8 : 12 : 15 : 18

খ) উক্ত ব্যবসায় প্রত্যেকের মূলধন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

আশিকের অংশ : মিজানের অংশ : আনিকার অংশ : অহনার অংশ=8 : 12 : 15 : 18

অনুপাতগুলোর যোগফল=8+12+15+18=53

মোট মূলধন=195000 টাকা।

তাহলে,

আশিকের মূলধন=195000 এর (8/53) টাকা = 29433.96 টাকা

মিজানের মূলধন=195000 এর (12/53) টাকা = 44150.944 টাকা

অনিকার মূলধন=195000 এর (15/53) টাকা = 55188.68 টাকা

অহনার মূলধন=195000 এর (18/53) টাকা = 66226.42 টাকা

গ) বছর শেষে লভ্যাংশের 60% উক্ত ব্যবসায় বিনিয়োগ করা হল। অবশিষ্ট লভ্যাংশ মূলধনের সরল অনুপাতে বিভক্ত হলে অহনা ও আশিকের লভ্যাংশের মধ্যে কে কত টাকা বেশি লাভ পাবে?

সমাধানঃ

বছর শেষে লাভ হয় = 26500 টাকা

লভ্যাংশ থেকে বিনিয়োগ করা হয়=26500✕60%=15900 টাকা

অবশিষ্ট থাকে=(26500-15900) টাকা= 10600 টাকা।

খ হতে পাই,

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল=53

∴আশিকের লভ্যাংশ=10600 এর (8/53) টাকা=1600 টাকা

এবং অহনার লভ্যাংশ=10600 এর (18/53) টাকা= 3600 টাকা।

∴অহনা লভ্যাংশ বেশি পায়=3600-1600 টাকা=2000 টাকা।