নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৮.৪ - বৃত্তের স্পর্শক ও অন্যান্য

 

বৃত্তের স্পর্শক ও অন্যান্যঃ

১. O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বন্দু P থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানা হল। প্রমান কর যে, OP সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা এর লম্বদ্বিখন্ডক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বন্দু P থেকে বৃত্তে দুইটি PA ও PB স্পর্শক টানা হল যা বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A, B যোগ করায় AB স্পর্শ-জ্যা পাওয়া গেল। প্রমান কর যে, OP সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা AB এর লম্বদ্বিখন্ডক।

অঙ্কনঃ

O, A এবং O, B যোগ করি।
প্রমাণঃ
বহিঃস্থ P বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক PA ও PB
∴ PA=PB [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান]
△OAP ও △OBP এ
PA=PB
OA=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OP সাধারণ বাহু
∴ △OAP ≅ △OBP
অতএব, ∠AOP=∠BOP
বা, ∠AOC=∠BOC
এখন, △OAC ও △OBC এ
∠AOC=∠BOC
OA=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OC সাধারণ বাহু
∴△OAC ≅ △OBC
অতএব, ∠OCA=∠OCB এবং AC=BC যেখানে, ACB একটি সরলরেখা।
∴ ∠OCA=∠OCB=1 সমকোণ ও ACB এ C মধ্যবিন্দু।
∴OC বা OP সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা AB এর লম্বদ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)।

২. প্রমাণ কর যে, দুইটি বৃত্ত এককেন্দ্রিক হলে এবং বৃহত্তর বৃত্তটির কোনো জ্যা ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে স্পর্শ করলে উক্ত জ্যা স্পর্শবিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABC ও PQR ত্রিভুজদ্বয়ের কেন্দ্র O এবং ABC বৃত্তটি বৃহত্তর। ABC এর জ্যা AB PQR কে P বিন্দুতে স্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AP=BP।

অঙ্কনঃ

A, O; B, O; O, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, বৃত্তের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পপর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴ AB ⊥ OP
বা, ∠APO=∠BPO
এখন, △OAP ও △OBP এ
∠APO=∠BPO
AO=OP [ABC বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OP সাধারণ বাহু
∴△OAP ≅ △OBP
তাহলে, AP=BP (প্রমাণিত)।

৩. AB কোনো বৃত্তের ব্যাস এবং BC ব্যাসার্ধের সমান একটি জ্যা। যদি A ও C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে মিলিত হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ACD একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, AB, ABC বৃত্তের ব্যাস এবং BC ব্যাসার্ধের সমান একটি জ্যা। বৃত্তটির কেন্দ্র O। A ও C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ACD একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

অঙ্কনঃ

O, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
△OCB এ CB বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।
∴ OC=CB=OA বা, ∠OCB=∠CBO=∠BOC=60⁰ [সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক কোণ 60⁰]
এখন, ∠BOC+∠AOC=180⁰
বা,  ∠AOC=180⁰-∠BOC
বা,  ∠AOC=180⁰-60⁰
বা,  ∠AOC=120⁰………….(i)
△OAC এ
∠AOC+∠ACO+∠OAC=180⁰
বা,  ∠ACO+∠OAC=180⁰-∠ACO
বা,  ∠ACO+∠OAC=180⁰-120⁰ [(i) নং হতে]
বা,  ∠ACO+∠OAC=60⁰…………(ii)
এখন, AO=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ACO=∠OAC……..(iii)
(ii) ও (iii) হতে পাই,
∠ACO=∠OAC=30⁰……..(iv)
আমরা জানি, বৃত্তের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পপর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴DA ⊥ OA
বা,  ∠DAO=90⁰
বা,  ∠DAC+∠OAC=90⁰
বা,  ∠DAC=90⁰-∠OAC
বা,  ∠DAC=90⁰-30⁰ [ (iv) নং হতে মান বসিয়ে]
বা,  ∠DAC=60⁰
অনুরুপভাবে পাই, ∠DCA=60⁰
তাহলে, ADC ত্রিভুজের ∠ADC=180⁰-∠DAC-∠DCA=180⁰-60⁰-60⁰=60⁰
যে ত্রিভুজের তিনটি কোণ 60⁰, সে ত্রিভুজ সমবাহু।
△ADC সমবাহু ত্রিভুজ (প্রমাণিত)

৪. প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত বাহু কেন্দ্রে যে দুইটি কোণ ধারণ করে, তারা পরস্পর সম্পূরক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজটি হলো ABCD যার AB, BC, CD, DA বাহু বৃত্তকে Q, M, N, P বিন্দুতে ছেদ করে। O,A; O,B; O,C; O,D যোগ করলে প্রত্যেক বাহুর বিপরীতে যথাক্রমে ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOA উৎপন্ন হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOD ও ∠BOC বা, ∠AOB ও ∠COD পরস্পপর সম্পূরক।

অঙ্কনঃ

O, Q; O, M; O, N; O, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, বৃত্তের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পপর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴OP ⊥ AD
তাহলে, ∠OPA=90⁰
একই ভাবে, ∠OQA=90⁰
এখন, △OPA ও △OQA এর মধ্যে,
∠OPA=∠OQA
OQ=OP [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OA সাধারন বাহু
∴△OPA ≅ △OQA
তাহলে, ∠POA=∠QOA……(i)
একই ভাবে পাই,
∠BOM =∠QOB …………(ii)
∠MOC=∠CON…………(iii)
∠DOP =∠NOD ………….(iv)
(i)+(ii)+(iii)+(iv) করে পাই,
বা,  ∠POA+∠BOM+∠MOC+∠DOP=∠QOA+∠QOB+∠CON+∠NOD
বা,  (∠POA+∠DOP)+( ∠BOM+∠MOC)=( ∠QOA+∠QOB)+( ∠CON+∠NOD)
বা,  ∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD………..(v)
O বিন্দুতে,
∠AOD+∠BOC+∠AOB+∠COD=360⁰
বা,  (∠AOD+∠BOC)+ (∠AOD+∠BOC)=360⁰ [(v) নং থেকে মান বসিয়ে]
বা,  2(∠AOD+∠BOC)=360⁰
বা,  ∠AOD+∠BOC=180⁰=2 সমকোণ।
∴∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক।
একইভাবে, ∠AOB ও ∠COD পরস্পর সম্পূরক (প্রমাণিত)।

৫. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক।

ক) উদ্দীপকের আলোকে চিত্র আঁক।

সমাধানঃ

উদ্দীপকের আলোকে অঙ্কিত চিত্র নিন্মরুপঃ

খ) প্রমাণ কর যে, PA=PB

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে PA ও PB দুইটি স্পর্শক। প্রমান করতে হবে যে, PA=PB.

অঙ্কনঃ

O, B; O, A; O, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
△AOP ও △BOP এর মধ্যে,
∠OPB=∠OAP=90⁰ [বৃত্তের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পপর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব]
OB=OA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OP সাধারণ বাহু।
∴△AOP ≅ △BOP
তাহলে, PA=PB (প্রমাণিত)।

গ) প্রমাণ কর যে, OP রেখাংশ স্পর্শ-জ্যা এর লম্বদ্বিখন্ডক।

সমাধানঃ

১ নং প্রশ্নের উত্তর দেখ।

৬. দেওয়া আছে, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PA ও PB স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ কর যে, PO, ∠APB কে সমদ্বিখন্ডিত করে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PA ও PB স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। প্রমাণ কর যে, PO, ∠APB কে সমদ্বিখন্ডিত করে।

অঙ্কনঃ

O, B; O, A যোগ করি।
প্রমাণঃ
△AOP ও △BOP এর মধ্যে,
∠OPB=∠OAP=90⁰ [বৃত্তের কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পপর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব]
OB=OA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OP সাধারণ বাহু।
∴△AOP ≅ △BOP
তাহলে, ∠APO=∠BPO যাদের সাধারণ বাহু OP
OP, ∠AOB এর সমদ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)।