নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৮.৫ - বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্ত

 

বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন ও পরিবৃত্ত-বহির্বৃত্ত-অন্তর্বৃত্তঃ

১. কোন বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-

ক) সূক্ষ্মকোণ    খ) স্থুলকোণ
গ) সমকোণ       ঘ) পূরককোণ
উত্তরঃ ক

২. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x এর মান কত?

ক) 126⁰    খ) 108⁰
গ) 72⁰        ঘ) 54⁰
উত্তরঃ ক

৩. প্রদত্ত চিত্রে (1/2) ∠ECD=কত ডিগ্রী?

ক) 40⁰    খ) 50⁰
গ) 80⁰    ঘ) 100⁰
উত্তরঃ ক

৪. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পপর্শ করে। এদের একটির ব্যাস 8 সেমি এবং অপরটির ব্যাসার্ধ 4 সেমি হলে, এদের কেন্দ্রপদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সেমি হবে?

ক) 0   খ) 4   গ) 8     ঘ) 12
উত্তরঃ গ

৫. O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোন বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক PQ ও PR টানা হলে, △PQR হবে-

(i) সমবাহু
(ii) সমদ্বিবাহু
(iii) সমকোণী
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i    খ) i ও ii   গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ii

৬. ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে ∠BOC= কত ডিগ্রী?

ক) 30⁰    খ) 60⁰  গ) 90⁰    ঘ) 120⁰
উত্তরঃ ঘ

AB ও AC রেখাদ্বয় BCD বৃত্তের স্পপর্শক। বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠BAC=60⁰. এই তথ্যের আলোকে (৭-৮) নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

৭. ∠BOC এর মান কত?

ক) 300⁰   খ) 270⁰   গ) 120⁰   ঘ) 90⁰
উত্তরঃ গ

৮. D, BDC চাপের মধ্যবিন্দু হলে-

(i) ∠BDC=∠BAC
(ii) ∠BAC=(1/2) ∠BOC
(iii) ∠BOC=∠DBC+∠BCD

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii   গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ

৯. কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট MNP একটি বৃত্ত আর AB একটি সরলরেখা। এই বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন তা AB এর সমান্তরাল হয়।

অঙ্কনের বিবরনঃ
1) O বিন্দু থেকে AB এর উপর OK লম্ব আঁকি যা MNP বৃত্তকে M বিন্দুতে ছেদ করে।
2) MO কে বর্ধিত করলে তা বৃত্তটিকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
3) MP এর M ও P বিন্দুতে লম্বরেখা CD ও EF আঁকি। তাহলে, CD ও EF নির্ণেয় স্পর্শক।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, ∠MKA=90⁰[PK⊥AK]
∠OMC=90⁰[MP⊥CM]
∠OPC=90⁰[EP⊥PM]
তাহলে, AB।।CD।।EF আর CD ও EF বৃত্তটিকে M ও P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ CD ও EF নির্ণেয় স্পর্শক।

১০. কোনো বৃত্তে এমন একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট MNC একটি বৃত্ত এবং AB একটি সরলরেখা। ত্রিভুজটিতে এমন একটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন তা AB এর উপর লম্ব হয়।

অঙ্কনের বিবরনঃ
ক) O থেকে AB এর উপর OP লম্ব আঁকি।
খ) O বিন্দু দিয়ে OM লম্ব আঁকি এবং বর্ধিত করি যা বৃত্তটিকে M ও N বিন্দুতে ছেদ করে।
গ) MN এর M ও N বিন্দুতে RK ও DE লম্বরেখা আঁকি যা AB কে K ও E বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, RK ও DE নির্ণেয় স্পর্শক।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, OP ⊥ AB; RK ।। OP ।। DE
∴ RK ⊥ AB; DE ⊥ AB.
RK ও DE বৃত্তটিকে M ও N বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ RK ও DE নির্ণেয় স্পর্শক।

১১. কোনো বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁক যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60⁰ হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABD একটি বৃত্ত। এর উপর এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60⁰ হয়।

অঙ্কনের বিবরনঃ
ক) O বিন্দুতে ∠AOB আঁকি যা বৃত্তটিকে A ও B বন্দুতে ছেদ করে।
খ) ∠AOB এর অভ্যন্তরে B ও A বিন্দুতে 90⁰ করে কোণ আঁকি।
গ) 90⁰ কোণদ্বয়ের BC ও AC বাহু পরস্পরC বিন্দুতে মিলিত হয়। তাহলে, CB ও CA নির্ণেয় স্পর্শক।
প্রমাণঃ
OBCA চতুর্ভুজে, ∠O+∠B+∠A+∠C=360⁰
বা,  ∠C=360⁰-∠O-∠B-∠A
বা,  ∠C=360⁰-120⁰-90⁰-90⁰
বা,  ∠C=60⁰
CB ও CA বৃত্তটিকে B ও A বিন্দুতে স্পর্শ করে।
তাহলে, CB ও CA নির্ণেয় স্পর্শক।

১২. 3 সেমি, 4 সেমি ও 4.5 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁক এবং এই বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজের BC=4.5 সেমি, BA=4 সেমি; AC=3 সেমি। এই ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ
ক) ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখন্ডক EM ও FN আঁকি।
খ) EM ও FN পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
গ) OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে O কে কেন্দ্র করে বৃত্ত আঁকি। তাহলে, ABC বৃত্ত ABC ত্রিভুজের নির্ণেয় পরিবৃত্ত অঙ্কিত হলো।
প্রমাণঃ
O, B; O, A ও O, C যোগ করি।
O বিন্দু AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডকের উপর অবস্থিত।
তাহলে, BO=OA
একইভাবে, OC=AC
∴OB=OA=OC
তাহলে, ABC বৃত্ত ABC ত্রিভুজের নির্ণেয় পরিবৃত্ত।
ব্যাসার্ধ নির্ণয়ঃ
A থেকে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
△ABC এর পরিসীমা = AB+BC+AC = 4+3+4.5 =11.5 সেমি।
∴অর্ধপরিসীমা s=11.5/2 =5.75 সেমি।
অতএব, △ABC এর ক্ষেত্রফল= √{(s-AB)(s-BC)(s-CA)}
                                    =√{5.75(5.75-4)(5.75-3)(5.75-4.5)}
                             =√{5.75✕1.75✕2.75✕1.25}
                             =√34.58
                             =5.88 বর্গসেমি।
আবার, △ABC এর ক্ষেত্রফল=(1/2)✕4.5✕AD
বা,  5.88 =(1/2)✕4.5✕AD
বা,  4.5✕AD=5.88✕2
বা,  4.5✕AD=11.76
বা,  AD=11.76/4.5
বা,  AD=2.61
কিন্তু আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র, তাঁর পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ শীর্ষ হতে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান (ব্রক্ষ্মগুপ্তের উপপাদ্য)।
AB.AC=2R.AD [ব্যাসার্ধ R ধরে, ব্যাস=2R]
বা,  4.5✕3=2R✕2.61
বা,  13.5=R✕5.22
বা,  R=13.5/5.22
বা,  R=2.59 (প্রায়)
∴বৃত্তের ব্যাসার্ধ=2.59 সেমি (প্রায়)।                                          

১৩. 5 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC এর AC বাহুকে স্পর্শ করিয়ে একটি বহির্বৃত্ত আঁক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABC ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ 5 সেমি। এর AC বাহুকে স্পর্শ করিয়ে একটি বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরণঃ
ক) ABC ত্রিভুজের BC কে D এবং BA কে F পর্যন্ত বর্ধিত করি।
খ) ∠DCA ও ∠FAC এর সমদ্বিখন্ডক রেখা আঁকি এবং এই রেখাদ্বয় E বিন্দুতে ছেদ করে।
গ) E থেকে AC এর উপর EH লম্ব আঁকি।
ঘ) E কে কেন্দ্র করে EH এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি যা নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমাণঃ
E বিন্দু থেকে BF ও BD এর উপর EL ও EG লম্ব আঁকি।
এখন, E বিন্দু ∠DCA এর সমদ্বিখন্ডক রেখার উপর অবস্থিত।
তাহলে, EH=EG.
একইভাবে পাই, EL=EH=EG
অতএব, বৃত্তটি G, H, L বিন্দু দিয়ে যায় যা DB, BF ও AC এর উপর অবস্থিত।
∴ HGL নির্ণেয় বৃত্ত।

১৪. একটি বর্গের অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত আঁক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি বর্গ। এর অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরনঃ
ক) ABCD বর্গের কর্ণ AC ও BD আঁকি।
খ) O কে কেন্দ্র করে OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABCD বৃত্ত আঁকি যা নির্ণেয় পরিবৃত্ত।
গ) O থেকে AB এর উপর AE লম্ব আঁকি যা AB কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
ঘ) O কে কেন্দ্র করে OE এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে EFGH বৃত্ত আঁকি যা নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, বর্গের কর্ণ পরস্পর সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
তাহলে, DO=OB=OA=OB
সুতরাং, O থেকে A, B, C, D বিন্দুর দূরত্ব সমান।
তাহলে, ABCD নির্ণেয় পরিবৃত্ত।
আবার, যেহেতু বর্গের কর্ণ কোণগুলিকে সমদ্বিখন্ডিত করে সুতরাং O থেকে AB, BC, CD, DA বাহুর লম্বদূরত্ব সমান হবে অর্থাৎ O থেকে E, F, H, G বিন্দুর দূরত্ব সমান হবে।
তাহলে, EFGH নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত।

১৫. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি অভ্যন্তরস্থ E বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ কর যে, ∠AEC=1/2 (∠BOD+∠AOC)

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি অভ্যন্তরস্থ E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AEC=1/2 (∠BOD+∠AOC)

অঙ্কনঃ
A, D যোগ করি।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ AC চাপের উপর (1/2)∠AOC=∠ADC …………(i)
এবং BD চাপের উপর (1/2)∠BOD=2∠BAD …………(ii)
এখন, E বিন্দুতে, ∠AEC+∠AED=180⁰
                বা,  ∠AEC=180⁰-∠AED
                বা,  ∠AEC=180⁰-(180⁰-∠EAD-∠EDA)  [∠EAD+∠EDA+∠AED=180⁰]
                বা,  ∠AEC=180⁰-(180⁰-∠BAD-∠ADC)
                বা,  ∠AEC=180⁰-180⁰+∠BAD+∠ADC
                বা,  ∠AEC=∠BAD+∠ADC
                বা,  ∠AEC=(1/2) ∠AOC+(1/2)∠BOD
                বা,  ∠AEC=1/2(∠AOC+∠BOD) [প্রমাণিত]

১৬. দুইটি সমান ব্যাসবিশিষ্ট বৃত্তের সাধারণ জ্যা AB। B বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত কোন সরলরেখা যদি বৃত্ত দুইটির সাথে P ও Q বিন্দুতে মিলিত হয়, তবে প্রমাণ কর যে, △PAQ সমবাহু।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O ও O’ কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত যাদের ব্যাস সমান এবং এরা পরস্পর Aও B বিন্দুতে ছেদ করে। এদের সাধারণ জ্যা AB এবং । B বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত PQ সরলরেখা বৃত্ত দুইটির সাথে P ও Q বিন্দুতে মিলিত হয়, প্রমাণ করতে হবে যে, △PAQ সমবাহু বা PA=QA.

প্রমাণঃ
আমরা জানি, সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে সমান জ্যা সমান সমান চাপ ছিন্ন হয়।
∴চাপ AEB=চাপ AFB
আবার, সমান সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে সমান চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো সমান হয়।
∴চাপ AEB এর বৃত্তস্থ ∠APQ=চাপ AFB এর বৃত্তস্থ ∠AQP
বা,  ∠APQ=∠AQP
এখন,
△APQ-এ,
∠APQ=∠AQP
তাহলে, AP=AQ [ ত্রিভুজের সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান]
∴△PAQ সমবাহু (প্রমাণিত)

১৭. O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে জ্যা AB=x সেমি। OD ⊥ AB।

চিত্র অনুযায়ী নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ

ক) বৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, OB=r=10 cm
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr²
                                    =3.1416✕(10)²
                                    =3.1416✕100
                                    =314.16 বর্গ সেমি।

খ) দেখাও যে, D, AB এর মধ্যবিন্দু।

সমাধানঃ

O, A যোগ করি।

△AOD ও △BOD-এ
OA=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু
∠OAD=∠OBD [△ABD এর AO=OB]
∴ △AOD ≅ △BOD
তাহলে, AD=BD (দেখানো হলো)।

গ) OD=(x/2-2) সেমি হলে x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,
AB=x; OD=(x/2-2); OB=10 cm
যেহেতু AD=BD; সেহেতু BD=AB/2=x/2
△BOD –এ পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
OB²=OD²+BD²
বা,  (10)²=(x/2-2)²+(x/2)²
বা,  100=x²/4-2.x/2.2+2²+x²/4
বা,  100=x²/4+x²/4-2x+4
বা,  2x²/4-2x+4=100
বা,  x²/2-2x+4-100=0
বা,  x²/2-2x-96=0
বা,  x²-4x-192=0
বা,  x²-16x+12x-192=0
বা,  x(x-16)+12(x-16)=0
বা,  (x+12)(x-16)=0
বা,  x+12=0 অথবা, x-16=0
বা,  x=-12        বা,  x=16
x=-12 গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ x=16 সেমি।

১৮. চিত্রে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক।

ক) দেখাও যে, ∠MYZ+∠NYZ=90⁰

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক। দেখাতে হবে যে, ∠MYZ+∠NYZ=90⁰
প্রমাণঃ
এখন, Y বিন্দুতে,
∠PYZ+∠XYZ=180⁰
বা,  ½ ∠PYZ+½ ∠XYZ=90⁰
বা,  ∠NYZ+∠MYZ=90⁰ [YM ও YN হলো যথাক্রমে ∠Y এর অন্তর্দ্বিখন্ডক ও বহির্দ্বিখন্ডক]
বা,  ∠MYZ+∠NYZ=90⁰ (দেখানো হলো)

খ) প্রমাণ কর যে, ∠YNZ=90⁰-½∠x

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠YNZ=90⁰-½∠x
প্রমাণঃ
△NYZ-এ
∠YNZ+∠NYZ+∠NZY=180⁰
বা,  ∠YNZ=180⁰-∠NYZ-∠NZY
বা,  ∠YNZ=180⁰-½∠PYZ-½∠QZY
বা,  ∠YNZ=180⁰-½(180⁰-∠XYZ)-½(180⁰-∠XZY)
বা,  ∠YNZ=180⁰-½.180⁰+½∠XYZ-½.180⁰+½∠XZY
বা,  ∠YNZ=180⁰-90⁰+½∠XYZ-90⁰+½∠XZY
বা,  ∠YNZ=½∠XYZ+½∠XZY
বা,  ∠YNZ=½(∠XYZ+∠XZY)
বা,  ∠YNZ=½(180⁰-∠X) [△XYZ এর ক্ষেত্রে]
বা,  ∠YNZ=90⁰-½∠x (প্রমাণিত)

গ) প্রমাণ কর যে, Y, M, Z ও N বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, YM ও ZM যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং YN ও ZN যথাক্রমে ∠Y ও ∠Z এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, Y, M, Z ও N বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
প্রমাণঃ
খ হতে পাই, ∠YNZ=90⁰-½∠x……….(i)
△MYZ-এ
∠ZYM+∠YZM+∠YMZ=180⁰
বা,  ∠YZM=180⁰-∠MYZ-∠MZY
বা,  ∠YZM=180⁰-½∠XYZ-½∠XZY
বা,  ∠YZM=180⁰-½(∠XYZ+∠XZY)
বা,  ∠YZM=180⁰-½(180⁰-∠X)
বা,  ∠YZM=180⁰-90⁰+½∠X
বা,  ∠YZM=90⁰+½∠X…………….(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
∠YNZ+∠YMZ=90⁰-½∠x+90⁰+½∠X
বা,  ∠YNZ+∠YMZ=180⁰
এখন, YNZM চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে পরস্পর বিপরীত কোণ ∠YNZ ও ∠YMZ এর সমষ্টি 180⁰ বা এরা সম্পূরক।
∴ Y, M, Z ও N বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

১৯. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সেমি, 5 সেমি ও 6 সেমি। উপরের তথ্য অনুযায়ী নিন্মের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ

ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

খ) ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
প্রদত্ত ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত আঁকতে হবে অর্থাৎ ত্রিভুজটির A, B, C বিন্দু দিয়ে যায় এমন বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কনের বিবরনঃ
১) ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর লম্ব সমদ্বিখন্ডক EF ও GH আঁকি।
২) EF ও GH পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।
৩) O কে কেন্দ্র করে AO এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করি। অঙ্কিত ABC বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।

গ) ত্রিভুজের পরিবৃত্তের বাহিরে যেকোনো একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের দুইটি স্পর্শক অঙ্কন করে দেখাও যে স্পর্শকদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, প্রদত্ত পরিবৃত্তের উপর পরিবৃত্তের বাহিরে P বিন্দু থেকে PA ও PE স্পর্শক আঁকা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, PA=PE.

অঙ্কনঃ 

A, O; E, O; O, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
△AOP ও △EOP এর মধ্যে,
AO=OE [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠PAO=∠PEO=90⁰ [বৃত্তে কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও স্পর্শগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব]
∴PA=PE (প্রমাণিত)।