জ্যামিতিক অনুপাত-সমানুপাতঃ
১. কোনো ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বিপরীত বাহু দুইটিকে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে। XY, ভূমির সমান্তরাল হলে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু।
সমাধানঃ
মনে করি, △ABC এর ভূমি সংলগ্ন ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বিপরীত বাহু দুইটিকে অর্থাৎ AC ও AB কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করে। XY ভূমি BC এর সমান্তরাল। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC সমদ্বিবাহু অর্থাৎ AB=AC।
প্রমাণঃ
△ABC এর ∠B এর সমদ্বিখন্ডক BX
∴AB : BC = AX : XC……….(i)
আবার,
△ABC এর ∠C এর সমদ্বিখন্ডক CY
∴AC : BC = AY : YB……….(ii)
যেহেতু XY ।। BC
সেহেতু, AX : XC = AY : YB ……….(iii)
[ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে]
সমীকরণ (i) ও (iii) থেকে পাই,
AB : BC =AY : YB……………(iv)
আবার, সমীকরণ (ii) ও (iv) নং হতে পাই,
AB : BC = AC : BC
∴ AB = AC
অর্থাৎ △ABC সমদ্বিবাহু (প্রমাণিত)
২. প্রমাণ কর যে, কতকগুলো পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখাকে দুইটি সরলরেখা ছেদ করলে অনুরুপ অংশগুলো সমানুপাতিক হবে।
সমাধানঃ
মনে করি, AB, CD, EF তিনটি সমান্তরাল সরলরেখা। PQR ও LMN দুইটি সরলরেখা উক্ত সরলরেখাগুলোকে যথাক্রমে P,L; Q,M; R,N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ : QR = Lm : MN
অঙ্কনঃ
P,N যোগ করি। PN সরলরেখা QM সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ
△PRN-এ QO।।RN
∴PQ : QR = PO : ON ………..(i)
[ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে]
আবার, △NPL-এ OM।।PL
∴PO : ON = LM : MN ………..(ii) [একই কারণ]
সমীকরণ (i) ও (ii) থেকে পাই,
PQ : QR = LM : MN (প্রমাণিত)
৩. প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় এদের ছেদবিন্দুতে একই অনুপাতে বিভকত হয়।
সমাধানঃ
মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB ও DC বাহুদ্বয় সমান্তরাল এবং এর কর্ণদ্বয় AC ও BD, O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, OA : OC = OB : OD
প্রমাণঃ
যেহেতু AB ।। DC এবং AC ছেদক।
∴ ∠BAC = ∠ACD [একান্তর কোণ বলে]
আবার, AB ।। DC এবং BD তাদের ছেদক,
∴∠ABD=∠BDC [একান্তর কোণ বলে]
এখন, △AOB ও △COD-এ
∠OAB=∠OCD এবং ∠OBA=∠ODC
∴△AOB ও △COD সদৃশ
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলো সমানুপাতিক হওয়ায়,
OA : OC = OB : OD (প্রমাণিত)
৪. প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল।
সমাধানঃ
মনে করি, E ও F যথাক্রমে ABCD ট্রাপিজিয়ামে তির্যক বাহু AD ও BC এর মধ্যবিন্দু। E, F যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, EF রেখাংশ AB ও DC এর সমান্তরাল।
অঙ্কনঃ AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করি যে বর্ধিত AD ও BC, O বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রমাণঃ
△OAB-এ DC।।AB
∴OD/DA = OC /CB
[ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে]
বা, OD/2DE = OC/2CF [E, F যথাক্রমে AD ও BC এর মধ্যবিন্দু]
বা, OD/DE=OC/CF [2 দ্বারা গুণ করে]
∴EF।।DC কিন্তু DC।।AB
বা, DC।।EF।।AB (প্রমাণিত)
৫. ABC ত্রিভুজের AD ও BE মধ্যমাদ্বয় পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে। G বিন্দুর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত DE এর সমান্তরাল রেখাংশ AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC=6EF
সমাধানঃ
মনে করি, ABC ত্রিভুজের AD ও BE মধ্যমাদ্বয় পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করেছে। G বিন্দুর মধ্য দিয়ে অঙ্কিত DE এর সমান্তরাল রেখাংশ GF, AC কে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC=6EF
প্রমাণঃ
△ADE এ DE।।GF
∴AG/GD=AF/EF [ত্রিভুজের যে কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে]
বা, 2GD/GD=AF/EF [ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় পরস্পরকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে]
বা, 2=AF/EF
2+1 AF+EF
[যোজন করে]
বা, 3=AE/EF
বা, AE=3EF
বা, 2AE=6EF
বা, AC= 6EF [E, AC এর মধ্যবিন্দু বলে AC=AE]
∴AC=6EF (প্রমাণিত)
৬. △ABC এর BC বাহুস্থ যেকোনো বিন্দু X এবং AX রেখাস্থ O একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, △AOB : △AOC = BX : XC
সমাধানঃ
মনে করি, △ABC এর BC বাহুস্থ যেকোনো বিন্দু X এবং AX রেখাস্থ O একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, △AOB : △AOC = BX : XC
প্রমাণঃ
△OBX ও △OCX এর উচ্চতা একই, এখানে একই শীর্ষ বিন্দু A
∴△OBX : △OCX = BX : XC …………(i)
[দুইটি ত্রিভুজের উচ্চতা সমান হলে এদের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ও ভুমিদ্বয়ের অনুপাত সয়ান হয়]
আবার,
△OBX ও △AOB এর উচ্চতা একই, এখানে একই শীর্ষ বিন্দু B
∴△OBX : △AOB = OX : AO …………(ii)
এবং
△OCX ও △AOC এর উচ্চতা একই, এখানে একই শীর্ষ বিন্দু C
∴△OCX : △AOC = OX : AO …………(iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
△OBX : △OBA=△OCX : △OAC
△OBX △OCX
△OBX △AOB
বা, △OBX : △OCX = △AOB : △AOC
বা, BX : XC = △AOB : △AOC
বা, △AOB : △AOC = BX : XC (প্রমাণিত)
৭. △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। BC এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ AB ও AC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, BD : DC = BE : CF
সমাধানঃ
মনে করি, △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। BC এর সমান্তরাল EF রেখাংশ AB ও AC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, BD : DC = BE : CF
প্রমাণঃ
△ABC-এ ∠A এর সমদ্বিখন্ডক AD
∴BD : DC = AB : AC …………..(i)
[ত্রিভুজের যেকোনো কোণের অন্তর্দ্বিখন্ডক বিপরীত বাহুকে উক্ত কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বিভক্ত করে]
আবার,
EF।।BC
AE AF
AE+BE AF+CF
[যোজন করে]
AB AC
AB BE
বা, AB : AC = BE : CF
বা, BD : DC = BE : CF [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
∴ BD : DC = BE : CF (প্রমাণিত)
৮. ABC ও DEF সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের উচ্চতা AM ও DN হলে প্রমাণ কর যে, AM : DN = AB : DE
সমাধানঃ
মনে করি, ABC ও DEF দুইটি সদৃশকোণী ত্রিভুজ এবং এদের উচ্চতা যথাক্রমে AM ও DN। প্রমাণ করতে হবে যে, AM : DN = AB : DE
প্রমাণঃ
△ABC ও △DEF সদৃশকোণী
∴ ∠A=∠D; ∠B=∠E; ∠C=∠F
আবার, △ABM ও △DEN-এ
∠ABM=∠DEN [শর্তমতে]
এবং ∠AMB=∠DNE=এক সমকোণ
△ABM ও △DEN সদৃশকোণী ও সদৃশ।
AM AB
[সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলো সমানুপাতিক]
বা, AM : DN = AB : DE (প্রমাণিত)
৯. পাশের চিত্রে BC।।DE
সমাধানঃ
△BOC ও △DOE এর মধ্যে,
∠BOC=∠DOE [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
∠BCO=∠ODE [একান্তর কোণ বলে, DC।।DE এবং CD ছেদক]
এবং, ∠CBO=∠OED [একান্তর কোণ বলে, DC।।DE এবং BE ছেদক]
∴△BOC ও △DOE সদৃশকোণী
অতএব, ∴△BOC ও △DOE সদৃশ (প্রমাণিত)
খ) প্রমাণ কর যে, AD : BD = AE : CE
সমাধানঃ
পাঠ্যবই এর অনুশীলনী ১৪ এর উপপাদ্য ২৮ দ্রষ্টব্য।
গ) প্রমাণ কর, BO : OE = CO : OD
সমাধানঃ
ক হতে পাই, △BOC ও △DOE সদৃশকোণী
OB OC
No comments:
Post a Comment