নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিতঃ অনুশীলনী-৮.৩ পরিবৃত্ত ও বৃত্তস্থ চুতুর্ভুজ

 

পরিবৃত্ত ও বৃত্তস্থ চুতুর্ভুজ:

১. △ABC এ ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় P বিন্দুতে এবং বহির্দ্বিখন্ডকদ্বয় Q বিন্দুতে মিলিত হলে, প্রমাণ কর যে, B, P, C, Q বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, △ABC এ ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় P বিন্দুতে; AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিস্থ কোণ ∠CBE এবং AC কে F পর্যন্ত বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিস্থ কোণ ∠FCB এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় Q বিন্দুতে মিলিত হয়, প্রমাণ করতে হবে যে, B, P, C, Q বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

প্রমাণঃ
∠EBC+∠CBA=2 সমকোণ [ AE সরলরেখা]
বা,  (1/2).∠EBC+(1/2).∠CBA=2 সমকোণ
বা,  ∠QBC+∠CBP=1 সমকোণ
বা,  ∠QBP=1 সমকোণ………(i)
অনুরুপভাবে,
∠QCP=1 সমকোণ…………(ii)
তাহলে, CPBQ চতুর্ভুজে, ∠QBP+∠QCP=2 সমকোণ।
যেহেতু, CPBQ চতুর্ভুজে  বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক কোণ, সেহেতু, B, P, C, Q বিন্দু চারটি সমবৃত্ত (প্রমাণিত)।

২. ABCD একটি বৃত্ত। ∠CAB ও ∠CBA এর সমদ্বিখন্ডক দুইটি P বিন্দুতে এবং ∠DBA ও ∠DAB কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক দুইটি Q বিন্দুতে মিলিত হলে, প্রমাণ কর যে, A, Q, P, B বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি বৃত্ত। ∠CAB ও ∠CBA এর সমদ্বিখন্ডক দুইটি P বিন্দুতে এবং ∠DBA ও ∠DAB কোণদ্বয়ের সমদ্বিখন্ডক দুইটি Q বিন্দুতে মিলিত হয়েছে, প্রমাণ করতে হবে যে, A, Q, P, B বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

প্রমাণঃ
△APB এ
∠BAP+∠ABP+∠BPA=180⁰
বা,  (1/2)∠BAC+(1/2)∠ABC+∠BPA=180⁰
বা,  ∠BAC+∠ABC+2∠BPA=360⁰
বা,  ∠BAC+∠ABC+∠BCA+2∠BPA=360⁰+∠BCA
বা,  180⁰+2∠BPA=360⁰+∠BCA
বা,  2∠BPA=180⁰+∠BCA …………….(i)
অনুরুপভাবে,
2∠BQA=180⁰+∠BDA …………….(ii)
এখন, ∠BCA=∠BDA [ এরা AB চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ।
তাহলে, (i), (ii) হতে পাই,
∠BPA=∠BQA
এবং P ও Q বিন্দু AB চাপের একদিকে অবস্থিত।
অতএব, A, Q, P, B বিন্দু চারটি সমবৃত্ত (প্রমাণিত)

৩. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত কোনো বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়েছে। প্রমাণ কর যে, ∠AOD+∠BOC = দুই সমকোণ।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত E বিন্দুতে সমকোণে মিলিত হয়েছে বা উৎপন্ন সমকোণ =∠AEC। প্রমাণ কর যে, ∠AOD+∠BOC = দুই সমকোণ।

অঙ্কনঃ
D, B যোগ করি।
প্রমাণঃ
AD চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD
∴ ∠AOD=2∠ABD…………(i)
অনুরুপভাবে, CB চাপের ক্ষেত্রে,
∠BOC=2∠CDB…………….(ii)
(i)+(ii) করে,
∠AOD+∠BOC=2∠ABD+2∠CDB
                                =2(∠ABD+∠CDB)
                                =2(∠EBD+∠EDB)
                                =2(180^0-∠DEB)   [∠EBD+∠EDB+∠DEB=180⁰]
                                =2(180⁰-∠AEC)   [∠DEB=∠AEC, বিপ্রতীপ কোণ বলে]
                                =2(180⁰-90⁰)       [∠AEC=1 সমকোণ বা 90⁰]
                        =2.90⁰
                        =দুই সমকোণ।
∴ ∠AOD+∠BOC = দুই সমকোণ (প্রমাণিত)

৪. ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পপূরক। AC রেখা যদি ∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক হয়, তবে প্রমাণ কর যে, BC=CD।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পপূরক। AC রেখা যদি ∠BAD এর সমদ্বিখন্ডক হয়, তবে প্রমাণ করতে হবে যে, BC=CD।

অঙ্কনঃ
D, B যোগ করি, তাহলে AC, DB পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ
DC চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠DAC=∠DBC……….(i)
BC চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠CAB=∠BDC………..(ii)
[একই চাপের উপর সকল বৃত্তস্থ কোণ সমান হয়]
এখন, ∠DAC=∠CAB [শর্তমতে]
∴∠DBC=∠BDC যা △DBC এর দুইটি কোণ
তাহলে, BC=CD [ত্রিভুজের দুই কোণ সমান হলে এদের বিপরীত বাহুগুলোও সমান হয়]
∴ BC=CD (প্রমাণিত)।

৫. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি, AB=3 সেমি এবং BD, ∠ADC এর সমদ্বিখন্ডক।

ক) AD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

∠BAD=90⁰ [BD ব্যাস ও ∠BAD অর্ধবৃত্তস্থ]
এবং, BD=2✕ব্যাসার্ধ=2✕2.5 সেমি=5 সেমি।
এবং AB=3 সেমি
আমরা জানি,
AD²+AB²=BD²
বা,  AD²=BD²-AB²
বা,  AD²=5²-3²
বা,  AD²=25-9
বা,  AD²=16
বা,  AD=4
∴AD=4 সেমি।

খ) দেখাও যে, ∠ADC+ABC=180⁰

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ADC+ABC=180⁰

অঙ্কনঃ
A, O; C, O যোগ করি।
প্রমাণঃ
চাপ ABC এ বৃত্তস্থ কোণ=∠ADC এবং কেন্দ্রস্থ কোণ=∠AOC
∴ ∠AOC=2∠ADC
আবার, চাপ ADC এ বৃত্তস্থ কোণ=∠ABC এবং কেন্দ্রস্থ কোণ=প্রবৃদ্ধ∠AOC
∴ প্রবৃদ্ধ∠AOC=2∠ABC
তাহলে, ∠AOC+প্রবৃদ্ধ∠AOC=2∠ADC+2∠ABC
বা,  2∠ADC+2∠ABC=∠AOC+প্রবৃদ্ধ∠AOC
বা,  2(∠ADC+∠ABC)=360⁰
বা,  ∠ADC+∠ABC=360⁰/2
বা,  ∠ADC+∠ABC=180⁰ [দেখানো হলো]

গ) প্রমাণ কর যে, AB=BC

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট ABCD বৃত্তে AB ও CD দুইটি জ্যা এবং BD, ∠ADC এর সমদ্বিখন্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, AB=B.

অঙ্কনঃ
O, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
BD, ∠ADC এর সমদ্বিখন্ডক
∴ ∠ADB=∠CDB
বা,  2∠AOB=2∠COB [বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
বা,  ∠AOB=∠COB
এখন, △AOB ও △COB এর মধ্যে,
∠AOB=∠COB
AO=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OB সাধারণ বাহু।
∴△AOB ≅ △COB
তাহলে, AB=BC (প্রমাণিত)

৬. সমান সমান ভুমির ওপর অবস্থিত যেকোনো দুইটি ত্রিভুজের শিরঃকোণদ্বয় সম্পূরক হলে, প্রমাণ কর যে, এদের পরিবৃত্তদ্বয় সমান হবে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, △ABC ও △DEF এর ভূমি BC ও EF পরস্পর সমান অর্থাৎ, BC=EF এবং শিরকোণ ∠A এবং ∠D পরস্পর সম্পূরক অর্থাৎ ∠A+∠D=দুই সমকোণ।
প্রমাণ করতে হবে যে, ত্রিভুজদ্বয়ের পরিবৃত্তদ্বয় সমান।

অঙ্কনঃ
AB ও BC এর লম্বদ্বিখন্ডক আঁকি যারা O বিন্দুতে ছেদ করে। DE ও EF এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি যারা P বিন্দুতে ছেদ করে। O কে কেন্দ্র করে OB এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে এবং P কে কেন্দ্র করে PE এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্ত আঁকি। এই বৃত্তদ্বয় হলো ত্রিভুজদ্বয়ের পরিবৃত্ত।
O, B; O, C এবং E, P; F, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
ABC বৃত্তে,
BC চাপে বৃত্তস্থ কোণ=∠BAC এবং কেন্দ্রস্থ কোণ=∠BOC
∴∠BOC=2∠BAC………….(i)
তেমনিভাবে, ত্রিভুজ DEF এর ক্ষেত্রে পাই,
 প্রবৃদ্ধ∠EPF=2∠EDF………….(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
∠BOC+প্রবৃদ্ধ∠EPF=2∠BAC+2∠EDF
বা,  ∠BOC+প্রবৃদ্ধ∠EPF=2*180⁰ [∠A+∠D=দুই সমকোণ]…………(iii)
বা,  ∠BOC+প্রবৃদ্ধ∠EPF=360⁰
বা,  ∠BOC=360⁰-প্রবৃদ্ধ∠EPF
বা,  ∠BOC=∠EPF [প্রবৃদ্ধ∠EPF+∠EPF=360⁰]
বা,  BC উপচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ=EF উপচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ
বা,  উপচাপ BC = উপচাপ EF………….(iv)
আবার,
∠BOC=∠EPF
বা,  360⁰-প্রবৃদ্ধ∠BOC=360⁰-প্রবৃদ্ধ∠EPF
বা,  প্রবৃদ্ধ∠BOC=প্রবৃদ্ধ∠EPF
বা,  BC অধিচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ=EF অধিচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ
বা,  অধিচাপ BC = অধিচাপ EF………..(v)
(iv)+(v) করে,
উপচাপ BC+অধিচাপ BC=উপচাপ EF+অধিচাপ EF
বা,  ABC বৃত্তের পরিধি=DEF বৃত্তের পরিধি
∴ত্রিভুজদ্বয়ের পরিবৃত্তদ্বয় সমান (প্রমাণিত)।

৭. প্রমাণ কর যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো কোণের সমদ্বিখন্ডক ও তাঁর বিপরীত কোণের বহির্দ্বিখন্ডক বৃত্তের ওপর ছেদ করে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, এর ∠A এর অন্তর্দ্বিখন্ডক AF। ∠A এর বিপরীত কোণটি হলো ∠C। BC কে E পর্যন্ত বর্ধিত করায় ∠DCE বহিঃস্থ কোণটি উৎপন্ন হয়েছে। ∠DCE এর সমদ্বিখন্ডক অর্থাৎ ∠C এর বহির্দ্বিখন্ডক CF, ∠A এর অন্তর্দ্বিখন্ডক AF এর সাথে F বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, F বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত।

প্রমাণঃ
আমরা জানি, কোণ চতুর্ভুজ বৃত্তে অন্তর্লিখিত হলে তার বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ হয়।
∴ ABCD চতুর্ভুজে
∠BAD+∠BCD=2 সমকোণ
বা,  ∠BAD=180⁰-∠BCD
বা,  ∠BAD=180⁰-(180⁰-∠ECD) [∠BCD+∠ECD=180⁰]
বা,  ∠BAD=180⁰-180⁰+∠ECD
বা,  ∠BAD=∠ECD
বা,  (1/2) ∠BAD=(1/2)∠ECD
বা,  ∠BAF=∠ECF [AF, ∠BAD ও CF, ∠ECF এর সমদ্বিখন্ডক]
বা,  ∠BAF+∠BCF=∠ECF+∠CEF [উভয়পক্ষে,∠BCF যোগ করে]
বা,  ∠BAF+∠BCF=180⁰
বা,  ∠BAF+∠BCF= 2 সমকোণ।
∴ABCF চতুর্ভুজে, ∠BAF+∠BCF= 2 সমকোণ যেখানে, ∠BAF ও ∠BCF বিপরীত কোণ]
তাহলে, A, B, C, F বৃত্তে অন্তর্লিখিত বা F বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত (প্রমাণিত)।