This is an education site.
অনুশীলনী - ২
১. নিচের অনুক্রমগুলো সমান্তর, গুণোত্তর, ফিবোনাচ্চি নাকি কোনোটিই নয়? কেন? সাধারণ পদ নির্ণয়সহ ব্যাখ্যা করো।
(i) 2, 5, 10, 17,……
সমাধানঃ
এটি সমান্তর নয় কারণ এর সাধারণ অন্তর ভিন্ন ভিন্ন।
যেমনঃ
২য় পদ – ১ম পদ = 5 – 2 = 3
৩য় পদ – ২য় পদ = 10 – 5 = 5
আবার,
এটি গুণোত্তর নয় কারণ এর সাধারণ অনুপাত ভিন্ন ভিন্ন।
২য় পদ ÷ ১ম পদ = 5 ÷ 2 = 2.5
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = 10 ÷ 5 = 2
এটি ফিবোনাচ্চি নয় কারণ এর পরবর্তী যে কোনো পদ পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান নয়।
১ম পদ + ২য় পদ = 2+5 ≠ 10 (৩য় পদ);
২য় পদ + ৩য় পদ = 5+10 ≠ 17 (৪র্থ পদ)
সাধারণ পদ নির্ণয়ঃ
লক্ষ করি,
প্রদত্ত অনুক্রমঃ 2, 5, 10, 17,……
১ম পার্থক্যঃ 3 5 7
২য় পার্থক্যঃ 2 2
এখান থেকে লিখতে পারি,
(৩য় পদ – ২য় পদ) + 2 + ৩য় পদ = ৪র্থ পদ
বা, ২×৩য় পদ – ২য় পদ + 2 = ৪র্থ পদ
বা, 2.a3 – a2 + 2 = a4
বা, an = 2an-1 – an-2 + 2 [নির্নেয় সাধারন পদ]
(ii) 2, 7, 12, 17,……
এটি সমান্তর কারণ এর সাধারণ অন্তর অভিন্ন।
২য় পদ – ১ম পদ = 7 – 2 = 5
৩য় পদ – ২য় পদ = 12 – 7 = 5
এখানে,
১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে সমান্তান্তর অনুক্রমের বীজগণিতীয় রূপঃ a, a+d, a+2d, a+3d,…
এই অনুসারে, nতম পদ, an = a+(n-1)d = 2+(n-1)5 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
(iii) -12, 24, -48, 96,……
এটি গুণোন্তর কারণ এর সাধারণ অনুপাত অভিন্ন।
২য় পদ ÷ ১ম পদ = 24 ÷ (-12) = -2
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = (-48) ÷ 24 = -2
১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে গুণোন্তর অনুক্রমের বীজগণিতীয় রূপঃ a, ar, ar2, ar3,…
এই অনুসারে, nতম পদ, an = arn-1 = -12.(-2)n-1 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
(iv) 13, 21, 34, 55,……
এটি ফিবোনাচ্চি কারণ এর পরবর্তী যে কোনো পদ পূর্ববর্বর্তী দুটি পদের সমষ্টির সমান।
৩য় পদ = ১ম পদ + ২য় পদ = ১৩+২১ = ৩৪
৪র্থ পদ = ২য় পদ + ৩য় পদ = ২১+৩৪ = ৫৫
পদ কে F দ্বারা চিহ্নিত করলে, সুত্রমতে n তম পদ, Fn = Fn-1 + Fn-2 [নির্ণেয় সাধারন পদ]
(v) 5, -3, 9/5, -27/25,……
২য় পদ ÷ ১ম পদ = (-3) ÷ 5 = -3/5
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = 9/5 ÷ (-3) = -3/5
এই অনুসারে, nতম পদ, an = arn-1 = 5.(-3/5)n-1 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
(vi) 1/3 , 2/3 , 4/3 , 8/3 ,…
২য় পদ ÷ ১ম পদ = 2/3 ÷ 1/3 = 2
৩য় পদ ÷ ২য় পদ = 4/3 ÷ 2/3 = 2
এই অনুসারে, nতম পদ, an = arn-1 = 1/3.2n-1 [নির্নেয় সাধারণ পদ]
২. নিচের অনুক্রমগুলোর শূন্যস্থান পূরণ করো।
(i) 2, 9, 16, ____,____, 37,____.
(ii) -35, ____, ____, -5, 5, ____.
(iii) ____,____, ____, 5, -4,____.
(iv) ____, 10x2 , 50x3 ,____, ____,
(i) 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44.
[Hint: an = a+(n-1)d সূত্রমতে]
(ii) -35, -25, -15, -5, 5, 15.
(iii) 32, 23, 14, 5, -4, -13.
(iv) 2x, 10x2 , 50x3 ,250x3, 1250x4,
[Hint: an = arn-1 সূত্রমতে]
৩. ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।
[বিদ্রঃ আমরা এই ছকেই সমাধানের ফল দ্বারা খালি ঘরগুলো পূরণ করে দিয়েছি, আর নিন্মে সমাধানের পদ্ধতি বিস্তারিত দেয়া হয়েছে।]
i.
nতম পদ an = a + (n - 1)d = 2 + (10-1)5 = 2 + 9×5 = 2 + 45 = 47
সমষ্টি Sn = ½.n{2a + (n - 1)d} = ½×10{2×2+(10-1)5} = 5(4+9×5) = 5×49 = 245
ii.
[বিদ্রঃ পাঠ্যবইয়ে Sn এর মান -180 দেওয়া আছে, আমরা যাচাই বাছাই করে পেয়েছি এটা -190 হলে গ্রহণযোগ্য হয় এবং সেই অনুসারে সমাধান দেয়া হলো। তোমাদের মতামত থাকলে আমাদের জানিও।]
আমরা জানি,
Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
বা, 2Sn = n{2a + (n - 1)d}
বা, 2×-190 = n{2.-37 + (n - 1)4} [মান বসিয়ে]
বা, -380 = n(-74+4n-4)
বা, -380 = -74n+4n2-4n
বা, -190 = -37n+2n2-2n
বা, -190 = -39n+2n2
বা, -39n+2n2+190 = 0
বা, 2n2-39n +190 = 0
বা, 2n2-20n-19n +190 = 0
বা, 2n(n-10)-19(n-10)=0
বা, (2n-19)(n-10)=0
বা, 2n=19 অথবা, n=10
বা, n=9.5 [n এর মান ভগ্নাংশ হতে পারে না]
তাহলে, n=10
সূত্রমতে,
an = a + (n - 1)d
বা, an = -37 + (10-1)4 [মান বসিয়ে]
বা, an = -37 + 9×4
বা, an = -37 + 36
বা, an = -1
iii.
বা, -23 = 29 + (n - 1)×(-4) [মান বসিয়ে]
বা, -23 = 29 -4n+4
বা, 4n = -23-29-4
বা, 4n = -56
বা, n =-56/4 = 14
বা, Sn =½.14{2×29 + (14 - 1)(-4)} [মান বসিয়ে]
বা, Sn =7{58 + 13(-4)}
বা, Sn =7(58-52)
বা, Sn =7×6
বা, Sn =42
iv.
বা, 10 = a + (13-1)(-2) [মান বসিয়ে]
বা, 10 = a + 12×(-2)
বা, 10 = a – 24
বা, a = 10 + 24
বা, a = 34
বা, Sn = ½.13{2×34 + (13 - 1)(-2)} [মান বসিয়ে]
বা, Sn = ½.13{68 + 12(-2)}
বা, Sn = ½.13{68 - 24}
বা, Sn = ½.13×44
বা, Sn = 286
v.
বা, 31/4 = ¾ + (n-1)½ [মান বসিয়ে]
বা, 31 = 3 + (n-1).2 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]
বা, 31 = 3 + 2n – 2
বা, 31 = 2n + 1
বা, 2n = 31-1
বা, 2n = 30
বা, n = 15
বা, Sn = ½.15{2×3/4 + (15 - 1)½}
বা, Sn = ½.15{3/2 + (14)½}
বা, Sn = ½.15{3/2 + 14/2}
বা, Sn = ½.15{17/2}
বা, Sn = 255
vi.
বা, 2×-144 = n{2×9 + (n - 1)(-2)} [মান বসিয়ে]
বা, -288 = n(18-2n+2)
বা, -288 = 18n-2n2+2n
বা, -288 = 20n-2n2
বা, 20n-2n2+288 = 0
বা, -2n2+20n +288 = 0
বা, 2n2-20n-288 = 0
বা, n2-10n-144 = 0
বা, n2-18n+8n-144 = 0
বা, n(n-18)+8(n-18)=0
বা, (n-18)(n+8)=0
বা, n=18 অথবা, n=-8 [গ্রহনযোগ্য নয়]
তাহলে, n=18
বা, an = 9 + (18-1)(-2) [মান বসিয়ে]
বা, an = 9 + 17(-2)
বা, an = 9 - 34
বা, an = -25
vii.
বা, 35 = 7 + (13 - 1)d [মান বসিয়ে]
বা, 35 = 7 +12d
বা, 12d = 35-7
বা, 12d = 28
বা, d = 28/12 = 7/3
বা, Sn = ½.13{2×7 + (35 - 1)7/3} [মান বসিয়ে]
বা, Sn = ½.13{14 + (34)×7/3}
বা, Sn = ½.13(14 + 238/3)
বা, Sn = ½.13(42/3 + 238/3)
বা, Sn = ½.13(280/3)
বা, Sn = 3640/6
বা, Sn = 1820/3
viii.
বা, 2000 = ½.25{2a + (25 - 1)7} [মান বসিয়ে]
বা, 2000 = ½.25(2a + 24×7)
বা, 2000 = ½.25(2a + 168)
বা, (2a + 168) = 2000×2/25
বা, 2a+168 = 160
বা, 2a = 160-168
বা, 2a = -8
বা, a = -4
an = -4 + (25 - 1)7 [মান বসিয়ে]
an = -4 + 24×7
an = -4 + 168
an = 164
ix.
বা, 165/4 = ½.15{2a + (15 - 1)(-¾)} [মান বসিয়ে]
বা, 165/4 = ½.15{2a + 14×(-¾)}
বা, 165/4 = ½.15(2a – 21/2)
বা, ½.15(2a – 21/2) = 165/4
বা, (2a – 21/2) = 11/2
বা, 2a = 11/2 + 21/2
বা, 2a = 32/2
বা, a = 32/4
বা, a = 8
an = 8 + (15 - 1)(-¾) [মান বসিয়ে]
an = 8 + 14×(-¾)
an = 8 – 21/2
an = 16/2 – 21/2
an = -5/2
x.
বা, 2×2550 = n{2.2 + (n - 1)2} [মান বসিয়ে]
বা, 5100 = n(4+2n-2)
বা, 5100 = 4n+2n2-2n
বা, 5100 = 2n+2n2
বা, 2550 = n+n2
বা, n+n2+2550 = 0
বা, n2+n +2550 = 0
বা, n2+51n-50n +2550 = 0
বা, n(n+51)-50(n+51)=0
বা, (n+51)(n-50)=0
বা, n=50 অথবা, n=-51 [গ্রহনযোগ্য নয়]
তাহলে, n=50
বা, an = 2 + (50-1)2 [মান বসিয়ে]
বা, an = 2 + 49×2
বা, an = 2 + 98
বা, an = 100
৪. তোমার পড়ার ঘরের মেঝেতে তুমি সমবাহু ত্রিভুজাকৃতির একটি মোজাইক করতে চাও, যার বাহুর দৈর্ঘ্য 12 ফুট। মোজাইকে সাদা ও নীল রঙের টাইলস থাকবে। প্রতিটি টাইলস 12 ইঞ্চি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সুষম ত্রিভুজাকৃতি। টাইলসগুলো বিপরীত রঙে বসিয়ে মোজাইকটি সম্পুর্ণ করতে হবে।
ক) ত্রিভুজাকৃতির মোজাইকটির একটি মডেল তৈরি করো।
আমি আমার ঘরে সমবাহু ত্রিভুজ আকৃতির একটা মোজাইক করতে চাই যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ ফুট। এবং এই মোজাইক করার জন্য আমি কতগুলো নীল ও কতগুলো সাদা টাইলস বেছে নিয়েছি যেখানে প্রতিটি টাইলস সমবাহু এবং বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ ইঞ্চি। এখন টাইলসগুলো বিপরীত রঙে বসানোর জন্য আমি একটি মডেল তৈরি করেছি, মডেলটি নিন্মরুপঃ
খ) প্রত্যেক রঙের কয়টি করে টাইলস লাগবে?
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর বাহু AB = BC = CA = 12 ফুট।
সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস এর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ইঞ্চি = 1 ফুট।
তাহলে, মডেল অনুসারে, ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর বাহু BC বরাবর স্থাপিত নীল টাইলস এর সংখ্যা = (12÷1) টি = 12 টি।
অর্থাৎ ১ম ধাপে নীল টাইলস এর সংখ্যা a = 12
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক ABC এর উচ্চতা = (√3/2).12 ফুট।
সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস এর উচ্চতা = (√3/2).1ফুট।
তাহলে,
মডেলটিতে, মোট ধাপ সংখ্যা n = (√3/2).12 ÷ (√3/2).1 = 12
এবং, ADE এর উচ্চতা = (√3/2).12 - (√3/2).1 = (√3/2).11 ফুট।
এখন আমরা জানি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = (√3/2).a, এই সূত্র অনুসারে (√3/2).11 উচ্চতা বিশিষ্ট ত্রিভুজটি সমবাহু হবে এবং যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 11 ফুট।
অর্থাৎ, DE = 11 ফুট।
তাহলে, DE বরাবর নীল টাইলস রাখা যাবে (11÷1) টি = 11 টি।
অর্থাৎ ২য় ধাপে নীল টাইলস এর সংখ্যা = 11
তাহলে, সমান্তর ধারা অনুসারে, সাধারন অন্তর d = (11-12) = -1
সুতরাং,
মেডেলটিতে মোট নীল টাইলস এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2a + (n - 1)d}
= ½.12{2.12 + (12 - 1)(-1)}
= 6{24 + 11(-1)}
= 6(24 - 11)
= 6×13
= 78 টি
এখন আবার,
মেডেল অনুসারে, DE বরাবর সাদা টাইলস আছে 11টি কারণ DE = 11 ফুট।
নীল টাইলসের ক্ষেত্রে প্রয়োগকৃত সকল সূত্র ও নিয়ম সাদা টাইলস এর ক্ষেত্রে ব্যবহার করলে সেক্ষেত্রে আমরা পাই,
a = 11, n = 11, d = -1
মোট সাদা টাইলস এর সংখ্যা Sn
= ½.11{2.11 + (11 - 1)(-1)}
= ½.11{22 + 10(-1)}
= ½.11 (22 - 10)
= ½.11×12
= 66 টি
গ) মোট কতগুলো টাইলস প্রয়োজন হবে?
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর বাহুর দৈর্ঘ্য = 12 ফুট।
∴সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক এর ক্ষেত্রফল = √3/4.(12)2 বর্গ ফুট।
∴ সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস এর ক্ষেত্রফল = √3/4.(1)2 বর্গ ফুট।
অর্থাৎ,
সমবাহু ত্রিভুজাকৃতি মোজাইক সম্পূর্ণ করতে সুষম ত্রিভুজাকৃতি টাইলস লাগবে
= (12)2 টি
= 144 টি।
৫. ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।
[বিদ্রঃ অনুক্রম ও ধারা অধ্যায়ের এই ৫ নং সমস্যার ছক পূরণ করেই প্রকাশ করা হলো। কিভাবে ছক এ উত্তর বসানো হয়েছে তা ছকের নিচে সূত্র সহকারে বিস্তারিত দেয়া হয়েছে।]
an = arn-1
বা, ½ = 128(½)n-1 [মান বসিয়ে..]
বা, (½)n-1 = 1/256
বা, (½)n-1 = (½)8
বা, n-1 = 8
বা, n = 9
Sn = a(1-rn) ÷ (1-r)
বা, Sn = 128(1- ½9) ÷ (1- ½ ) [মান বসিয়ে..]
বা, Sn = 128(1- 1/512) ÷ ½
বা, Sn = 128(511/512)×2
বা, Sn = 511/2
বা, -2187 = a(-3)8-1 [মান বসিয়ে..]
বা, -2187 = a(-3)7
বা, -2187 = -2187a
বা, a = 1
এবং,
Sn = 1{1-(-3)8} ÷ {1-(-3)} [মান বসিয়ে..]
Sn = (1-6561) ÷ 4
Sn = -6560 ÷ 4
Sn = -1640
বা, 8√2 = (1/√2)(-√2)n-1 [মান বসিয়ে..]
বা, 8√2×√2 = (-√2)n-1
বা, 16 = (-√2)n-1
বা, (-√2)n-1 = (-√2)8
বা, Sn = (1/√2){1-(-√2)9} ÷ {1-(-√2)} [মান বসিয়ে]
বা, Sn = (1/√2){19-(-√2)9} ÷ {1-(-√2)}
বা, Sn = (1/√2)[(13)3-{(-√2)3}3]÷ {1-(-√2)}
বা, Sn = (1/√2)[{(13-(-√2)3}{(13)2+13.(-√2)3+{(-√2)3}2]÷ {1-(-√2)} [সূত্র a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2 ব্যবহার করে]
বা, Sn = (1/√2)[{1-(-√2)}{12+1.(- √2)+(- √2)2}{1-2√2+8}] ÷ {1-(-√2)} [সূত্র a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2 ব্যবহার করে]
বা, Sn = (1/√2)[{1-(-√2)}(1- √2+2){1-2√2+8} ÷ {1-(-√2)}
বা, Sn = (1/√2)(1- √2+2)(1-2√2+8)
বা, Sn = (1/√2)(1- √2+2 - 2√2 + 4 +4√2 + 8 - 8√2 + 16)
বা, Sn = (1/√2)(-7√2 + 31)
বা, Sn = (1/√2)(31-7√2)
বা, Sn = (31/√2 - 7)
বা, 128 = a(-2)7-1
বা, 128 = a(-2)6
বা, 128 = 64a
বা, a = 2
বা, Sn = 2{1-(-2)7} ÷ {1-(-2)}
বা, Sn = 2{1-(-128)} ÷ (1+2)
বা, Sn = 2(1+128) ÷ (1+2)
বা, Sn = 2×129 ÷ 3
বা, Sn = 86
বা, 254 = 2(1-2n) ÷ (1-2)
বা, 254 = 2(1-2n) ÷ (-1)
বা, 254 = -2(1-2n)
বা, 1-2n = -127
বা, -2n = -128
বা, 2n = 128
বা, 2n = 27
বা, n = 7
বা, an = 2.27-1
বা, an = 128
বা, 768 = 12rn-1
বা, rn-1=768/12
বা, rn-1=64
বা, rn/r=64
বা, rn=64r …….(i)
বা, 1524 = 12(1-rn) ÷ (1-r)
বা, (1-rn) ÷ (1-r) = 1524/12
বা, (1-rn) ÷ (1-r) = 127
বা, (1-rn) = 127(1-r)
বা, 1-rn = 127-127r
বা, -rn = 127-127r - 1
বা, -rn = 126-127r
বা, rn = 127r – 126 ………(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
64r = 127r – 126
বা, 64r – 127r = 126
বা, 63r = 126
বা, r = 126/63
বা, r = 2
এখন, r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2n=64×2
বা, 2n=128
বা, 1/3 = 27(1/3)n-1
বা, 27(1/3)n-1 = 1/3
বা, (1/3)n-1 = 1/3×27
বা, (1/3)n-1 = 1/81
বা, (1/3)n-1 = (1/3)4
বা, n-1 = 4
বা, n = 5
বা, Sn = 27{1-(1/3)5} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = 27{1-1/243} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (27-27/243} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (27-1/9} ÷ (1-1/3)
বা, Sn = (243/9-1/9) ÷ (3/3-1/3)
বা, Sn = 242/9 ÷ 2/3
বা, Sn = 242/9 × 3/2
বা, Sn = 121/3
বা, 4095 = a(1-46) ÷ (1-4)
বা, 4095 = a(1-4096) ÷ (-3)
বা, 4095 = a(-4095) ÷ (-3)
বা, 4095 = 1365a
বা, a = 4095/1365
বা, a = 3
বা, an = 3.46-1
বা, an = 3.45
বা, an = 3072
৬.
ক) ছক- ১ এর অনুক্রমটি নিবিড়ভাবে পর্যবেক্ষণ করো। অতঃপর ১০ম চিত্রটি গঠন করে কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করো।
ছক – ১ এর অনুক্রমের চিত্রটি পর্যবেক্ষন করি। প্রতিটি চিত্রে, চিত্র সংখ্যার সমান সংখ্যক কয়েন এর সারি আছে, এক সারি থেকে অপর সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার 1 এবং ১ম সারিতে 1টি মাত্র কয়েন আছে।
১০ম চিত্রে,
কয়েন এর সারি সংখ্যা n = 10
সারি থেকে সারিতে কয়েনের বৃদ্ধির হার বা সাধারণ অন্তর d = 1
১ম সারিতে কয়েনের সংখ্যা a = 1
অতএব,
১০ম চিত্রে মোট কয়েন এর সংখ্যা Sn
= ½.10(2.1+(10-1)1
= 5(2+9.1)
= 5(2+9)
= 5×11
= 55
ফলে, দশম পদ 55 এর জন্য চিত্রটি নিন্মরুপঃ
খ) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে nতম চিত্রের কয়েন সংখ্যা নির্ণয় করো।
nতম চিত্রে,
কয়েন এর সারি সংখ্যা = n
nতম চিত্রে মোট কয়েন এর সংখ্যা Sn
= ½.n{2.1 + (n - 1)1}
= ½.n{2 + (n - 1)}
= ½.n(2 + n – 1)
= ½.n(n + 1) [Ans.]
গ) n = 5 হলে, ছক-২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলো নির্ণয় করো এবং দেখাও যে, nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 2n সূত্রকে সমর্থন করে।
ছক – ২ পর্যবেক্ষন করে পাই,
প্রতিটি সারিতে ১ম ও শেষ সংখ্যা হলো 1 এবং মাঝের সংখ্যাগুলো হলো পূর্বের সারির পাশাপাশি দুইটি সংখ্যার যোগফলের সমান।
সেইঅনুসারে, n = 5 এর ক্ষেত্রে আমরা পাই,
n = 5 হলে, ছক-২ এর ২য় কলামের সংখ্যাগুলোঃ 1, 5, 10, 10, 5, 1
nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টিঃ
১ম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2 = 21
২য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 4 = 22
৩য় সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 8 = 23
৪র্থ সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 16 = 24
∴ nতম সারির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 2n [দেখানো হলো]
ঘ) প্রতিটি সারির সমষ্টিগুলো নিয়ে একটি ধারা তৈরি করো এবং ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 2046 হলে, n এর মান নির্ণয় করো।
প্রতিটি সারির সমষ্টিগুলো নিয়ে একটি ধারা তৈরি করা হলো যা নিন্মরুপঃ
2 + 4 + 8 + 16 + …………….
এখন,
ধারাটিতে, ১ম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = 4 ÷ 2 = 2
পদসংখ্যা = n
সমষ্টি Sn = 2046
বা, 2046 = 2(1-2n) ÷ (1-2)
বা, 2046 = 2(1-2n) ÷ (-1)
বা, 2046 = -2(1-2n)
বা, -2(1-2n) = 2046
বা, 1-2n = -1023
বা, -2n = -1023 – 1
বা, -2n = -1024
বা, 2n = 1024
বা, 2n = 210
বা, n = 10
৭. n এর মান নির্ণয় করো, যেখানে n ∈ N.
[বিদ্রঃ ∑ এর উপর n এবং নিচে k=1 সাইটে লেখা না যাওয়ায় শুধুমাত্র ∑ দ্বারা প্রকাশ করেছি; তোমরা পাঠ্যপুস্তক অনুসারে লিখবে।]
i. ∑ (20 - 4k) = -20
এখানে, k = 1, 2, 3, ……. n
∵ (20 – 4.1) + (20 – 4.2) + (20 – 4.3) + ………. (20 – 4n) = -20
বা, 20n – 4(1+2+3+…..n) = -20
বা, 20n – 4.½.n{2.1 + (n - 1)1} = -20 [Sn = ½.n{2a + (n - 1)d} এর সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 20n – 2.n(2 + n – 1) = -20
বা, 20n – 2n(n + 1) = -20
বা, 20n – 2n2 – 2n = -20
বা, -2n2 + 18n = -20
বা, -2n2 + 18n + 20 = 0
বা, 2n2- 18n -20 = 0
বা, n2 – 9n – 10 = 0
বা, n2 – 10n + n – 10 = 0
বা, n(n-10) + 1(n-10) = 0
বা, (n+1)(n-10) = 0
বা, n+1 = 0 অথবা, n-10 = 0
বা, n = -1 বা, n = 10
n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না; অর্থাৎ n = 10.
ii. ∑ (3k + 2) = 1105
∵ (3.1 + 2) + (3.2 + 2) +(3.3 + 2) +………+ (3.n + 2) = 1105
বা, 3(1+2+3+……n) + 2n = 1105
বা, 3.½.n{2.1 + (n - 1).1} + 2n = 1105 [Sn = ½.n{2a + (n - 1)d} এর সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, 3.½.n{2 + n - 1} + 2n = 1105
বা, 3.½.n(n + 1) + 2n = 1105
বা, 3.½.(n2 + n) + 2n = 1105
বা, 3.(n2 + n) + 4n = 2210 [উপয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 3n2+3n+4n = 2210
বা, 3n2+7n – 2210 = 0
বা, 3n2-78n + 85n – 2210 = 0
বা, 3n(n-26) + 85(n – 26) = 0
বা, (n-26)(3n+85) = 0
বা, n-26 = 0 অথবা, 3n+85 = 0
বা, n = 26 বা, 3n = - 85 [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]
∵ n = 26
iii. ∑ (-8). (0.5)k-1 = -255/16
∵ (-8). (0.5)1-1 + (-8). (0.5)2-1 + (-8). (0.5)3-1 +…….+ (-8). (0.5)n-1 = -255/16
বা, (-8). {(0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1}= -255/16
বা, (0.5)0 + (0.5)1 + (0.5)2 +…….+ (0.5)n-1= 255/128
বা, {(0.5)0}(1-0.5n) ÷ (1-0.5) = 255/128 [Sn = a(1-rn) ÷ (1-r) সূত্রমতে]
বা, 1.(1-0.5n) ÷ 0.5 = 255/128
বা, (1-0.5n) ÷ 0.5 = 255/128
বা, (1-½n) ÷ ½ = 255/128
বা, (1-½n) = 255/256
বা, -½n = 255/256 - 1
বা, -½n = -1/256
বা, ½n = 1/256
বা, ½n = ½8
বা, n = 8
iv. ∑ (3)k-1 = 3280
∵ (3)1-1 + (3)2-1 + (3)3-1 +……… +(3)n-1 = 3280
বা, (3)0 + (3)1 + (3)2 +……… +(3)n-1 = 3280
বা, (3)0.(1-3n) ÷ (1-3) = 3280
বা, 1.(1-3n) ÷ (-2) = 3280
বা, (1-3n) = 3280×(-2)
বা, 1-3n = -6560
বা, -3n = -6560-1
বা, -3n = -6561
বা, 3n = 6561
বা, 3n = 38
৮. একটি সমান্তর ধারার প্রথম, দ্বিতীয় ও ১০তম পদ যথাক্রমে একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম, চতুর্থ ও ১৭তম পদের সমান।
ক) সমান্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d এবং গুণোত্তর সাধারণ অনুপাত r হলে, ধারা দুইটি সমন্বয়ে দুইটি সমীকরণ গঠন করো।
সূত্র অনুসারে,
সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে nতম পদ an=a+(n−1)d
গুণত্তর ধারার ক্ষেত্রে nতম পদ bn=a⋅r(n−1)
প্রদত্ত সমান্তর ধারায়,
১ম পদ = a
২য় পদ = a+d
১০ম পদ = a+(10-1)d = a+9d
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারায়,
৪র্থ পদ = ar4-1 = ar3
১৭তম পদ = ar17-1= ar16
শর্ত অনুসারে,
a+d = ar3 [সমান্তরের ২য় পদ = গুণোত্তরের ৪র্থ পদ]
a+9d = ar16 [সমান্তরের ১০ম পদ = গুণোত্তরের ১৭তম পদ]
∵ নির্নেয় দুইটি সমীকরণঃ a+d = ar3 ও a+9d = ar16
খ) সাধারণ অনুপাত r এর মান নির্ণয় করো।
ক হতে পাই,
a+d = ar3
বা, 1+d/a = r3 [a দ্বারা ভাগ করে]
বা, r = 3√(1+d/a) …..(i)
গ) গুণোত্তর ধারাটির ১০তম পদ 5120 হলে, a ও d এর মান নির্ণয় করো।
পরে দেয়া হবে…..
ঘ) সমান্তর ধারাটির ১ম 20টি পদের সমষ্টি নির্ণয় করো।
৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। ওই ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। এইভাবে পর্যায়ক্রমে ১০টি ত্রিভুজ অঙ্কন করলে এবং সর্ববহিস্থ ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 64 মিমি হলে, সবগুলো ত্রিভুজের পরিসীমার সমষ্টি কত হবে নির্ণয় করো।
একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC আঁকি যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 64 মিমি অর্থাৎ ABC ত্রিভুজের পরিসীমা = 3×64mm = 192mm. এখন ABC এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ DEF আঁকি। এখন আমরা জানি, ত্রিভূজের যেকোনো দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা উহার তৃতীয় বাহুর অর্ধেক। তাহলে, DF = ½AC = ½×64mm = 32mm. এখন, যেহেতু অঙ্কিত DEF সমবাহু ত্রিভুজ সেহেতু DE=EF=DF=32mm অর্থাৎ DEF এর পরিসীমা = 3×32mm = 96mm. আবার, DEF এর বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু সংযোগ করে আরেকটি সমবাহু ত্রিভুজ GHI আঁকি। তাহলে, GH=HI=IG= ½×32mm = 16mm অর্থাৎ GHI এর পরিসীমা = 3×16mm = 48mm. একইভাবে পর্যায়ক্রমে ১০টি ত্রিভুজ আঁকি।
এখন, এইভাবে পর্যায়ক্রমে যদি অসীম ত্রিভুজ আঁকা হয় তাহলে আমরা ত্রিভুজগুলোর পরিসীমাগুলোকে একটি ধারা আকারে লিখতে পারি যা নিন্মরুপঃ
192 + 96 + 48 + ……………………..
ধারাটিতে, ১ম পদ a = 192
সাধারন অনুপাত r = 96 ÷ 192 = ½
এই ধারার nতম পদের সমষ্টি Sn
= a(1-rn) ÷ (1-r)
= 192(1- ½n) ÷ (1- ½)
শর্তানুসারে, অঙ্কিত ত্রিভুজ সংখ্যা 10 অর্থাৎ n=10 এর ক্ষেত্রে, ধারাটির সমষ্টি
= 192(1- ½10) ÷ (1- ½)
= 192(1- ½10) ÷ ½
= 384(1- ½10)
= 384(1- 1/1024)
= 384 - 384/1024
= 384 - 3/8
= 3069/8 মিমি (Ans.)
১০. শাহানা তার শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে একটি চারা গাছ রোপণ করল। এক বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা 1.5 ফুট হলো। পরবর্তী বছর এর উচ্চতা 0.75 ফুট বৃদ্ধি পেল। প্রতি বছর গাছটির উচ্চতা পূর্বের বছরের বৃদ্ধিপ্রাপ্ত উচ্চতার 50% বাড়ে। এভাবে বাড়তে থাকলে 20 বছর পরে গাছটির উচ্চতা কত ফুট হবে?
১ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা = 1.5 ফুট
২ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 ফুট
৩ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.75 এর 50% ফুট = 0.375 ফুট
৪ বছর পর চারা গাছটির উচ্চতা বৃদ্ধি পেল = 0.375 এর 50% ফুট = 0.1875 ফুট
তাহলে, উচ্চতা বৃদ্ধির ধারাঃ 0.75 + 0.375 + 0.1875 + …………
a = 0.75; r = 0.375 ÷ 0.75 =0.1875 ÷ 0.375 = ½;
এবং, n = 19 কারণ গাছের বৃদ্ধি ২য় বছর থেকে শুরু হয়।
তাহলে, nতম বছরে গাছের মোট বৃদ্ধির পরিমাণ Sn
= 0.75(1- ½19) ÷ (1- ½)
= 0.75(1- ½19) ÷ ½
= 1.5(1- ½19)
= 1.5(1- 1/524288)
= 1.5(524287/524288)
= 1.49999714 ফুট
তাহলে, ২০ বছরে গাছটির উচ্চতা হবে
= ১ম বছরেরের গাছের উচ্চতা + ১৯ বছরের গাছটির বৃদ্ধি
= 1.5 + 1.49999714 ফুট
= 2.99999714 ফুট
১১. তুমি তোমার পরিবারের গত ছয় মাসের খরচের হিসাব জেনে নাও। প্রতি মাসের খরচকে একেকটি পদ বিবেচনা করে সম্ভব হলে একটি ধারায় রূপান্তর করো। তারপর নিচের সমস্যাগুলো সমাধানের চেষ্টা করো।
ক) ধারা তৈরি করা সম্ভব হয়েছে কী? হলে, কোন ধরনের ধারা পেয়েছ ব্যাখা করো।
হ্যাঁ ধারা তোরি করা হয়েছে। আমি একটি সামন্তর ধারা পেয়েছি।
গত ছয় মাসে আমার পরিবারের খরচ নিন্মরুপঃ
এখানে, a = 6000; d = 6200 – 6000 = 200; n = 6; অর্থাৎ এটি একটি সমান্তর ধারা।
খ) ধারার সমষ্টিকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করো।
উপরোক্ত তথ্য হতে আমরা যে ধারাটি পাই তা নিন্মরুপঃ
6000 + 6200 + 6400 + ………………..
= 6000 + (6000+200) + (6000 + 200 + 200) + …………
= a + (a+d) + (a+d+d) + ……….. [১ম পদ, 6000 = a, সাধারন অন্তর 200 = d ধরে]
= a + (a+d) + (a+2d) + ………. (a+nd) [পদসংখ্যা n হলে]
= an + d{(1+2+3+…….(n-1)}
= an + d.n/2(n-1) [1+2+3+…….(n-1)= n/2(n-1) সূত্রমতে]
= 2an/2 + d.n/2(n-1)
= ½n{2a+(n-1)d}
= ধারার সমষ্টি Sn
অতএব, প্রাপ্ত সমীকরণ, Sn = ½.n{2a + (n - 1)d}
গ) পরবর্তী ছয় মাসে সম্ভাব্য মোট কত খরচ হতে পারে তা নির্ণয় করো।
উপরোক্ত তথ্য হতে, পরবর্তি ১ম মাসের খরচ = 7000 + 200 = 7200
∵ পরবর্তী ছয় মাসের মোট খরচ
= ½.6{2.7000 + (6 - 1)200}
= 3(14000 + 5×200)
= 3(14000 + 1000)
= 3×15000
= 45000 টাকা।
ঘ) পরিবারের মাসিক/বার্ষিক খরচ সম্পর্কে তোমার উপলব্ধিবোধ লিপিবদ্ধ করো।
পারিবারিক খরচ সম্পর্কে আমার উপলব্ধি হলো বর্তমান বাজার ব্যবস্থায় আমাদের খরচ দিন দিন বৃদ্ধি পাচ্ছে।
No comments:
Post a Comment