বাস্তব সমস্যা সমাধানে সহসমীকরণ - Class 9 Math BD 2024 – পঞ্চম অধ্যায় (অনুশীলনীঃ ১-১১ পর্যন্ত)

 

অনুশীলনী-৫

1. সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে তুলনা করে নিচের ছকের খালি ঘরগুলো পূরণ করো।

ক্রমিক নং	সমীকরণ জোট	a1/a2	b1/b2	c1/c2	অনুপাত গুলোর তুলনা	লেখচিত্রে অবস্থান	সমঞ্জস/ অসমঞ্জস	বীজগাণিতিক সিদ্ধান্ত
(i)	x+3y=1 2x+6y=2	½	3/6 = ½	½	a1/a2 =b1/b2 =c1/c2	দুইটি সমাপতিত সরলরেখা	সমঞ্জস	অসংখ্য সাধারণ সমাধান আছে
(ii)	2x-5y=3 x+3y=1	2	-5/3	3	a1/a2 ≠b1/b2	দুইটি পরস্পর চ্ছেদী সরলরেখা	সমঞ্জস	একটি মাত্র সাধারণ সমাধান আছে
(iii)	2x-4y=7 x-3y=-2	2	4/3	7/-2	a1/a2 ≠b1/b2	দুইটি পরস্পর চ্ছেদী সরলরেখা	সমঞ্জস	একটি মাত্র সাধারণ সমাধান আছে
(iv)	-½x-y=0 x-2y=1	-½	½	0	a1/a2 ≠b1/b2	দুইটি পরস্পর চ্ছেদী সরলরেখা	সমঞ্জস	একটি মাত্র সাধারণ সমাধান আছে

2. নিচের প্রতিজোড়া সমীকরণগুলোর মধ্যে যেগুলো সমাধানযোগ্য তাদের লেখচিত্র এঁকে সমাধান করো এবং অসংখ্য সমাধানের ক্ষেত্রে কমপক্ষে তিনটি সমাধান লেখো।

(i)

2x+y=8

2x-2y=5

সমাধানঃ

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে তুলনা করে পাই,

a₁/a₂ = ²/₂ = 1

b₁/b₂ = ¹/_-2 = - ½

c₁/c₂ = ⁸/₅

অর্থাৎ, a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

∵ সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে বা এটি সমাধানযোগ্য।

লেখচিত্র এঁকে সমাধানঃ

2x+y=8

বা, y = 8 – 2x ……(i)

এখন, (i) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-১

x এর মান	y এর মান
1	6
2	4
3	2

আবার,

2x-2y=5

বা, -2y = 5-2x

বা, 2y = 2x-5

বা, y = (2x-5)/2……(ii)

এখন, (ii) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-২

x এর মান	y এর মান
1	-1.5
2	-0.5
3.5	1

এবার ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর প্রতি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে ছক-১ এর জন্য (1,6), (2,4) ও (3,2) এবং ছক-২ এর জন্য (1,-1.5), (2,-0.5) ও (3.5,1) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত একটি সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত আরেকটি সরলরেখা পাই।

উৎপন্ন সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (3.5,1) বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y)=(1, ⁷/₂)

(ii)

2x+5y=-14

4x-5y=17

সমাধানঃ

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে তুলনা করে পাই,

a₁/a₂ = ²/₄ = ½

b₁/b₂ = ⁵/_-5 = -1

c₁/c₂ = ^-14/₁₇

অর্থাৎ, a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

∵ সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে বা এটি সমাধানযোগ্য।

লেখচিত্র এঁকে সমাধানঃ

2x+5y=-14

বা, 5y = -14-2x

বা, y = (-14-2x)/5 …….(i)

এখন, (i) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-১

x এর মান	y এর মান
-7	0
-2	-2
0.5	-3

আবার,

4x-5y=17

বা, -5y = 17-4x

বা, 5y = 4x-17

বা, y = (4x-17)/5……(ii)

এখন, (ii) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-২

x এর মান	y এর মান
0.5	-3
3	-1
8	3

এবার ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর প্রতি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে ছক-১ এর জন্য (-7,0), (-2,-2) ও (0.5,-3) এবং ছক-২ এর জন্য (0.5,-3), (3,-1) ও (8,3) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত একটি সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত আরেকটি সরলরেখা পাই।

উৎপন্ন সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (0.5,-3) বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y)=(0.5,-3)

(iii)

^x/₂+^y/₃=8

^5x/₄-3y=-3

সমাধানঃ

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে তুলনা করে পাই,

a₁/a₂ = ½ ÷ ⁵/₄ = ²/₅

b₁/b₂ = ¹/₃ ÷ -3 = -¹/₉

c₁/c₂ = -⁸/₃

অর্থাৎ, a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

∵ সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে বা এটি সমাধানযোগ্য।

লেখচিত্র এঁকে সমাধানঃ

^x/₂+^y/₃=8

বা, 3x+2y=48 [6 দ্বারা গুণ করে]

বা, 2y = 48-3x

বা, y = (48-3x)/2…….(i)

এখন, (i) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-১

x এর মান	y এর মান
10	9
8	12
12	6

আবার,

^5x/₄-3y=-3

বা, 5x-12y=-12

বা, -12y = -12-5x

বা, 12y = 12+5x

বা, y = (12+5x)/12……(ii)

এখন, (ii) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-২

x এর মান	y এর মান
12	6
6	3.5
0	1

এবার ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর প্রতি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে ছক-১ এর জন্য (10,9), (8,12) ও (12,6) এবং ছক-২ এর জন্য (12,6), (6,3.5) ও (0,1) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত একটি সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত আরেকটি সরলরেখা পাই।

উৎপন্ন সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (12,6) বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ(x,y)=(12,6)

(iv)

-7x+8y=9

5x-4y=-3

সমাধানঃ

সহসমীকরণ a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ এর সাথে প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে তুলনা করে পাই,

a₁/a₂ = -⁷/₅

b₁/b₂ = -⁸/₄ = -2

c₁/c₂ = -⁹/₃ = -3

অর্থাৎ, a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

∵ সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সমাধান আছে বা এটি সমাধানযোগ্য।

লেখচিত্র এঁকে সমাধানঃ

-7x+8y=9

বা, 8y = 9+7x

বা, y = (9+7x)/8 …….(i)

এখন, (i) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-১

x এর মান	y এর মান
1	2
5	5.5
9	9

আবার,

5x-4y=-3

বা, -4y = -3-5x

বা, 4y = 3+5x

বা, y = (3+5x)/4……(ii)

এখন, (ii) নং এ x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর কয়েকটি মান নির্ণয় করি।

ছক-২

x এর মান	y এর মান
1	2
3	4.5
5	7

এবার ছক কাগজে x ও y অক্ষ বরাবর প্রতি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে এক একক ধরে ছক-১ এর জন্য (1,2), (5,5.5) ও (9,9) এবং ছক-২ এর জন্য (1,2), (3,4.5) ও (5,7) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। ছক-১ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত একটি সরলরেখা পাই এবং ছক-২ এর স্থাপিত বিন্দুগুলো সংযুক্ত করি ফলত আরেকটি সরলরেখা পাই।

উৎপন্ন সরলরেখাদ্বয় পরস্পরকে (1,2) বিন্দুতে ছেদ করে।

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y) = (1,2)

3. প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করো:

(i)

7x-3y=31

9x-5y=41

সমাধানঃ

7x-3y=31…..(i)

9x-5y=41….(ii)

(i) নং হতে,

7x = 31+3y

বা, x = ^(31+3y)/₇…..(iii)

এখন, x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

9.^(31+3y)/₇ – 5y = 41

বা, ^(279+27y)/₇ – 5y = 41

বা, 27y+279-35y = 287 [উভয়পক্ষকে 7 দ্বারা গুণ করে]

বা, -8y+279 = 287

বা, -8y = 287-279

বা, -8y = 8

বা, y = -1

এখন, y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x = ^(31+3.-1)/₇

বা, x = ^(31-3)/₇

বা, x = ²⁸/₇ = 4

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y) = (4,-1)

(ii)

(x+2)(y-3)=y(x-1)

5x-11y-8=0

সমাধানঃ

(x+2)(y-3)=y(x-1)…..(i)

5x-11y-8=0…..(ii)

(i) নং হতে পাই,

xy+2y-3x-6 = xy-y

বা, xy+2y-3x-6-xy+y = 0

বা, 3y = 3x+6

বা, y=x+2…….(iii)

এখন, y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

5x-11(x+2)-8=0

বা, 5x-11x-22-8=0

বা, -6x = 22+8

বা, -6x = 30

বা, x = -5

এখন, x এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

y=-5+2 = - 3

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y) = (-5,-3)

(iii)

^x/_a+^y/_b=2

ax+by=a²+b²

সমাধানঃ

^x/_a+^y/_b=2….(i)

ax+by=a²+b²…..(ii)

(i) নং হতে পাই,

xb+ya=2ab [(i) নং এর উভয়পক্ষকে ab দ্বারা গুণ করে]

বা, xb=2ab-ya

বা, x = 2a-^ya/_b….(iii) [উভয়পক্ষকে b দ্বারা ভাগ করে]

এখন x এর এই মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

a(2a-^ya/_b)+by=a²+b²

বা, a.2a-(^ya/_b).a+by=a²+b²

বা, -(^ya/_b).a= a²+b² – a.2a – by

বা, -(^ya/_b).a= a²+b² – 2a² - by

বা, -(^ya/_b).a= b² – a² - by

বা, -ya.a = b(b² – a² – by)

বা, -ya² = b³ – a²b – b²y

বা, -ya²+b²y = b(b²-a²)

বা, y(b²-a²) = b(b²-a²)

বা, y = b

এখন, b এর এই মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x = 2a-^ba/_b

বা, x = 2a – a = a

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(a,b)

(iv)

^x/₁₄+^y/₁₈=1

^(x+y)/₂+^(3x+5y)/₂ = 2

সমাধানঃ

^x/₁₄+^y/₁₈=1……(i)

^(x+y)/₂+^(3x+5y)/₂ = 2….(ii)

(ii) নং এর উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,

x+y+3x+5y = 4

বা, 4x+6y = 4

বা, 2x+3y = 2

বা, 2x = 2-3y

বা, x = ^(2-3y)/₂….(iii)

এখন x এর এই মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

^(2-3y)/₂₈+^y/₁₈=1

বা, 9(2-3y)+14y = 252 [উভয়পক্ষকে 252 দ্বারা গুণ করে]

বা, 18-27y+14y = 252

বা, -13y = 252-18

বা, -13y = 234

বা, y = -18

এখন, y এর এই মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x = ^{2-3*(-18)}/₂ = ⁽²⁺⁵⁴⁾/₂ = ⁵⁶/₂ = 28

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(28,-18) 

v) p(x + y) = q(x - y) = 2pq

সমাধানঃ

p(x + y) = 2pq…..(i)

q(x - y) = 2pq…..(ii)

(i) নং হতে পাই,

x+y=2q

বা, x = 2q-y ……(iii)

এখন, x এর এই মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

q(2q-y - y) = 2pq

বা, q(2q-2y) = 2pq

বা, q2(q-y) = 2pq

বা, (q-y) = p

বা, -y = p-q

বা, y = q-p

এখন, y এর এই মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x = 2q-(q-p) = 2q-q+p = q+p

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(q+p,q-p)

4. অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করো।

(i)

3x-5y=-9

5x-3y=1

সমাধানঃ

3x-5y=-9

বা, 9x-15y = -27 …(i) [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]

আবার,

5x-3y=1

বা, 25x-15y=5…..(ii) [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে]

এখন, (ii) – (i) করে পাই,

16x = 32

বা, x = 2

এখন,(ii) নং এ x=2 বসিয়ে পাই,

25x-15y=5

বা, 25.2 – 15y = 5

বা, 50 – 15y = 5

বা, -15y = 5 - 50

বা, -15y = -45

বা, y = 3

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y)=(2,3)

(ii)

x+1     4

---- = ----

y+1      5

x-5    

---- = ½

y-5     

সমাধানঃ

x+1      4

----- = ----

y+1      5

বা, 5(x+1) = 4(y+1)

বা, 5x+5 = 4y+4

বা, 5x-4y = 4-5

বা, 5x-4y = -1……(i)

আবার,

x-5    

---- = ½

y-5     

বা, 2(x-5) = 1(y-5)

বা, 2x-10 = y-5

বা, 2x-y = -5+10

বা, 2x-y = 5

বা, 8x-4y = 20……(ii) [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

এখন, (i) – (ii) করে পাই,

-3x = -1-20

বা, -3x = -21

বা, x = 7

এখন, x=7, (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

8.7-4y = 20

বা, 56-4y = 20

বা, -4y = 20 – 56

বা, -4y = -36

বা, y = 9

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y)=(7,9)

(iii)

2x+³/_y=5

5x-²/_y=3

সমাধানঃ

2x+³/_y=5

বা, 4x+⁶/_y=10…..(i) [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]

আবার,

5x-²/_y=3

বা, 15x-⁶/_y=9…..(ii) [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]

এখন, (i)+(ii) যোগ করে পাই,

19x = 19

বা, x = 1

এখন, x=1, এই মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

15.1-⁶/_y=9

বা, -⁶/_y=9-15

বা, -⁶/_y= -6

বা, -6y = -6

বা, y = 1

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ (x,y)=(1,1)

(iv)

ax+by=1

bx+ay=2ab/(a²+b²)

সমাধানঃ

ax+by=1

বা, abx+b²y=b…..(i) [উভয়পক্ষকে b দ্বারা গুণ করে]

আবার,

bx+ay=2ab/(a²+b²)

বা, abx+a²y=2a²b/(a²+b²)….(ii) [উভয়পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে]

এখন, (ii) – (i) করে পাই,

a²y- b²y =2a²b/(a²+b²) – b

                  2a²b-b(a²+b²)

বা, y(a²-b²)=---------------

                    a²+b²

                  2a²b-a²b-b³

বা, y(a²-b²)=---------------

                    a²+b²

                    a²b-b³

বা, y(a²-b²)=---------------

                     a²+b²

                    b(a²-b²)

বা, y(a²-b²)=---------------

                      a²+b²

             b

বা, y=------------

           a²+b²

এখন, ax+by=1 সমীকরণে y এর প্রাপ্ত মান বসিয়ে পাই,

ax+^b.b/_(a2_+b2₎ =1

     ax(a²+b²)+b²

বা, ------------- = 1

        a²+b²

বা, ax(a²+b²)+b² = a²+b²

বা, ax(a²+b²) = a²+b²-b²

বা, ax(a²+b²) = a²

বা, x(a²+b²) = a

             a

বা, x=------------

           a²+b²

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ

         a

x=------------ এবং

       a²+b²

         b

y=----------

       a²+b²  

5. আড়গুণন বা বজ্রগুণন পদ্ধতিতে সমাধান করো।

(i)

3x-2y=2

7x+3y=43

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে আমরা নিন্মরুপে লিখতে পারিঃ

3x-2y-2=0

7x+3y-43=0

তাহলে, বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

        x                       1

------------------ = ---------------

(-2)(-43)-(-2)(3)   (3)(3)-(7)(-2)

          x            1

বা, -------- = ----------

     86-(-6)    9-(-14)

       x         1

বা, ----- = -------

      92       23

বা, 23x = 92

বা, x = 4

আবার,

        y                       1

------------------ = -------------

(-2)(7)-(-43)(3)   (3)(3)-(7)(-2)

          y               1

বা, ----------- = ----------

    -14-(-129)     9-(-14)

       y         1

বা, ----- = -------

     115      23

বা, 23y = 115

বা, y = 5

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y) = (4,5)

(ii)

^x/₂+^y/₃=8

^5x/₄-3y=-3

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে আমরা নিন্মরুপে লিখতে পারিঃ

^x/₂+^y/₃ – 8 = 0

^5x/₄-3y + 3 = 0

তাহলে, বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

        x                       1

---------------- = -------------------

(¹/₃)(3)-(-3)(-8)   (½)(-3)-(⁵/₄)(¹/₃)

          x            1

বা, -------- = ----------

     1-(24)   -³/₂-(⁵/₁₂)

       x           1

বা, ------ = -------

     -23      -²³/₁₂

বা, -²³/₁₂.x = -23

বা, -23x = -23*12

বা, x = 12

আবার,

        y                       1

----------------    = ---------------

(-8)(⁵/₄)-(3)(¹/₂)   (½)(-3)-(⁵/₄)(¹/₃)

          y            1

বা, -------- = ----------

    -10-(³/₂)  -³/₂-(⁵/₁₂)

         y           1

বা, ------ = -------

      -²³/₂       -²³/₁₂

বা, -²³/₁₂.y = ²³/₂

বা, y = -²³/₂. -¹²/₂₃

বা, y = 6

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y) = (12,6)

(iii)

px+qy=p²+q²

2qx-py=pq

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে আমরা নিন্মরুপে লিখতে পারিঃ

px+qy-p²-q²=0

2qx-py-pq=0

তাহলে, আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

        x                            1

------------------- = ----------------

(q)(-pq)-(-p)(-p²-q²)  (p)(-p)-(2q)(q)

           x                  1

বা, ----------- = ----------

     -pq²-p³-pq²  -p²-2q²

         x            1

বা, -------- = -------

    -2pq²-p³   -p²-2q²

         x             1

বা, --------- = -------

    p(-2q²-p²)   -p²-2q²

বা, ^x/_p = 1

বা, x = p

আবার,

        y                            1

------------------- = ----------------

(-p²-q²)(2q)-(-pq)(p)  (p)(-p)-(2q)(q)

           y                   1

বা, -------------- = ----------

    -2p²q-2q³+p²q  -p²-2q²

         y             1

বা, --------- = -------

    -p²q-2q³   -p²-2q²

         y             1

বা, --------- = -------

    q(-p²-2q²)   -p²-2q²

বা, ^y/_q = 1

বা, y = q

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y) = (p,q)

(iv)

ax-by=ab

bx-ay=ab

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে আমরা নিন্মরুপে লিখতে পারিঃ

ax-by-ab=0

bx-ay-ab=0

তাহলে, আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,

        x                        1

----------------- = --------------

(-b)(-ab)-(-a)(-ab)   (a)(-a)-(b)(-b)

          x               1

বা, -------- = ----------

     ab²-a²b     -a²+b²

         x            1

বা, ------ = -----------

   ab(b-a)    (b-a)(b+a)

বা, x(b-a)(b+a) = ab(b-a)

বা, x(b+a) = ab

             ab

বা, x = ---------

            a+b

আবার,

       y                      1

-------------- = --------------

(-ab)b-(-ab)a   (a)(-a)-(b)(-b)

          y               1

বা, -------- = ----------

    -ab²+a²b     -a²+b²

         y            1

বা, ------ = -----------

   ab(a-b)    (b-a)(b+a)

বা, y(b-a)(b+a) = ab(a-b)

বা, y(b-a)(b+a) = -ab(b-a)

বা, y(b+a) = -ab

            -ab

বা, y = ---------

            a+b

অতএব, নির্নেয় সমাধানঃ

         ab

x = --------- এবং

         a+b

         -ab

y = ---------

         a+b

6. অপুর একটি আয়তাকার সবজি বাগান আছে। বাগানটির পরিসীমা 120 মিটার। প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে এবং দৈর্ঘ্য থেকে 3 মিটার কমালে পরিসীমা হয় 150 মিটার।

ক) বাগানটি 3 পাশে ঘেরা আছে এবং দৈর্ঘ্য বরাবর এক পাশে ফাঁকা আছে। ফাঁকা পাশ বেড়া দিয়ে ঘিরে দিতে প্রতি মিটার 10 টাকা হিসাবে মোট কত টাকা খরচ হবে?

খ) যদি প্রতি বর্গমিটারে জৈবিক সারের জন্য 7 টাকা খরচ হয়, তাহলে সার বাবদ অপুর মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধানঃ

ধরি,

অপুর আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার।

তাহলে, শর্তমতে,

2(x+y) = 120 ……(i)

2{2y+(x-3)} = 150……(ii)

এখন, (i) নং থেকে পাই,

x+y = 60

বা, x = 60-y ….(iii)

x = 60-y, (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

2{2y+(60-y-3)} = 150

বা, 2y+(60-y-3) = 75

বা, 2y+60-y-3 = 75

বা, y = 75 – 60 + 3

বা, y = 18

y এর এই মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x = 60 – 18 = 42

ক)

আমরা, উপরোক্ত সমাধান প্রক্রিয়া থেকে বাগানের দৈর্ঘ্য পাই, x = 42 মিটার।

ক এর শর্ত অনুসারে বাগানের দৈর্ঘ্য বরাবর এক পাশ ফাঁকা আছে অর্থাৎ 42 মিটার ফাঁকা আছে।

এখন,

1 মিটার বেড়া দিতে খরচ হয় 10 টাকা

∴ 42 মিটার বেড়া দিতে খরচ হয় 10*42 টাকা = 420 টাকা।

খ)

বাগানের দৈর্ঘ্য x = 42 মিটার এবং প্রস্থ y = 18 মিটার।

∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = 42*18 বর্গ মিটার = 756 বর্গ মিটার।

এখন,

1 বর্গমিটারে জৈবিক সারের জন্য খরচ হয় 7 টাকা

∴ 756 বর্গমিটারে জৈবিক সারের জন্য খরচ হয় 7*756 টাকা = 5292 টাকা।

7. x² – 3 = 0 সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ণয় করো এবং সমাধান করো।

সমাধানঃ

আমরা জানি,

দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপঃ ax² + bx + c = 0

∵ প্রদত্ত সমীকরণের আদর্শ রুপঃ 1.x²+0.x + (-3) = 0

তাহলে, প্রদত্ত সমীকরনের নিশ্চায়কঃ b²-4ac = 0²-4.1.(-3) = 12

এখন, 12 > 0 এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

তাহলে, প্রদত্ত সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ [মূলের প্রকৃতি নির্নয় করা হলো]।

সমাধানঃ

দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ অনুসারে:

      -b±√(b²-4ac)

x = ----------------

            2a

         -0±√{0²-4.1.(-3)}

বা, x = -------------------

                  2.1

            ± √12

বা, x = -----------

               2

           ± √(4.3)

বা, x = -----------

               2

          ± 2√3

বা, x = -----------

              2

বা, x = ± √3

সুতরাং, সমীকরণটির মূল দুইটিঃ x₁ = √3 এবং x₂ =-√3

8. 3x² - 2x - 1 = 0 সমীকরণটি সূত্রের সাহায্যে সমাধান করো। আবার সমীকরণটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে দেখাও যে, উভয় পদ্ধতিতে একই সমাধান পাওয়া যায়।

সমাধানঃ

3x² - 2x - 1 = 0 কে ax²+bx+c=0 সমীকরণের সাথে তুলনা করলে পাই,

a = 3, b = -2, c = -1

তাহলে,

      -b±√(b²-4ac)

x = ----------------

               2a

         -(-2)±√{(-2)²-4.3.(-1)}

বা, x = -----------------------

                   2.3

           2±√(4+12)

বা, x = -----------

               6

            2±√16

বা, x = -----------

               6

             2±4

বা, x = ----------

              6

সুতরাং, x₁ = ⁽²⁺⁴⁾/₆ = 1 এবং, x₂ = ^(2-4)/₆ = -²/₆ = -¹/₃

লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধানঃ

মনে করি,

y = 3x² - 2x – 1

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-2	15
-1	4
0	-1
1	0
2	7
-1/3	0

গ্রাফ কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে উপরের বিন্দুগুলো স্থাপন করে নিন্মের লেখচিত্রটি অংকন করি।

লক্ষ করি, লেখচিত্রটি x অক্ষকে (-¹/₃,0) ও (1,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ এই বিন্দুদ্বয়ের মানই প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান।

সুতরাং, x₁ = 1 এবং, x₂ = -¹/₃

অতএব, সূত্রের সাহায্যে ও লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান করে দেখা গেল উভয় পদ্ধতিতে একই ফলাফল পাওয়া যায় (দেখানো হলো)।

9. সেতুর মা বাড়িতে হাঁস ও মুরগী পালন করে। তিনি 5000 টাকা দিয়ে 25টি হাঁসের বাচ্চা এবং 30টি মুরগীর বাচ্চা কিনলেন। যদি তিনি একই দরে 20 টি হাঁসের বাচ্চা এবং 40টি মুরগীর বাচ্চা কিনতেন তবে তাঁর 500 টাকা কম খরচ হত।

ক) একটি হাঁসের বাচ্চা ও একটি মুরগীর বাচ্চার দাম কত?

খ) কিছুদিন লালনপালনের পরে প্রতিটি হাঁস 250 টাকা এবং প্রতিটি মুরগী 160 টাকা দরে বিক্রি করলে তাঁর মোট কত টাকা লাভ হবে?

সমাধানঃ

(ক)

মনে করি,

সেতুর মা যেসকল হাঁসের বাচ্চা কেনেন তার প্রতিটার মূল্য = x টাকা এবং যেসকল মুরুগীর বাচ্চা কেনেন তার প্রতিটার মূল্য = y টাকা।

তাহলে ১ম শর্ত মতে,

25x+30y = 5000

বা, 5(5x+6y)=5000

বা, 5x+6y = 1000…….(i)

এবং ২য় শর্ত মতে,

20x+40y = 5000 – 500

বা, 20x+40y = 4500

বা, 20(x+2y)=4500

বা, x+2y = 225

বা, x = 225-2y…..(iii)

এখন, x = 225-2y, (i) নং এ বসিয়ে পাই,

5(225-2y)+6y = 1000

বা, 1125 – 10y + 6y = 1000

বা, -4y = 1000 – 1125

বা, -4y = -125

বা, y = 31.25

x = 225-2y = 225 – 2*31.25 = 162.50

অতএব, একটি হাঁসের বাচ্চা 162.50 টাকা ও একটি মুরগীর বাচ্চার দাম 31.25 টাকা।

খ)

সেতুর মায়ের ক্রয়কৃত হাঁসের বাচ্চার সংখ্যা = 25 টি এবং ক্রয়কৃত মুরগির বাচ্চার সংখ্যা = 30 টি।

কিছুদিন লালন পালনের পর ক্রয়কৃত ১টি হাঁসের বিক্রয় মূল্য 250 টাকা হলে 25 টি হাঁসের বিক্রয় মূল্য = 250*25 টাকা = 6250 টাকা।

আবার,

কিছুদিন লালন পালনের পর ১ টি মুরগির বিক্রয় মূল্য 160 টাকা হলে 30 টি হাঁসের বিক্রয় মূল্য = 160*30 টাকা = 4800 টাকা।

তাহলে, মোট বিক্রিত মূল্য = 6250 + 4800 টাকা = 11050 টাকা।

কিন্তু, এগুলোর ক্রয়মূল্য ছিল = 5000 টাকা।

অতএব, সেতুর মায়ের লাভ হলোঃ (11050 - 5000) টাকা = 5050 টাকা।

10. নিচের সহসমীকরণের সমাধান করো:

y = x² - 2x - 3

x - 3y + 1 = 0

সমাধানঃ

y = x² - 2x – 3……(i)

x - 3y + 1 = 0……(ii)

(i) নং হতে y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

x – 3(x²-2x-3) + 1 =0

বা, x – 3x²+6x+9 + 1 = 0

বা, -3x²+7x+10 = 0

বা, 3x² – 7x – 10 = 0

বা, 3x² + 3x - 10x – 10 = 0

বা, 3x(x+1) - 10(x+1) = 0

বা, (x+1)(3x-10) = 0

বা, 3x-10 = 0 অথবা, x+1=0

বা, 3x = 10       বা, x = -1

বা, x = ¹⁰/₃ 

এখন, x = -1; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = (-1)² – 2.(-1) – 3 = 1+2-3 = 0

এবং x = ¹⁰/₃; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = (¹⁰/₃)² – 2.(¹⁰/₃) – 3 = ¹⁰⁰/₉ - ²⁰/₃ – 3 =  ¹³/₉

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y) = (-1,0),(¹⁰/₃,¹³/₉)

11. নিজের মতো করে দুই চলকবিশিষ্ট 3 সেট (একটি সরল ও একটি দ্বিঘাত) সহসমীকরণ গঠন করো এবং সমাধান করো।

সমাধানঃ

গঠনকৃত সহসমীকরণের ১ম সেটঃ

y = x² - x - 2 …….(i)

x - 2y + 5 = 0……..(ii)

সমাধান প্রক্রিয়াঃ

(i) নং হতে y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

x – 2(x² - x - 2) + 5 = 0

বা, x – 2x² + 2x + 4 + 5 = 0

বা, -2x²+3x+9 = 0

বা, 2x²-3x-9 = 0

বা, 2x²-6x+3x-9 = 0

বা, 2x(x-3)+3(x-3)

বা, (2x+3)(x-3) = 0

বা, 2x+3 = 0 অথবা, x-3 = 0

বা, 2x = -3   বা, x = 3

বা, x = -³/₂

এখন, x = 3; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = 3² – 3 – 2 = 9-3-2 = 4

এবং x = ¹⁰/₃; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = (-³/₂)² – (-³/₂)– 2 = ⁹/₄ + ³/₂ – 2 =  ⁷/₄

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y) = (3,4),(-³/₂,⁷/₄)

গঠনকৃত সহসমীকরণের ২য় সেটঃ

y = x² - 3x + 2 …….(i)

x - y - 1 = 0……..(ii)

সমাধান প্রক্রিয়াঃ

(i) নং হতে y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

x – (x² -3 x + 2) - 1 = 0

বা, x – x² + 3x - 2 - 1 = 0

বা, -x²+4x-3 = 0

বা, x²-4x+3 = 0

বা, x²-3x-x+3 = 0

বা, x(x-3)-1(x-3)

বা, (x-1)(x-3) = 0

বা, x-3 = 0 অথবা, x-1 = 0

বা, x = 3   বা, x = 1

এখন, x = 3; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = 3² – 3.3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2

এবং x =1; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = 1² – 3.1 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y) = (3,2),(1,0)

গঠনকৃত সহসমীকরণের ৩য় সেটঃ

y = 2x² -2x - 3…….(i)

x - y - 4 = 0……..(ii)

সমাধান প্রক্রিয়াঃ

(i) নং হতে y এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

x – (2x² -2x - 3) - 4 = 0

বা, x – 2x² + 2x + 3 - 4 = 0

বা, -2x²+3x-1 = 0

বা, 2x²-3x+1 = 0

বা, 2x²-x-2x+1 = 0

বা, x(2x-1)-1(2x-1)

বা, (x-1)(2x-1) = 0

বা, 2x-1 = 0 অথবা, x-1 = 0

বা, 2x = 1   বা, x = 1

বা, x = ½

এখন, x = 1; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = 2.1² -2.1 – 3 = 2 – 2 – 3 = -3

এবং x = ½; (i) নং এ বসিয়ে পাই,

y = 2.(½)² -2.½ – 3 = ½ -1 – 3 = -8/2 = -⁷/₂

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y) = (1,-3),(½,-⁷/₂)

প্রকৃতি ও প্রযুক্তিতে বহুপদী রাশি (polynomial expression)- Class 9 Math BD 2024 – চতুর্থ অধ্যায় (অনুশীলনী: 1 - 8 পর্যন্ত)

 

অনুশীলনী-৪

১. তিনটি বাস্তব উদাহরণ থেকে বহুপদী রাশি গঠন করো।

সমাধানঃ

(i) টাকা জমানোর প্লান এর উদাহরণঃ

রহিমের কাছে 100 টাকা আছে এবং সে প্রতি মাসে 50 টাকা করে জমাতে চায়। তাহলে n মাস পর তার জমা টাকার পরিমাণ S(n) হলে, উক্ত টাকা জমানোর প্লানের বহুপদী রাশিঃ

S(n) = 50n + 100

(ii) চাল-ডালের হিসাবের উদাহরণঃ

করিম বাজারে গিয়ে দেখল প্রতি কেজি চাল ও ডালের দাম যথাক্রমে x ও y টাকা। তিনি 6 কেজি চাল ও 2 কেজি ডাল কিনলেন। তাহলে, করিম সাহেবের চাল ডাল বাবদ খরচকে আমরা নিন্মোক্ত বহুপদী রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি।

মোট খরচ = 6x + 2y

(iii) জমির ক্ষেত্রফলের উদাহরণঃ

সমরেশ বাবুর একখন্ড আয়তাকার জমি আছে যার দৈর্ঘ্য x ও প্রস্থ y. তাহলে, সমরেশ বাবুর জমির ক্ষেত্রফলকে আমরা বহুপদী রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি যা নিন্মরুপ।

জমির ক্ষেত্রফল = xy

২. নিচের নির্দেশনা মোতাবেক বহুপদী রাশির উদাহরণ দাও।

i) এক চলক, ত্রিমাত্রিক, দ্বিপদী

ii) এক চলক, ত্রিমাত্রিক, চতুর্পদী

iii) দুই চলক, ত্রিমাত্রিক, দ্বিপদী

iv) দুই চলক, ত্রিসমমাত্রিক, ত্রিপদী

v) চার চলক, চক্রক্রমিক, চতুর্মাত্রিক

সমাধানঃ

(i) 3x³-2x

(ii) 3x³-2x²-3x + 2

(iii) x³ + y³

(iv) x³ + x²y + xy²

(v) x⁴+y⁴+z⁴+m⁴

[আমাদের এই অংশ বা অধ্যায়ের নাম প্রকৃতি ও প্রযুক্তিতে বহুপদী রাশি, যা অনুশীলনীভিত্তিক সমাধান নিয়ে সাজানো। আমাদের সাথে থাকার জন্য ধন্যবাদ।]

৩. উদাহরণ দাও:

i) সমমাত্রিক, প্রতিসম, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি,

ii) সমমাত্রিক, প্রতিসম বহুপদী রাশি কিন্তু চক্রক্রমিক নয়,

iii) সমমাত্রিক, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি কিন্তু প্রতিসম নয়,

iv) প্রতিসম, চক্রক্রমিক বহুপদী রাশি, কিন্তু সমমাত্রিক নয়।

সমাধানঃ

(i) x²+y²+z²

(ii) x²+y² – z²

(iii) xy + yz + zx

(iv) x³+y³+z³ – 3x²y²z²

৪.

i) ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে x⁴ - 3x² + 1 কে 2x² - 3 দ্বারা ভাগ করো।

সমাধানঃ

2x²-3)  x⁴ - 3x² + 1 ( ½x² – ¾

            -(x⁴–³/₂x²)   

        ------------------------

                   -³/₂x² + 1

                  -(-³/₂x² + ⁹/₄)

         ---------------------------

                                 -⁵/₄

∵ নির্ণেয় ভাগফল

                         ⁵/₄

= ½x² – ¾ – ------------

                        2x²-3

ii) ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে 5x³ - 3x - 2 কে 3x - 2 দ্বারা ভাগ করো এবং ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে তোমার পাওয়া ভাগশেষের সত্যতা যাচাই করো।

সমাধানঃ

3x – 2 ) 5x³ – 3x – 2 ( ⁵/₃x² + ¹⁰/₉x – ⁷/₂₇

         – (5x³ – ¹⁰/₃x²)

       -------------------------

                    ¹⁰/₃x² – 3x

                 - ( ¹⁰/₃x² – ²⁰/₉x)

        -----------------------------

                          -⁷/₉x – 2

                        -(-⁷/₉x + ¹⁴/₂₇)

       --------------------------------

                                     -⁶⁸/₂₇

∵ প্রাপ্ত ভাগশেষ = -⁶⁸/₂₇

ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রাপ্ত ভাগশেষের সত্যতা যাচাইঃ

এখানে, P(x) = 5x³ – 3x – 2

এবং 3x – 2, P(x) এর একটি উৎপাদক।

তাহলে, x = ²/₃ ধরে P(x) এর মান নির্ণয় করি।

P(²/₃) = 5(²/₃)³ – 3(²/₃) – 2

     = 5.⁸/₂₇ – 2 – 2

    = ⁴⁰/₂₇ – 4

       40 – 108

  = --------------

              27

    = -⁶⁸/₂₇

     = প্রাপ্ত ভাগশেষের সমান [সত্যতা যাচাই করা হলো]

৫. নিচের বহুপদী রাশিগুলোর কোনটি বাস্তব মৌলিক রাশি তা নির্ণয় করো। যেগুলো বাস্তব মৌলিক রাশি নয় সেগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

i) x² - 5x - 14

সমাধানঃ

ধরি,P(x) = x² - 5x – 14

এখন, x = 7 হলে,

P(7) = 7² – 5.7 – 14 = 49 – 35 – 14 = 49 – 49 = 0

∵ (x-7), প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক, অর্থাৎ x² - 5x – 14 একটি বাস্তব মৌলিক রাশি নয়।

উৎপাদকে বিশ্লেষণঃ

x² - 5x – 14

= x² – 7x + 2x -14

= x(x-7) +2(x-7)

= (x-7)(x+2)

ii) x² - 5x + 2

সমাধানঃ

আমরা জানি,

ax²+bx+c = 0 এর ক্ষেত্রে,

       -b ± √(b²-4ac)

x = --------------------

              2a

তাহলে, x² - 5x + 2 = 0 এর ক্ষেত্রে,

    5 ± √{(-5)²-4.1.2}

x = --------------------

              2.1

           5 ± √17

বা, x = -----------------

                   2

এখন √17 একটি অমূলদ সংখ্যা, সেহেতু x এর এই মানের জন্য x² - 5x + 2 কে সরল বহুপদী রাশির মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে না। এমতাবস্থায়, x² - 5x + 2, [x ≠ 0] দ্বিঘাত রাশিটি একটি বাস্তব মৌলিক রাশি।

iii) 2x² + 3x + 1

সমাধানঃ

ধরি,P(x) = 2x² + 3x + 1

এখন, x = -1 হলে,

P(-1) = 2.(-1)² + 3.(-1) + 1 = 2 – 3 +1 = 3 – 3 = 0

∵ (x+1), প্রদত্ত রাশির একটি উৎপাদক, অর্থাৎ 2x² + 3x + 1 একটি বাস্তব মৌলিক রাশি নয়।

উৎপাদকে বিশ্লেষণঃ

2x² + 3x + 1

= 2x² + 2x + x +1

= 2x(x+1)+1(x+1)

= (x+1)(2x+1)

iv) 3x² + 4x – 1

সমাধানঃ

আমরা জানি,

ax²+bx+c = 0 এর ক্ষেত্রে,

    -b ± √(b²-4ac)

x = --------------------

              2a

তাহলে, 3x² + 4x -1 = 0 এর ক্ষেত্রে,

    -4 ± √(4²-4.3.-1}

x = --------------------

              2.3

           -4 ± √28

বা, x = -----------------

                   6

এখন √28 একটি অমূলদ সংখ্যা, সেহেতু x এর এই মানের জন্য 3x² + 4x - 1 কে সরল বহুপদী রাশির মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে না। এমতাবস্থায়, 3x² + 4x -1, [x ≠ 0] দ্বিঘাত রাশিটি একটি বাস্তব মৌলিক রাশি।

৬. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর:

i) x³ - 5x + 4

সমাধানঃ

ধরি, P(x) = x³ - 5x + 4

এখন, x=1 হলে,

P(1) = 1³-5.1+4 = 1 – 5 + 4 = 0

তাহলে, (x-1) হলো  x³ - 5x + 4 এর একটি উৎপাদক।

অতএব,

x³ - 5x + 4

= x²(x-1) + x(x-1) - 4(x-1)

= (x-1)(x²+x-4) [Ans.]

ii) x³ - 3x² + 3x - 2

সমাধানঃ

ধরি, P(x) = x³ - 3x² + 3x - 2

এখন, x= 2 হলে,

P(2) = 2³ – 3.2² + 3.2 – 2 = 8 – 12 + 6 – 2 = 14 – 14 = 0

তাহলে, (x-2) হলো  x³ - 3x² + 3x - 2 এর একটি উৎপাদক।

অতএব,

x³ - 3x² + 3x - 2

= x²(x-2) - x(x-2) + 1(x-2)

= (x-2)(x²-x+1) [Ans.]

iii) x⁵ - 16xy⁴

সমাধানঃ

x⁵ - 16xy⁴

= x(x⁴-16y⁴)

= x{x⁴-(2y)⁴}

= x[{(x²)²-{(2y)²}²]

= x{x²+(2y)²}{(x²-(2y)²}

= x(x²+4y²)(x+2y)(x-2y) [Ans.]

৭. একটি ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য অন্য একটি ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্যের বিপরীত গুণিতক। চৌবাচ্চা দুইটির দৈর্ঘ্যের যোগফল 3 ফুট হলে, তাদের আয়তনের যোগফল কত?

সমাধানঃ

ধরি, ১ম ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = x

∵ ২য় ঘনক আকৃতির চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ¹/_x

শর্তানুসারে,

x+¹/_x = 3

বা, x² + 1 = 3x [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে]

বা, x²-3x+1 = 0

এখন, আমরা জানি,

ax²+bx+c = 0 এর ক্ষেত্রে,

    -b ± √(b²-4ac)

x = --------------------

              2a

তাহলে, x²-3x+1 = 0 এর ক্ষেত্রে,

     3 ± √{(-3)²-4.1.1}

x = --------------------

              2.1

            3 ± √5

বা, x = -----------

               2

বা, x = 0.38196 ফুট (প্রায়) অথবা, x = 2.61803 ফুট (প্রায়)

বা, ¹/_x = ¹/_0.38196 = 2.61803 ফুট (প্রায়) অথবা, ¹/_x = ¹/_2.61803 = 0.38196 ফুট (প্রায়)

তাহলে,

ঘনক দুইটির আয়তনের যোগফল

= x³ + (¹/_x)³

= (0.38196)³ + (2.61803)³

= 18 ঘন ফুট (প্রায়) [Ans.]

৮. আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:

            x+1

i) ---------------------

      (x-1)²(x²+1)²

সমাধানঃ

এর সমাধান পরে দেওয়া হবে, ধন্যবাদ।

       x³+1

ii) ------------

        x²+1

সমাধানঃ

x² + 1 ) x³ + 1 ( x

           -(x³ + x)

         -------------

                -x + 1

এখানে, ভাগফল = x ও ভাগশেষ = -x+1

       x³+1

∵ ------------

        x²+1

           -x+1

= x + ------------

            x²+1

            x-1

= x - ------------

            x²+1

             x-1

অর্থাৎ,  --------- হলো

            x²+1

একটি আংশিক ভগ্নাংশ।

লগারিদমের ধারণা ও প্রয়োগ - Class 9 Math BD 2024 – তৃতীয় অধ্যায় (অনুশীলনীর 1 - 9 পর্যন্ত)

 

অনুশীলনী-৩

1. বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে মান নির্ণয় করো:

(i) 2³√343 + 2⁵√243 - 12⁶√64

সমাধানঃ

2³√343 + 2⁵√243 - 12⁶√64

= 2³√(7³) + 2⁵√(3⁵) - 12⁶√(2⁶)

= 2(7³)^1/3 + 2(3⁵)^1/5 - 12(2⁶)^1/6

= 2×7 + 2×3 – 12×2

= 14 + 6 – 24

= - 4 (Ans.)

     y^a+b    y^b+c     y^c+a

(ii) ----- × ----- × -----

      y^2c      y^2a       y^2b

সমাধানঃ

 y^a+b    y^b+c     y^c+a

 ----- × ----- × -----

  y^2c      y^2a       y^2b

= y^a+b-2c × y^b+c-2a × y^c+a-2b

= y^{a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b}

= y⁰

= 1

2. বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে প্রমাণ করো যে,

(z^a/z^b)^a+b-c × (z^b/z^c)^b+c-a × (z^c/z^a)^c+a-b = 1

সমাধানঃ

(z^a/z^b)^a+b-c × (z^b/z^c)^b+c-a × (z^c/z^a)^c+a-b

= z^(a-b)(a+b-c) × z^(b-c)(b+c-a) × z^(c-a)(c+a-b)

= z^{(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)}

এখন,

(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)

= (a²-ab+ab-b²-ca+bc) + (b²-bc+bc-c²-ab+ca) + (c²-ca+ca-a²-bc+ab)

= (a²-b²-ca+bc) + (b²-c²-ab+ca) + (c²-a²-bc+ab)

= (a²-b²+b²-c²+c²-a²) + (-ca+bc-ab+ca-bc+ab)

= 0 + 0

= 0

অতএব,

z^{(a-b)(a+b-c) + (b-c)(b+c-a) + (c-a)(c+a-b)}

= z⁰

= 1 [proved]

3. নিচের সূচক সমতাকে লগের মাধ্যমে প্রকাশ করো এবং বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে x এর মান বের করো।

(i) 2^x = 64

সমাধানঃ

2^x = 64

বা, log₂(2^x) = log₂(64) [উভয় পাশে log₂ নিয়ে ]

বা, log₂(2^x) = log₂(64)

বা, x.log₂^x = log₂(64)

বা, x.1 = log₂(64) [যেহেতু, log_a^a = 1]

বা, x.1 = 6 [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে]

বা, x = 6 [Ans]

(ii) (1.2)^x = 100

সমাধানঃ

(1.2)^x = 100

বা, log_1.2(1.2^x) = log_1.2(100) [উভয় পাশে log_1.2 নিয়ে ]

বা, x.log_1.2^1.2 = log_1.2(100)

বা, x.1 = log_1.2(100) [যেহেতু, log_a^a = 1]

বা, x.1 = 25.2585 (প্রায়) [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে]

বা, x = 25.2585 (প্রায়) [Ans]

(iii) 7^x = 5

সমাধানঃ

7^x = 5

বা, log₇(7^x) = log₇(5) [উভয় পাশে log₇ নিয়ে ]

বা, log₇(7^x) = log₇(5)

বা, x.log₇⁷ = log₇(5)

বা, x.1 = log₇(5) [যেহেতু, log_a^a = 1]

বা, x.1 = 0.8271 (প্রায়) [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে]

বা, x = 0.8271 (প্রায়) [Ans]

(iv) (²/₃)^x = 7

সমাধানঃ

(²/₃)^x = 7

বা, log_2/3(²/₃^x) = log_2/3(7) [উভয় পাশে log_2/3 নিয়ে]

বা, log₇(7^x) = log_2/3(7)

বা, x.log₇⁷ = log_2/3(7)

বা, x.1 = log_2/3(7) [যেহেতু, log_a^a = 1]

বা, x.1 = -4.799 (প্রায়) [বৈজ্ঞানিক ডিভাইস ব্যবহার করে]

বা, x = -4.799 (প্রায়) [Ans]

4. 10% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হারে চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত বছরে 3 গুণ হবে?

সমাধানঃ

ধরি, প্রারম্ভিক মূলধন =P, চক্রবৃদ্ধি মূলধন A = 3P এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার হার r = 10% = 10/100 = 0.1.

সুতরাং সূত্র থেকে আমরা পাই,

3P = P(1 + 0.1)ⁿ [চক্রবৃদ্ধির সূত্র A=P(1+r)ⁿ মতে]

বা, 3 = (1+0.1)ⁿ

বা, 3 = (1.1)ⁿ

বা, n = log_1.13 ≈ 11.5267

সুতরাং মূলধন প্রায় 11.5267 বছরে দ্বিগুণ হবে।

5. করোনা ভাইরাসের নাম তোমরা সবাই জানো। এই ভাইরাস দ্রুত ছড়ায়। যদি করোনা ভাইরাস 1 জনের থেকে প্রতিদিন 3 জনে ছড়ায়, তবে 1 জন থেকে 1 মাসে মোট কতোজন করোনা ভাইরাসে আক্রান্ত হবে? কতোদিনে 1 কোটি মানুষ আক্রান্ত হবে?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

প্রাথমিক আক্রান্তের সংখ্যা = 1

আক্রান্তের হার = প্রতিদিন 3 জন

আক্রান্তের সময়কাল = ১ মাস = ৩০ দিন।

তাহলে,

মোট আক্রান্তের সংখ্যা

= প্রাথমিক আক্রান্তের সংখ্যা × (আক্রান্তের হার)^{আক্রান্তের সময়কাল}

= 1 × 3³⁰ জন

= 205891132094649 জন

আবার, 1 কোটি মানুষ আক্রান্তের ক্ষেত্রে সময়কাল T দিন হলে,

1×3^T = 10000000

বা, 3^T = 10000000

বা, log₃(3^T) = log₃(10000000) [উভয়পক্ষে log₃ নিয়ে]

বা, T.log₃³ = log₃(10000000)

বা, T.1 = log₃(10000000) [∵log_a^a= 1]

বা, T = log₃(10000000)

বা, T = 14.6713 দিন (প্রায়)

∵ প্রায় 14.6713 দিনে 1 কোটি মানুষ আক্রান্ত হবে।

6. সেতুর চাচার 3 বিঘা জমি আছে। তিনি তাঁর জমির উর্বরতা ঠিক রাখার জন্য প্রতিবছর 30 কেজি জৈব সার প্রয়োগ করেন। প্রতি কেজি সারে যদি প্রতি কাঠা জমির উর্বরতা 3% বৃদ্ধি করে, তবে সেতুর চাচার জমির অবচয় বের করো? তিনি যদি জমিতে সার প্রয়োগ না করতেন, তাহলে কত বছর পরে তাঁর জমিতে আর কোনো ফসল হবে না?

সমাধানঃ

3 বিঘা = 20×3 কাঠা = 60 কাঠা

ধরি, সার প্রয়োগের আগে প্রতি কাঠা জমির উর্বরতার = P

তাহলে, সার প্রয়োগের পর,

1 কেজি সারের জন্য 1 কাঠার উর্বরতা = P + P×3% = P + 0.03P = 1.03P

∵ 30 কেজি সারের জন্য 30 কাঠার উর্বরতা = 30×1.03P = 30.9P

শর্ত অনুসারে, বাকী 30 কাঠা জমির উর্বরতা বৃদ্ধি পায় না।

সেক্ষেত্রে, এই 30 কাঠার জমির উর্বরতা = 30P

তাহলে,

3 বিঘা বা 60 কাঠা জমির উর্বরতা (সার প্রয়োগের পর) = 30.9P+30P = 60.9P

এবং 3 বিঘা বা 60 কাঠা জমির উর্বরতা (সার প্রয়োগের আগে) = 60P

এখন যেহেতু সার প্রয়োগ করে জমির উর্বরতা ঠিক রাখা হয়, সেহেতু 60.9P হলো জমির প্রাথমিক উর্ববরতা এবং সার প্রয়োগ না করলে অর্থাৎ জমির অবচয়ের ফলে জমির উর্ব্বরতা কমে হয় 60P।

তাহলে, জমির অবচয়ের হার

= ^(60.9P-60P)/_60.9P×100 = 1.4778% (প্রায়)

কত বছর পর আর ফসল হবে না, সেই সময় নির্ণয়ঃ

আমরা জানি, জমির অবচয়ের সূত্রঃ P_T = P(1 - R)^T

এখানে, P = 60P [যেহেতু সার প্রয়োগ করা যাবে না]

R = 1.4778% (প্রায়)

P_T = ?; যেহেতু জমির উর্বরতা 1.4778% হারে কমতে থাকে সেহেতু P_T এর মান কখনো শূণ্য হবে না। তাই আমরা P_T = 0.6P ধরি যা 60P এর থেকে 99% কম।

T = ?, আমাদের নির্ণয় করতে হবে।

বা, 0.6P = 60P(1-1.4778%)^T  [উপরের প্রাপ্ত তথ্য হতে মান বসিয়ে, এখানে T হলো সময়কাল]

বা, ^0.6P/_60P = (1-0.014778)^T

বা, ^0.6/₆₀ = (0.985222)^T

বা, 0.01 = (0.985222)^T

বা, T = log_0.985222^0.01

বা, T = 309.315 (প্রায়)

∵ নির্ণেয় সময়কাল = 309 বছর এর বেশি।

7. 1918 সালের 8 জুলাই মৌলভীবাজারের শ্রীমঙ্গলে যে ভয়াবহ ভূমিকম্প সংঘটিত হয় রিক্টার স্কেলে তার মাত্রা 7.6 এবং 1997 সালের 22 নভেম্বর চট্টগ্রামে যে ভূমিকম্প সংঘটিত হয় যার মাত্রা 6.0 রেকর্ড করা হয়। শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পটি চট্টগ্রামের ভূমিকম্পের চেয়ে কতগুণ বেশি শক্তিশালী ছিল?

সমাধানঃ

মনে করি,

I₁ = শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পের তীব্রতা

I₂ = চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের তীব্রতা এবং

S = আদর্শ ভূমিকম্পের তীব্রতা

সুতরাং, রিক্টার স্কেলে-

শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পের মাত্রা = log₁₀(I₁/S) এবং

চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের মাত্রা= log₁₀(I₂/S)

প্রশ্নমতে,

log₁₀(I₁/S) = 7.6 ……(i)

log₁₀(I₂/S) = 6 …….(ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

log₁₀(I₁/S) - log₁₀(I₂/S) = 7.6 – 6

বা, (log₁₀I₁ - log₁₀S) – (log₁₀I₂ - log₁₀S) = 1.6

বা, log₁₀I₁ - log₁₀S – log₁₀I₂ + log₁₀S = 1.6

বা, log₁₀I₁ – log₁₀I₂ = 1.6

বা, log₁₀(I₁/I₂) = 1.6

এই লগারিদমীয় সম্পর্ককে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়,

10^1.6 = (I₁/I₂)

বা, (I₁/I₂) = 39.8107171

বা, I₁ = 39.8107171 × I₂

সুতরাং, শ্রীমঙ্গলের ভূমিকম্পটি চট্রগ্রামের ভূমিকম্পের চেয়ে 39.8107171 গুণ শক্তিশালী ছিল।

8. কোনো এক সময় জাপানে একটি ভূমিকম্প সংঘটিত হয়, রিক্টার স্কেলে যার মাত্রা 8 রেকর্ড করা হয়। ওই একই বছরে সেখানে আরও একটি ভূমিকম্প সংঘটিত হয় যা পূর্বের চেয়ে 6 গুণ বেশি শক্তিশালী। রিক্টার স্কেলে পরবর্তী ভূমিকম্পের মাত্রা কত ছিল?

সমাধানঃ

মনে করি,

I₁ = ১ম ভূমিকম্পের তীব্রতা

I₂ = ২য় ভূমিকম্পের তীব্রতা এবং

S = আদর্শ ভূমিকম্পের তীব্রতা

সুতরাং, রিক্টার স্কেলে-

১ম ভূমিকম্পের মাত্রা = log₁₀(I₁/S) এবং

২য় ভূমিকম্পের মাত্রা= log₁₀(I₂/S)

প্রশ্নমতে,

log₁₀(I₁/S) = 8 ……(i)

log₁₀(I₂/S) = x [ধরে] …….(ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

log₁₀(I₁/S) - log₁₀(I₂/S) = 8 – x

বা, (log₁₀I₁ - log₁₀S) – (log₁₀I₂ - log₁₀S) = 8-x

বা, log₁₀I₁ - log₁₀S – log₁₀I₂ + log₁₀S = 8-x

বা, log₁₀I₁ – log₁₀I₂ = 8-x

বা, log₁₀(I₁/I₂) = 8-x

এই লগারিদমীয় সম্পর্ককে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়,

10^8-x = (I₁/I₂)

বা, (I₁/I₂) = 10^8-x

বা, I₁ = 10^8-x × I₂ ……….(iii)

কিন্তু শর্ত অনুসারে,

I₂ = I₁ × 6

বা, I₁ = ¹/₆.I₂ ………(iv)

তাহলে, সমীকরণ (iii) ও (iv) হতে পাই,

10^8-x=¹/₆

বা, log₁₀(10^8-x)=log₁₀(¹/₆) [উভয় দিকে log₁₀ যোগ করে]

বা, (8-x).log₁₀¹⁰ = log₁₀(¹/₆)

বা, 8-x = log₁₀(¹/₆)

বা, -x = log₁₀(¹/₆) – 8

বা, x = 8 - log₁₀(¹/₆) = 8 – (-0.77815124951505) = 8.77815125 (প্রায়)

∵ নির্নেয় ভুমিকম্পের মাত্রা = 8.77815125 (প্রায়)

9. 1999 সালের জুলাই মাসে কক্সবাজারের মহেশখালিতে যে ভূমিকম্প হয় তার মাত্রা রেকর্ড করা হয়েছিল 5.2 এবং 2023 সালের 6 ফেব্রুয়ারি তুরস্কের দক্ষিণাংশে যে ভয়াবহ ভূমিকম্প সংঘটিত হয় তা মহেশখালির ভূমিকম্পের তীব্রতার চেয়ে 398 গুণ বেশি শক্তিশালী ছিল। তুরস্কের দক্ষিণাংশের ভূমিকম্পের মাত্রা কত ছিল? 

সমাধানঃ

মনে করি,

I₁ = তুরস্কের ভূমিকম্পের তীব্রতা

I₂ = মহেশখালির ভূমিকম্পের তীব্রতা এবং

S = আদর্শ ভূমিকম্পের তীব্রতা

সুতরাং, রিক্টার স্কেলে-

তুরস্কের ভূমিকম্পের মাত্রা = log₁₀(I₁/S) এবং

মহেশখালির ভূমিকম্পের মাত্রা= log₁₀(I₂/S)

প্রশ্নমতে,

log₁₀(I₁/S) = x [ধরে] ……(i)

log₁₀(I₂/S) = 5.2 …….(ii)

(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

log₁₀(I₁/S) - log₁₀(I₂/S) = x – 5.2

বা, (log₁₀I₁ - log₁₀S) – (log₁₀I₂ - log₁₀S) = x – 5.2

বা, log₁₀I₁ - log₁₀S – log₁₀I₂ + log₁₀S = x – 5.2

বা, log₁₀I₁ – log₁₀I₂ = x – 5.2

বা, log₁₀(I₁/I₂) = x – 5.2

এই লগারিদমীয় সম্পর্ককে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়,

10^x-5.2 = (I₁/I₂)

বা, (I₁/I₂) = 10^x-5.2

বা, I₁ = 10^x-5.2 × I₂ ……….(iii)

কিন্তু শর্ত অনুসারে,

I₁ = I₂ × 398…….(iv)

তাহলে, সমীকরণ (iii) ও (iv) হতে পাই,

10^x-5.2 =398

বা, log₁₀(10^x-5.2)=log₁₀(398) [উভয় দিকে log₁₀ যোগ করে]

বা, (x-5.2).log₁₀¹⁰ = log₁₀(398)

বা, x-5.2 = log₁₀(398) [∵log_a^a=1]

বা, x = log₁₀(398) + 5.2

বা, x = 2.5998830720737 + 5.2 (প্রায়)

বা, x = 7.79988307 (প্রায়)

∵ নির্নেয় ভুমিকম্পের মাত্রা = 7.79988307 (প্রায়)