*প্রাথমিক শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষার প্রস্তুতি নিন আমাদের সাথে * বিসিএস পরীক্ষা এর প্রস্তুতি নিন আমাদের সাথে* আনলিমিটেড টেস্ট রয়েছে আপনার জন্য এই ব্লগে * নতুন ও আপডেট তথ্য পেতে পাশের "follow/অনুসরণ" বাটনে ক্লিক করুন * নিজেকে আরো বেশি সমৃদ্ধ করুন * আপনার শিশুকে কাব কার্যক্রমের সাথে সম্পৃক্ত করুন * আপনার বাড়ি, বিদ্যালয়, অফিসের আঙ্গিনায় সবজির বাগান করুন, নিরাপদ ও বিষ মুক্ত খাদ্য গ্রহণ করুন * করোনার কমিউনিটি স্প্রেইডিং রোধে সামাজিক দূরত্ব বজায় রাখুন * অযথা পাড়া বেড়ানো, চায়ের দোকানে আড্ডা পরিহার করুন * পরিবারে অধিক সময় দেয়ার চেষ্টা করুন * ঘরে থাকুন, নিরাপদে থাকুন *

নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১০ - দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক সমস্যাবলী

 

দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক সমস্যাবলী:

১. একটি দন্ডের দৈর্ঘ্যের বর্গ তাঁর ছায়ার দৈর্ঘ্যের বর্গের এক তৃতীয়াংশ হলে ছায়ার প্রান্ত বিন্দুতে সূর্যের উন্নতি কোণ কত?

ক) 150   খ) 300   গ) 450   ঘ) 600

উত্তরঃ খ

২. পাশের চিত্রে x এর মান নিচের কোনটি?



ক) √3/60  খ) 60/√3 

গ) 60√2    ঘ) 60√3

উত্তরঃ খ

৩. পাশের চিত্রে O বিন্দুতে P বিন্দুর উন্নতি কোণ কোনটি?



ক) ∠QOB   খ) ∠POA

গ) ∠QOA    ঘ) ∠POB

উত্তরঃ খ

৪. অবনতি কোণের মান কত ডিগ্রি হলে একটি খুটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?

ক) 300   খ) 450   গ) 600   ঘ) 900

উত্তরঃ খ

পাশের চিত্র অনুযায়ী ৫-৬ নং প্রশ্ন দুইটির উত্তর দাও।



৫. BC এর দৈর্ঘ্য কত?

ক) 4/√3 মিটার    খ) 4 মিটার

গ) 4√2 মিটার     ঘ) 4√3 মিটার

উত্তরঃ খ

৬. AB এর দৈর্ঘ্য হবে?

ক) 4/√3 মিটার    খ) 4 মিটার

গ) 4√2 মিটার    ঘ) 4√3 মিটার

উত্তরঃ ঘ

৭. উন্নতি কোণ-

(i) 300 হলে, ভুমি>লম্ব হবে।

(ii) 450 হলে ভুমি=লম্ব হবে।

(iii) 600 হলে লম্ব<ভুমি হবে

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii   খ) ii ও iii   গ) i ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ক

৮. পাশের চিত্রে-



(i) ∠DAC অবনতি কোণ

(ii) ∠ACB উন্নতি কোণ

(iii) ∠DAC=∠ACB

নিচের কোণটি সঠিক?

ক) i ও ii   খ) ii ও iii   গ) i ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

৯. ভূরেখার অপর নাম কী?

ক) লম্বরেখা   খ) সমান্তরাল রেখা    গ) শয়ন রেখা   ঘ) ঊর্ধবরেখা

উত্তরঃ গ

১০. একটি মিনারের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে মিনারটির শীর্ষের উন্নতি 300 এবং মিনারটির উচ্চতা 26 মিটার হলে, মিনার থেকে ঐ স্থানটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি, মিনারটির পাদবিন্দু C, ভূতলের নির্দিষ্ট স্থান B এবং শীর্ষবিন্দু A.

C থেকে B এর দূরত্ব CB=x মিটার, AC=26 মিটার এবং B বিন্দুতে মিনারটির শীর্ষের উন্নতি ∠ABC=300

△ABC থেকে পাই,

                    AC

tan∠ABC = -----
                   BC

                    26

বা, tan30= -----
                     x

       1      26

বা, -----=-----
      √3     x

বা, x=26.√3

বা, x=45.033 (প্রায়)

মিনারের পাদদেশ থেকে স্থানটির দূরত্ব 45.033 মিটার (প্রায়)

১১. একটি গাছের পাদদেশ থেকে 20 মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 600 হলে, গাছটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি, গাছের উচ্চতা AC=h মিটার,

এখানে, গাছের পাদদেশ থেকে ভূতলস্থ B বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি ∠ABC=600

△ABC থেকে পাই,

                  AC

tan∠ABC= -----
                  BC

                   h

বা, tan600= -----
                  20

              h

বা, √3= -----
             20

বা, h=20.√3

বা, h=34.641 (প্রায়)

গাছটির উচ্চতা মিটার 34.641(প্রায়)

১২. 18 মিটার দৈর্ঘ্য একটি মই ভূমির সাথে 450 কোণ উৎপন্ন করে দেওয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি, ছাদের স্পর্শবিন্দু B এবং দেওয়ালের উচ্চতা AB=h মিটার। এখানে, মইয়ের দৈর্ঘ্য OB=18 মিটার এবং ∠AOB=450

△AOB থেকে পাই,

                 AB

sin∠AOB=-----
                OB

                   h

বা, sin450=-----
                  18

       1     h

বা, ----=-----
      √2   18

          18

বা, h=-----
         √2     

বা, h=12.728 (প্রায়)

দেওয়ালের উচতা=12.728 মিটার (প্রায়) 

১৩. একটি ঘরের ছাদের কোনো বিন্দুতে ঐ বিন্দু থেকে 20 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ 300 হলে, ঘরটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি, ঘরের ছাদের উচ্চতা, AB=h মিটার, ভূতলস্থ C বিন্দুর অবনতি ∠CAD=300 এবং AC=20 মিটার।

CAD=∠ACB=300 [DA।।BC এবং একান্তর কোণ]

△ABC থেকে পাই,

                 AB

sin∠ACB= -----
                 AC

                    h

বা, sin300= -----
                   20

       1      h

বা, ----= -----
       2     20

বা, 2h=20

           20

বা, h= -----
            2     

বা, h=10

ঘরের উচ্চতা 10 মিটার।

১৪. ভুতলে কোনো স্থানে একটি স্তম্ভের শীর্ষের উন্নতি 600। ঐ স্থান থেকে 25 মিটার পিছিয়ে গেলে স্তম্ভটির উন্নতি কোণ 300 হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি,

স্তম্ভের উচ্চতা AB=h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ACB=600। C বিন্দু থেকে CD=25 মিটার পিছিয়ে গেকে উন্নতি ∠ADB=300 হয়।

ধরি, BC=x মিটার

BD=BC+CD=(x+25) মিটার

△ABC থেকে পাই,

              AB

tan600= -----
             BC

              h

বা, 3= -----
              x

            h

বা, x=- ---- …(i)
           √3     

আবার,

△ABD থেকে পাই,

            AB

∠ADB =-----
            BD

                    h

বা, tan300=--------
                  x+25

       1       h

বা, ----=---------
     √3    x+25

বা, √3.h=x+25

               h

বা, √3.h=----+25
             √3 

[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]

               h

বা, √3.h- ---- = 25
             √3 

     3h-h

বা, ----- = 25
     √3 

বা, 2h=25.√3

          25.√3       

বা, h=---------
            2

বা, h=21.651 (প্রায়)

স্তম্ভের উচ্চতা 21.651 মিটার (প্রায়)

১৫. কোনো স্থান থেকে একটি মিনারের দিকে 60 মিটার এগিয়ে আসলে মিনারের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি 450 থেকে 600 হয়। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ


মনে করি, মিনারের উচ্চতা AB=h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ADB=450। D বিন্দু থেকে CD=60 মিটার এগিয়ে আসলে উন্নতি ∠ACB=60 হয়।

ধরি, BC=x মিটার

BD=BC+CD=(x+60) মিটার.

△ABC থেকে পাই,

               AB

tan600= ------
               AC

               h

বা, 3=------
               x

             h

বা, x=------ ….(i)
            3

আবার, △ABD থেকে পাই,

                AB

tan450=------
                BD

            h

বা, 1=--------
           x+60

বা, h=x+60

            h

বা, h=----+60
           √3 

[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]

             h

বা, h - ----=60
           √3 

     √3h-h

বা, --------=60
        √3

বা, √3-h=60.√3

বা, h(√3-1)=60.√3

           60√3

বা, h=----------
           (√3-1)

বা, h=141.962 (প্রায়)

মিনারটির উচ্চতা 141.962 মিটার (প্রায়)

১৬. একটি নদীর তীর কোনো এক স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসোজি অপর তীরে অবস্থিত একটি টাওয়ারের উন্নতি কোণ 600 । ঐ স্থান থেকে 32 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ 300 হয়। টাওয়ারের উচ্চতা এবং নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB=h মিটার এবং টাওয়ারের উন্নতি ∠ACB=600। C বিন্দু থেকে CD=96 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ADB=300 হয়।

ধরি, নদীর বিস্তার BC=x মিটার।

BD=BC+CD=(x+96) মিটার।

△ABC থেকে পাই,

                   AB

tan∠ACB =------
                   BC

                    h

বা, tan600= ----
                    x

              h

বা, √3 =----
              x

            h

বা, x =----- …(i)
            √3

আবার, △ADB থেকে পাই,

                   AB

tan∠ADB =------
                   BD

                      h

বা, tan300=---------
                     x+96

       1         h

বা, ----=---------
       √3     x+96

বা, √3.h=x+96

                h

বা, √3.h=----+96
               √3 

[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]

               h

বা, √3.h- ---- = 96
               √3 

     3h-h

বা, ----- = 96
       √3 

বা, 2h=96.√3

          96.√3       

বা, h=---------
              2

বা, h=83.138 (প্রায়)

(i) নং এ h এর মান বসিয়ে পাই,

    96. √3   1   

x=--------.------=48
        2       √3       

টাওয়ারের উচ্চতা 83.138 মিটার এবং নদীর বিস্তার 48 মিটার (প্রায়)।

১৭. 64 মিটার লম্বা একটি খুটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ না হয়ে ভূমির সাথে 600 উৎপন্ন করে। খুটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি, খুটিটির উচ্চতা AB=64 মিটার। খুটিটির C বিন্দুতে x মিটার অংশ ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে BDC=600 কোণ উৎপন্ন করে।

AC=CD=x মিটার

BC=(64-x) মিটার

এখন, △BCD

                   BC

sin∠BDC =------
                   CD

                   64-x

বা, sin600=---------
                     x

     √3     64-x

বা, ----=-------
        2       x

বা, √3x=128-2x

বা, (√3x+2x)=128

বা, x(√3+2)=128

            128

বা, x=----------
           √3+2

বা, x=34.298 (প্রায়)।

খুটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য=34.298 মিটার।

১৮. একটি গাছ এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 300 কোণ করে গাছের গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ



মনে করি, গাছটির সম্পূর্ণ অংশের দৈর্ঘ্য AB=h মিটার, গাছটি BC=x মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙ্গা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD=300 উৎপন্ন করে গাছটির গোড়া থেকে BD=30 মিটার দূরে মাটি স্পপর্শ করে।

এখানে, CD=AC=AB-BC=(h-x) মিটার।

এখন, △BCD

                   BD

tan∠BDC =-------
                   BC

                   12

বা, tan300=-------
                     x

      1       12

বা, ----=-------
      √3      x

বা, x=12√3….(i)

আবার,

                   BD

sin∠BDC =------
                   CD

                   12

বা, sin300=-------
                   h- x

      1       12

বা, ----=-------
       2      h- x

বা, h-x=24

বা, h=24+x

বা, h=24+12√3 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

বা, h=44.785 (প্রায়)।

গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য= 44.785 মিটার (প্রায়)।

১৯. একটি নদির তীরে কোনো স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসুজি অপর তীরে অবস্থিত 150 মিটার লম্বা একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 300। লোকটি একটি নৌকা যোগে গাছটিকে লক্ষ্য করে যাত্রা শুরু করলো। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে লোকটি গাছ থেকে 10 মিটার দূরে তীরে পৌছাল।

ক) উপরোক্ত বর্ণনাটি চিত্রের মাধ্যমে দেখাও।

সমাধানঃ



মনে করি, নদীর বিস্তার AB=x মিটার, A বন্দুতে BC=150 মিটার গাছে শীর্ষের উন্নতি  ACB=300 এবং অপর তীরে নৌকার অবস্থান D বিন্দুতে হলে AD=y মিটার এবং BD=10 মিটার।

খ) নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।



এখন, △ABC

                   BC

tan∠CAB =------
                   AB

                    150

বা, tan300=-------
                       x

     1      150

বা, ----=-------
     √3       x

বা, x=150√3

বা, x=259.808 (প্রায়)

নদীর বিস্তার 259.808 মিটার (প্রায়)

গ) লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্নয় কর।

সমাধানঃ



△ABD থেকে পাই,

AD2=AB2+BD2

বা, AD2=(150√3)2+102

বা, AD2=67500+100

বা, AD2=67600

বা, AD=√67600

বা, AD=260

লোকটির যাত্রা স্থান থেকে অবতরনের স্থানের দূরত্ব 260 মিটার।

২০. 16 মিটার দীর্ঘ্য একটি মই লম্বভাবে দণ্ডায়মান একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে রাখা হলো। ফলে এটি ভূমির সাথে 600 কোণ উৎপন্ন করল।

ক) উদ্দীপক অনুসারে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ



মনে করি, দেওয়ালের উচ্চতা AB=h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC=16 মিটার এবং মইটি ভূমির সাথে ∠ACB=600 কোণ উৎপন্ন করে।

খ) দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখন, △ABC

                   AB

sin∠ACB =------
                   AC

                    h

বা, sin600=-------
                    16

      √3     h

বা, ----=------
       2      16

বা, 2h=16.√3

বা, h=16. √3/2

বা, h=8√3=13.86 (প্রায়)

দেওয়ালের উচ্চতা=13.86 মিটার (প্রায়)

গ) দেওয়ালের সাথে ঠেস দিয়ে রাখা অবস্থায় মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আর কতদূর সরালে মইটি ভূমির সাথে 300 কোণ উৎপন্ন করবে?

সমাধানঃ



খ হতে পাই, AB=8√3 মিটার

মনে করি, মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে x মিটার ভূমি বরাবর সরানো হয়।

এখন, AC=DE=16 মিটার এবং BE=BC+x

এখানে,

BC2+AB2=AC2

বা, BC2=AC2-AB2

বা, BC2=(16)2-(8√3)2

বা, BC2=64

বা, BC=8

BE=8+x

অতএব,

               8+x

cos300 =------
                16

      √3    8+x

বা, ----=------
       2       16

বা, 16+2x=16.√3

বা, 2x=16. √3-16

         16. √3-16

বা, x=------------
                 2

বা, x=5.86

মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আরও 5.86 মিটার সরালে মইটি ভূমির সাথে 300 কোণ উৎপন্ন করবে।

২১. চিত্রে,CD=96 মিটার



ক) ∠CAD এর ডিগ্রি পরিমাপ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

চিত্র অনুসারে,

BCA+∠ACD=1800

বা,  ∠ACD=1800-∠BCA

বা,  ∠ACD=1800-600  [চিত্রে, ∠BCA=600]

বা,  ∠ACD=1200…..(i)

△ACD

∠ACD+∠CDA+∠CAD=1800

বা,  ∠CAD=1800-∠ACD-∠CDA

বা,  ∠CAD=1800-1200-300 [(i) নং থেকে মান বসিয়ে ও চিত্র থেকে ∠CDA=300 বসিয়ে]

বা,  CAD=300

খ) BC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি, AB=h মিটার এবং এর উন্নতি ACB=600। C বিন্দু থেকে CD=96 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ ADB=300.

ধরি, BC=x মিটার।

 B=BC+CD=(x+96) মিটার।

এখন, △ABC

                    AB

tan∠ACB =------
                    BC

                    h

বা, tan600=-------
                     x

               h

বা, √3=------
                x

           h

বা, x=------….(i)
           √3

আবার, △ABD

                    AB

tan∠ADB =------
                    BD

                     h

বা, tan300=-------
                    x+96

     1          h

বা, ----=---------
    √3      x+96

বা, √3h=x+96

বা, √3h-x=96

                h

বা, √3.h- ---- = 96
               √3

     3h-h

বা, ------- = 96
      √3

বা, 2h=96.√3

বা, h=96.√3/2

বা, h=48√3

(i) নং সমীকরণে h এর মান বসিয়ে পাই,

     48√3

x=--------
       √3

বা, x=48

BC এর দৈর্ঘ্য=48 মিটার।

গ) △ACD এর পরিসীমা নির্ণয় কর।    

সমাধানঃ

খ হতে পাই,

AB=h=48√3 মিটার এবং BC=48 মিটার

BD=BC+CD=48+96=144 মিটার

ABC এ

AC2=AB2+BC2

বা,  AC2=(48√3)2+(48)2

বা,  AC2=(48√3)2+(48)2

বা,  AC2=6912+2304

বা,  AC2=9216

বা,  AC=96…………(i)

আবার,

ABD এ

AD2=AB2+BD2

বা,  AD2=(48√3)2+(144)2

বা,  AD2=6912+20736

বা,  AD2=27648

বা,  AD=166.28……….(ii)

△ACD এর পরিসীমা=AC+CD+AD=96+96+166.28=358.28 মিটার (প্রায়)

 

No comments:

Post a Comment