Class 7 Math BD Chapter: 9.2 Solution Bangla version

 

ত্রিভুজের বাহু ও কোনের সম্পর্ক

৭ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৯.২ এর প্রশ্ন সমাধান

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ১-৩ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও (Answer the questions 1-3on the basis of the following information):

চিত্রে, CE, ∠ACD এর সমদ্বিখন্ডক (In the figure, CE is the bisector of ∠ACD)। AB ∥ CE এবং ∠ECD=60° (AB ∥ CE and ∠ECD =60°)।

১. ∠BAC এর মান নিচের কোনটি (Which one of the following is the value of ∠BAC)?

ক. 30°    

খ. 45°    

গ. 120°    

ঘ. 120°

উত্তরঃ গ

২. ∠ACD এর মান নিচের কোনটি (Which one of the following is the value of ∠ACD)?

ক. 60°  

খ. 90°   

গ. 120°    

ঘ. 180°

উত্তরঃ গ

৩. △ABC কোন ধরনের ত্রিভুজ (What type of triangle is ABC)?

ক. স্থুলকোনী   

খ. সমদ্বিবাহু    

গ. সমবাহু    

ঘ. সমকোণী

উত্তরঃ গ

৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে 5 সে.মি. এবং 4 সে.মি. (The lengths of two sides of a triangle are 5 cm and 4 cm respectively)। ত্রিভুজটির অপর বাহুটি নিচের কোনটি হতে পারে (Which one of the following is the possible-measurement-of-the-other-side-of-the-triangle)?

ক. 1 সে.মি.    

খ. 4 সে.মি.    

গ. 9 সে.মি.    

ঘ. 10 সে.মি.

উত্তরঃ খ

৫. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি 40° হলে, অপর সূক্ষ্মকোণের মান নিচের কোনটি (If one of the two acute angles of a right angled triangle is 40°, which of the following is the value of the other acute angle)?

ক. 40°   

খ. 50°   

গ. 60°   

ঘ. 140°

উত্তরঃ খ

৬. কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর দুইটি কোণের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে (If the sum of two angles is equal to the third angle of a triangle, what type of triangle is it)?

ক. সমবাহু    

খ. সূক্ষ্মকোণী    

গ. সমকোণী    

ঘ. স্থুলকোণী

উত্তরঃ গ

৭. △ABC এ AB>AC এবং ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে (In △ABC, AB> AC and the bisectors of the ∠B and ∠C intersect at the point P)। প্রমান কর যে, PB>PC (Prove that PB > PC)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

ত্রিভুজ ABC এ, AB>AC। ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় BP ও CP পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, PB>PC.

প্রমানঃ

১. যেহেতু BP, ∠B এর সমদ্বিখন্ডক

∵∠PBC=¹/₂∠ABC

এবং PC, ∠C এর সমদ্বিখন্ডক

∵∠PCB=¹/₂∠ACB

২. △ABC-এ, AB>AC

∵∠ACB>∠ABC  [বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম]

বা, ¹/₂∠ACB>¹/₂∠ABC

বা, ∠PCB>∠PBC

বা, PB>PC [যেহেতু বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম]

∵PB>PC [প্রমাণিত]

৮. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং এর AB=AC (ABC is an isosceles triangle and AB= AC)। BC কে যেকোনো দুরত্বে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো (The side BC is extended up to D)। প্রমান কর যে, AD>AB (Prove that AD > AB)।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ

মনে করি,

ABC একটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও AB=AC.

BC-কে যেকোনো দূরত্ব D পর্যন্ত বাড়ানো হলো।

A, D যোগ করা হলো।

প্রমান করতে হবে যে, AD>AB.

প্রমানঃ

১. △ABC এ AB=AC

∵ ∠ABC=∠ACB  [∵সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান ও সূক্ষ্মকোণ]

২. △ABC এর বহিঃস্থ কোণ

∠ACD=∠ABC+∠BAC. [∵ ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]

৩. সুতরাং, ∠ACD>∠ABC

∵ ∠ACD>∠ACB  [১ নং মতে, ∠ABC=∠ACB বলে]

৪. ∠ACD+∠ACB=এক সরলকোণ বা দুই সমকোণ

৫. △ACD এ ∠ACD স্থুলকোণ [কারন ACB সূক্ষ্মকোণ -১ নং এর শর্ত হতে]

তাহলে, ∠ADC সূক্ষ্মকোণ।

∵ ∠ACD>∠ADC

তাহলে, AD>AC [বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তর]

সুতরাং, AD>AB [AC = AB বলে]

∵ AD>AB [প্রমাণিত]

৯. ABCD চতুর্ভুজে AB=AD, BC=CD এবং CD>AD (In the quadrilateral ABCD, AB = AD, BC = CD and CD > AD)। প্রমান কর যে, ∠DAB > ∠BCD (Prove that LDAB > LBCD)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

ABCD চতুর্ভুজ এর AB = AD, BC = CD ও CD > AD

প্রমান করতে হবে যে, ∠DAB>∠BCD.

প্রমাণঃ

১. দেওয়া আছে, CD>AD

∵∠CAD>∠ACD  [ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম]

২. আবার, BC=CD

এবং AB=AD

∵BC>AB

∵∠BAC>∠BCA  [ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম]

৩. ∠CAD+∠BAC>∠ACD+∠BCA [(১) ও (২) থেকে]

∵∠ DAB>∠BCD (প্রমাণিত)

১০. △ABC এ  ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।

(ক) তথ্যের আলোকে চিত্রটি অঙ্কন কর (Draw the fiqure on the basis of the information)।

(খ) দেখাও যে, AC>AB (Show that, AC>AB)

(গ) প্রমান কর যে, AB+AC>2AD (Prove that, AB+AC>2AD)

সমাধানঃ

(ক)

প্রদত্তের আলোকে নিচের চিত্রটি আঁকা হলোঃ-

(খ)

△ABC এ  ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।

দেখাতে হবে যে, AC>AB

প্রামানঃ

যদি AC>AB না হয় তবে AC=AB বা AC<AB হবে।

AC=AB হলে, ∠ABC=∠ACB  হবে [কারন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান হয়]

কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC=AB হবে না।

আবার,

AC<AB হলে, ∠ABC<∠ACB হবে [কারন ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর হয়]

কিন্তু, ∠ABC>∠ACB বিধায় AC<AB হবে না।

তাহলে, AC>AB হবে (দেখানো হলো)

(গ)

বিশেষ নির্বাচনঃ

△ABC এ  ∠ABC>∠ACB. D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।

প্রমান করতে হবে যে, AB+AC>2AD.

অঙ্কনঃ

AD কে E পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করি যেন AD=DE হয়। এবং E, C যোগ করি।

প্রমাণঃ

△ABD ও △DEC-এর ক্ষেত্রে,

AD=DE [অঙ্কনানুসারে]

BD=DC [প্রশ্নানুসারে]

∠ADB=∠EDC [বিপ্রতীপ কোন]

∵△ABD ≅ △DEC

∵AB=EC

এখন,

△AEC-এর ক্ষেত্রে,

AC+EC>AE

বা, AC+AB>AD+DE [∵AB=EC]

বা, AC+AB>2AD (প্রমাণিত) 

১১. △ABC এ AB=AC এবং D, BC এর উপর একটি বিন্দু (In the △ABC, AB = AC and D is a point on AC)। প্রমান কর যে, AB>AD (Prove that AB>AD)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, △ABC এ AB=AC এবং D, BC এর উপর একটি বিন্দু। প্রমান কর যে, AB>AD.

অঙ্কনঃ

A, D যোগ করি।

প্রমানঃ

△ABC এ  AB=AC

∵∠ABC=∠ACB

বা, ∠ABD=∠ACD [ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান হলে এর বিপরীত কোণ দুটিও সমান হবে]

আবার,

△ADC এ  ∠ADB>∠ACD [বহিঃস্থ কোণ বৃহত্তর]

বা, ∠ADB>∠ABD

∵AB>AD (প্রমাণিত)

১২. △ABC এ AB⊥AC এবং D, AC এর উপর একটি বিন্দু (In the ABC, AB⊥AC and D is a point on AC)। প্রমান কর যে, BC>BD (Prove that, BC > BD)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

△ABC এ AB⊥AC এবং D, AC এর উপর একটি বিন্দু। প্রমান কর যে, BC>BD.

অঙ্কনঃ

B,D যোগ করি।

প্রমাণঃ

△ABD এ   ∠BAD=এক সমকোণ। [AB⊥AC]

∵∠CAB>∠ABC   [∠BDA+∠ABD=এক সমকোণ]

∠BDA একটি সূক্ষ্মকোণ

কাজেই ∠BDC একটি স্থুলকোণ।

এখন, △BDC এর বহিঃস্থ

∠BDC>∠BCD   [∠BDC ও ∠BCD পূরক কোণ]       

∵BC>BD. [ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তম]

১৩. প্রমান কর যে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু (Prove that the hypotenuse of a right angled triangle is the greatest side)।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ

মনে করি, △ABC একটা সমকোণী ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির ভূমি BC ও অতিভুজ AC। প্রমান করতে হবে যে, অতিভুজ AC-ই △ABC এর বৃহত্তর বাহু।

প্রমাণঃ

△ABC এ ∠ABC=এক সমকোণ।

সুতরাং, ∠BAC+∠ACB=90°

বা, ∠BAC<90°

বা, ∠ACB<90°

ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহু বৃহত্তম হয়,

এখানে বৃহত্তম কোণ 90°=∠ABC যার বিপরীত বাহু অতিভুজ AC.

∵সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু (প্রমাণিত)

 

১৪. প্রমান কর যে, ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম (Prove that to the angle opposite to the greatest side of a triangle is also the greatest angle of that triangle)।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বাচনঃ

মনে করি, △ABC এর AC বৃহত্তম বাহু। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ABC বৃহত্তম কোণ।

প্রমাণঃ

AC>BC

∵∠ABC>∠BAC

আবার,

AC>AB

∵∠ABC>∠BCA

সুতরাং, ∠ABC-ই বৃহত্তম কোণ যার বিপরীত বাহু হলো AB.

∵ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তম (প্রমাণিত)

১৫. চিত্রে, ∠QPM=RPM এবং ∠QPR=90° (In the figure, If, ∠QPM=RPM and ∠QPR=90°)।  PQ=6 সে.মি. (PQ = 6 cm)।

ক. ∠QPM এর মান নির্ণয় কর (Find the value of ∠QPM )।

খ. ∠PQM ও ∠PRM এর মান কত (What are the values of ∠PQM and ∠PRM)?

গ. PR এর মান নির্ণয় কর (Find the value of PR)।

সমাধানঃ

ক.

দেওয়া আছে,

∠QPR=90°

বা, ∠QPM+∠RPM=90°

বা, ∠QPM+∠QPM=90°  [∠QPM=RPM]

বা, 2∠QPM=90°

বা, ∠QPM=90°/2

বা, ∠QPM=45°

খ.

চিত্র হতে দেখি যে, PM⊥RQ.

তাহলে,

∠QPM=90°, ∠RMP=90°

আবার, ∠QPM=45° (ক হতে)

এবং, ∠RPM=∠QPR-∠QPM=90°-45°=45°

△QPM এর ক্ষেত্রে,

∠QPM+∠PQM+∠QMP=180°

বা, 90⁰+∠PQM+45°=180°

বা, ∠PQM=180°-90°-45°=45°

আবার,

△PRM এর ক্ষেত্রে,

∠RMP+∠PRM+∠RPM=180°

বা, 90°+∠PRM+45°=180°

বা, ∠PRM=180°-90°-45°=45°

গ.

দেওয়া আছে, PQ=6 সে.মি.।

খ থেকে পাই,

∠PQM=∠PRM=45°

বা, ∠PQR=∠PRQ=45°

তাহলে,

PQ=PR [সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান]

বা, 6=PR

বা, PR=6 সে.মি.।