নবম-দশম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-১৪.২ - জ্যামিতিক সদৃশ

 

জ্যামিতিক সদৃশঃ

১. △ABC এ BC এর সমান্তরাল DE রেখা AB ও AC কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করলে

(i) △ABC ও △ADE পরস্পর সদৃশ

      AD         CE

(ii) ------ = ------

      BD         AE

       △ABC         BC²

(iii) ---------- = --------

       △ADE         DE²

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i ও ii    খ) i ও iii    গ) ii ও iii    ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

নিচের চিত্রের তথ্যনুসারে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

২. △ABC এর এর উচ্চতা ও ভূমির অনুপাত কত?

ক) ½   খ) 4/5   গ) 2/5    ঘ) 5/4

উত্তরঃ গ

৩. △ABD এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

ক) 6   খ) 20    গ) 40   ঘ) 50

উত্তরঃ ক

৪. △ABC এ PQ ।।  BC হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) AP : PQ = AQ : QC

খ) AB : PQ = AC : PQ

গ) AB : AC = PQ : BC

ঘ) PQ : BC = BP : BQ

উত্তরঃ ক

৫. প্রমাণ কর যে, দুইটি ত্রিভুজের প্রত্যেকটি যদি তৃতীয় একটি ত্রিভুজের সদৃশ হয়, তবে তারা পরস্পর সদৃশ।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, △ABC ও △DEF উভয়ই অপর একটি ত্রিভুজ PQR এর সদৃশ। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC ও △DEF পরস্পর সদৃশ।

প্রমাণঃ

△ABC ও △PQR-এ

∠A=∠P; ∠B=∠Q; ∠C=∠R…………(i)  [△ABC ও △PQR সদৃশ]

এবং △DEF ও △PQR-এ

∠D=∠P; ∠E=∠Q; ∠F=∠R…………(ii)  [△DEF ও △PQR সদৃশ]

(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,

∠A=∠D; ∠B=∠E; ∠C=∠F

∴△ABC ও △DEF সদৃশ (প্রমাণিত)

৬. প্রমাণ কর যে, দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির একটি সূক্ষ্মকোণ অপরটির একটি সূক্ষ্মকোণের সমান হলে, ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ হবে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, △ABC ও △DEF দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের ∠B ও ∠E সমকোণ এবং সূক্ষ্মকোণ ∠C=সূক্ষ্মকোণ ∠F. প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC ও △DEF সদৃশ।

প্রমাণঃ

△ABC ও △DEF-এ

∠B = ∠E = 90⁰

∠C = ∠F [শর্তানুসারে]

∴ অবশিষ্ট ∠A= অবশিষ্ট ∠D

∴ △ABC ও △DEF সদৃশকোণী

অর্থাৎ, △ABC ও △DEF সদৃশ (প্রমাণিত)

৭. প্রমাণ কর যে, সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক শীর্ষ থেকে অতিভুজের উপর লম্ব আঁকলে যে দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সদৃশ।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, △ABC এর ∠A = এক সমকোণ। A থেকে অতিভুজ BC এর উপর AD লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC, △ABD ও △ADC পরষ্পর সদৃশ।

প্রমাণঃ

△ABC ও △ABD এ

∠A=∠ADB=90⁰ [শর্তানুসারে]

∠B সাধারণ কোণ

∴ অবশিষ্ট ∠C=অবশিষ্ট ∠BAD

∴ △ABC ও △ABD সদৃশকোণী

অর্থাৎ, △ABC ও △ABD সদৃশ…………..(i)

△ABC ও △ADC এ

∠A=∠ADC=90⁰ [শর্তানুসারে]

∠C সাধারণ কোণ

∴ অবশিষ্ট ∠B=অবশিষ্ট ∠CAD

∴ △ABC ও △ADC সদৃশকোণী

অর্থাৎ, △ABC ও △ADC সদৃশ…………..(ii)

অতএব,

(i) ও (ii) হতে পাই,

△ABC, △ABD ও △ADC সদৃশ (প্রমাণিত)।

৮. পাশের চিত্রে, ∠B=∠D এবং CD=4AB। প্রমাণ কর যে, BD=5BL

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, চিত্রে দেওয়া আছে, ∠B=∠D এবং CD=4AB। প্রমাণ করতে হবে যে, BD=5BL.

প্রমাণঃ

△ABL ও △CDL –এ

∠B=∠D [দেওয়া আছে]

∠ALB=∠DLC [বিপ্রতীপ কোণ বলে]

∴ অবশিষ্ট ∠A=অবশিষ্ট ∠C

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ।

    DC          LD

∴-------= --------

    AB          BL

[সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলো সমানুপাতিক]

      DC+AB          LD+BL

বা, ------------= -------------

         AB                 BL

[যোজন করে]

      4AB+AB          BD

বা, ------------= ---------

         AB                 BL

[দেওয়া আছে CD=4AB]

       5AB          BD

বা, ---------= --------

        AB            BL

             BD

বা, 5 = -------

              BL

বা, BD=5BL (প্রমাণিত)

৯. ABCD সামন্তরিকের A শীর্ষ দিয়ে একটি রেখাংশ BC বাহুকে M বিন্দুতে এবং DC বাহুর বর্ধিতাংশকে N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে,  BM✕DN একটি ধ্রুবক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD সামন্তরিকের A শীর্ষ দিয়ে অঙ্কিত AN রেখাংশ BC বাহুকে M বিন্দুতে এবং DC বাহুর বর্ধিতাংশকে N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে,  BM✕DN একটি ধ্রুবক।

প্রমাণঃ

△ABM ও △AND  এর মধ্যে

∠BAM=∠AND [একান্তর কোণ বলে]

∠ABM=∠AND [সামন্তরিকের বিপরীত কোণ বলে]

∴ অবশিষ্ট ∠BMA=অবশিষ্ট ∠DAN

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ।

∴ তাদের অনুরুপ বাহুগুলো  সমানুপাতিক।

    BM         AB

∴ -------- = ----------

     AD           DN

বা, BM✕DN=AB✕AD

কিন্তু AB ও AD,  ABCD সামন্তরিকের সন্নিহিত দুটি বাহু।

সুতরাং AB ও AD নির্দিষ্ট এবং তাদের গুণফলও নির্দিষ্ট অর্থাৎ ধ্রুবক।

তাহলে, BM✕DN একটি ধ্রুবক (প্রমাণিত)।

১০. পাশের চিত্রে BD ⊥  AC এবং  DQ = BQ = 2AQ = ½QC. প্রমাণ কর যে, DA ⊥ DC

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

প্রদত্ত চিত্রে, BD ⊥  AC এবং  DQ = BQ = 2AQ = ½QC. প্রমাণ করতে হবে যে, DA ⊥ DC

প্রমাণঃ

যেহেতু DQ=BQ=2AQ=½QC

সুতরাং QC=2DQ=2.2AQ=4AQ

আবার, AC=AQ+QC=AQ+4AQ=5AQ

∴ AC²=(5AQ)²=25AQ²……………(i)

এখন, ADQ সমকোণী ত্রিভুজে,

AD²

=AQ²+DQ²

=AQ²+(2AQ)²

=AQ²+4AQ²

=5AQ²……………….(ii)

এবং, CDQ সমকোণী ত্রিভুজে,

CD²

=QC²+DQ²

=(4AQ)²+(2AQ)²

=16AQ²+4AQ²

=20AQ²……………(iii)

(ii) + (iii) করে পাই,

AD²+CD²

=5AQ²+20AQ²

=25AQ²

=AC² [(i) থেকে মান বসিয়ে]

∴ AD²+CD²=AC²

∴ DA ⊥ DC [পীথাগোরাসের বিপরীত প্রতিজ্ঞা অনুযায়ী]

(প্রমাণিত)

১১. △ABC ও △DEF এর  ∠A=∠D। প্রমাণ কর যে, △ABC : △DEF = AB.AC : DE.DF

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, △ABC ও △DEF এর  ∠A=∠D। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABC : △DEF = AB.AC : DE.DF

অঙ্কনঃ

C ও F বিন্দু হতে AB ও DE এর উপর যথাক্রমে CG ও FH লম্ব আঁকি। তাহলে CG ও FH হবে ত্রিভুজ দুইটির উচ্চতা।

প্রমাণঃ

△AGC ও △DHF এর মধ্যে,

∠A=∠D [দেওয়া আছে]

এবং ∠AGC=∠DHF [প্রত্যেকে সমকোণ-অঙ্কনানুসারে]

অবশিষ্ট ∠ACG=অবশিষ্ট ∠DFH

∴ △ABC ও △DEF সদৃশকোণী তথা সদৃশ

    AC          CG

∴ -------- = ---------….(i)

     DF           FH

△ABC এর ক্ষেত্রফল = ½.AB.CG  [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল=½✕ভুমি✕উচ্চতা ]

△DEF এর ক্ষেত্রফল = ½.AB.CG  [ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল=½✕ভুমি✕উচ্চতা ]

    △ABC             ½.AB.CG

∴ ------------- = ------------------

    △DEF             ½.AB.CG 

        △ABC           AB.CG

বা,  ------------ = -------------

        △DEF           AB.CG 

        △ABC          AB.AC

বা,  ------------ = -------------

        △DEF          AB.DF

[(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

বা, △ABC : △DEF = AB.AC : DE.DF (প্রমাণিত)

১২. △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। DA এর সমান্তরাল CE রেখাংশ বর্ধিত BA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) তথ্য অনুসারে চিত্রটি অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

তথ্য অনুসারে চিত্রটি অঙ্কিত হলোঃ-

খ) প্রমাণ কর যে, BD : DC = BA : AC

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

△ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। DA এর সমান্তরাল CE রেখাংশ বর্ধিত BA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, BD : DC = BA : AC

প্রমাণঃ

△BCE এ AD ।। CE

BD : DC = BA : AE ……. (i)

এখন,

∠BAD=∠AEC…….(ii) [অনুরুপ কোণ কারন AD ।। CE ও BE ছেদক]

এবং ∠CAD=∠ACE…….(iii) [একান্তর কোণ কারন AD ।। CE ও AC ছেদক]

আবার,

∠BAD=∠CAD  [AD, ∠A এর সমদ্বিখন্ডক]

বা, ∠AEC=∠ACE [(ii), (iii) হতে মান বসিয়ে]

এখন, △ACE-এ ∠AEC=∠ACE

∴ AC=AE

(i) নং এ AE=AC বসিয়ে পাই,

BD : DC = BA : AC (প্রমাণিত)

গ) BC এর সমান্তরাল কোনো রেখাংশ AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ কর যে, BD : DC = BP : CQ

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

△ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক AD, BC কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। DA এর সমান্তরাল CE রেখাংশ বর্ধিত BA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। BC এর সমান্তরাল PQ রেখাংশ AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করতে হবে যে, BD : DC = BP : CQ

প্রমাণঃ

খ হতে পাই,

BD : DC = BA : AC………(i)

এখন BC ।। PQ

∴ BA : BP = AC : CQ

       BA           AC

বা, ------- = ---------

       BP           CQ

       BA           BP

বা, ------- = ---------

       AC           CQ

বা, BA : AC = BP : CQ…….(ii)

(i), (ii) তুলনা করে পাই,

BD : DC = BP : CQ (প্রমাণিত)

১৩. চিত্রে ABC এবং DEF দুইটি সদৃশ ত্রিভুজ।

ক) ত্রিভুজ দুইটির অনুরুপ বাহু ও অনুরুপ কোণগুলোর নাম লিখ।

সমাধানঃ

ত্রিভুজ দুইটির অনুরুপ বাহুগুলো হলোঃ AB, DE; AC, DF ও BC, EF

এবং অনুরুপ কোণগুলো হলোঃ ∠A, ∠D; ∠B, ∠E ও ∠C, ∠F

খ) প্রমাণ কর যে,

△ABC          AB²        AC²       BC²

--------- = ------- = ------- = -------

△DEF          DE²       DF²        EF²

সমাধানঃ

চিত্রে, △ABC ও △DEF সদৃশ এবং A থেকে AM, BC এর উপর ও D থেকে DN, EF এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে,

△ABC         AB²       AC²       BC²

----------- = ------- = ------- = -------

△DEF         DE²      DF²        EF²

প্রমাণঃ

△ABC ও △DEF সদৃশ

   AB         AC        BC

∴------ = ------ = -------….(i)

   DE         DF        EF

[সদৃশ ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত সমান হয়]

      AB²       AC²       BC²

বা, ------ = ------ = -------…..(ii)

      DE²       DF²       EF²

এবং,

 △ABC          ½.BC.AM

---------- = -------------

 △DEF          ½.EF.DN

[ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রমতে]

       △ABC          BC.AM

বা, ---------- = --------- …..(iii)

       △DEF          EF.DN

এখন,

△ABM ও △DEN এর মধ্যে

∠M=∠N=90⁰

এবং ∠B=∠E [△ABC ও △DEF সদৃশ]

∴ অবশিষ্ট ∠BAM=অবশিষ্ট ∠EDN

 তাহলে, △ABM ও △DEN সদৃশকোণী তথা সদৃশ

    AM         AB

∴ ------- = -------

    DN         DE

      AM         BC

বা, ------- = -------

      DN         EF

[(i) নং থেকে মান বসিয়ে]

এই মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

 △ABC           BC.BC

 ---------- = ---------

 △DEF           EF.EF

        △ABC          BC²

বা,  ---------- = -------…..(iv)

       △DEF           EF²

(ii) ও (iv) তুলনা করে পাই,

△ABC          AB²        AC²        BC²

--------- = ------- = ------- = ---------

△DEF          DE²        DF²        EF²

(প্রমাণিত)।

গ) যদি BC=3 সেমি, EF=8 সেমি, ∠B=60⁰, BC/AB=3/2 এবং △ABC এর ক্ষেত্রফল 3 বর্গসেমি হয়, তবে △DEF অঙ্কন কর এবং এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

BC/AB=3/2

বা, 3/AB=3/2 [BC=3 সেমি]

বা, AB=2

△ABC এর ক্ষেত্রফল= ½.BC.AM=3

বা, ½.3.AM=3

বা, AM=2

আবার,

AB/BC=DE/EF

             AB✕EF

বা, DE=----------

               BC 

              2✕8

বা, DE=--------

               3 

বা, DE=5.3 সেমি (প্রায়)

এবং, AM/DN=BC/EF

              AM✕EF

বা, DN=------------

               BC 

              2✕8

বা, DN=----------

                3 

বা, DN=5.3 সেমি (প্রায়)

∴ △DEF এর ক্ষেত্রফল= ½.EF.DN=½.8.(5.3)=21.2 বর্গ সেমি।

এখন, ∠B=∠C=60⁰; DE=5.3 সেমি; EF=8 সেমি নিয়ে ত্রিভুজটি আঁকা হলোঃ