অষ্টম শ্রেণি সাধারণ গণিত - অনুশীলনী-৯ - পিথাগোরাসের উপপাদ্য

 

১. ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC এর উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে, AB²+BC²+CA²=4AD²

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। AD, BC এর উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে, AB²+BC²+CA²=4AD²

প্রমাণঃ

ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ

অর্থাৎ, AB=BC=CA……(i)

AD, BC এর উপর লম্ব

তাহলে, BD=DC, বা, BD=DC= ½BC [সমবাহু ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমদ্বিখন্ডিত করে]

শর্তমতে, △ABD ও △ADC দুইটি সমকোণী ত্রিভুজ।

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে △ABD হতে পাই,

AB²=AD²+BD²

বা, AB²-BD²=AD²

বা, AB²- (½BC)²=AD²

বা, AB²- ¼BC²=AD²

বা,  BC²- ¼BC²=AD² [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

       4BC²-BC²

বা, ------------- = AD²

           4

বা, 4BC²-BC²=4AD²

বা, 3BC²=4AD²

বা, AB²+BC²+CA²=4AD²  [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

∴ AB²+BC²+CA²=4AD² (প্রমাণিত)

২. ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AB²+CD²=BC²+AD²

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের দুইটি কর্ণ AC ও BD পরস্পর লম্বভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে।প্রমাণ করতে হবে যে, AB²+CD²=BC²+AD².

প্রমাণঃ

AC ও BD পরস্পর লম্বভাবে O বিন্দুতে ছেদ

অতএব, ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90⁰

তাহলে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে △AOB হতে পাই,

AB²=AO²+BO²………….(i)

একইভাবে পাই,

CD²=DO²+CO²………….(ii)

AD²= AO²+DO²…………(iii)

BC²= BO²+CO²…………(iv)

(i)+(ii) করে,

AB²+CD²=AO²+BO²+DO²+CO²

            =(AO²+DO²)+(BO²+CO²)

            =AD²+BC² [(iii) ও (iv) হতে মান বসিয়ে]

∴ AB²+CD²=BC²+AD² (প্রমাণিত)

৩. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ এবং CD এর মধ্যমা। প্রমাণ কর যে, BC²=CD²+3AD²

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABC ত্রিভুজের ∠A=এক সমকোণ এবং CD এর মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, BC²=CD²+3AD²

প্রমাণঃ

∠A=এক সমকোণ

△ ABC-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BC²=AC²+AB²………(i)

একইভাবে, △ADC-এ

CD²=AD²+AC²

বা, AC²=CD²-AD²………(ii)

যেহেতু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশ মধ্যমা।

সেহেতু AD=BD, বা, AD=½AB, বা, AB=2AD……(iii)

এখন, (iii) ও (ii) হতে মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,           

BC²=CD²-AD²+(2AD)²

বা, BC² =CD²-AD²+4AD²

বা, BC² =CD²+3AD² (প্রমাণিত)

৪. ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ কর যে, 5BC²=4(BP²+CQ²)

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABC ত্রিভুজের ∠A সমকোণ BP ও CQ দুইটি মধ্যমা। প্রমাণ করতে হবে যে, 5BC²=4(BP²+CQ²)

প্রমাণঃ

△ABC এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BC²=AB²+AC²……..(i)

△ABP-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BP²=AB²+AP²

বা, BP²=AB²+ (½AC)² [BP মধ্যমা বলে]

বা, BP²=AB²+ ¼AC²

বা, 4BP²=4AB²+AC² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(ii)    

△ ACQ-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

CQ²=AC²+AQ²

বা, CQ²=AC²+ (½AB)² [CQ মধ্যমা বলে]

বা, CQ²=AC²+ ¼AB²

বা,  4CQ²=4AC²+AB²  [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(iii)

(ii)+(iii) করে পাই,

4BP²+4CQ²=4AB²+AC²+4AC²+AB²

বা, 4(BP²+CQ²)=5AB²+5AC²

বা, 4(BP²+CQ²)=5(AB²+AC)²

বা, 4(BP²+CQ²)=5BC² [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, 5BC²=4(BP²+CQ²) [প্রমাণিত]

৫. প্রমাণ কর যে, কোনো বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD একটি বর্গের একটি কর্ণ AC. প্রমাণ করতে হবে যে AC এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ABCD বর্গক্ষেত্ররের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ।

প্রমাণঃ

AC এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = AC²

এবং ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²=AB²=BC²=CD²=AD² [বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এর দৈর্ঘ্য a ধরে]

এখন, ∠ADC=90⁰ [বর্গের প্রত্যেক কোণ সমকোণ]

তাহলে, △ADC-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AD²+DC²

বা,  AC²=a²+a²

বা, AC²=2a²

বা, AC উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=প্রদত্ত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (প্রমাণিত)

৬. চিত্রে OB=4 সেমি হলে BD এবং AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, BD=x

∴ DO=4-x

চিত্রে, △CBD ও △ADO-এ

∠CBD=∠AOD=90⁰

∠BDC=∠ADO [বিপ্রতীপ কোণ]

∴∠BCD=∠DAO

তাহলে, △CBD ও △ADO সদৃশ।

অতএব,

BC         BD

----- = ------

AO        DO

বা, BC.DO=AO.BD

বা, 5.(4-x)=3.x

বা, 20-5x=3x

বা, 20=3x+5x

বা, 8x=20

বা, x= 20/8

বা, x= 5/2

বা, BD=2.5 cm

∴ DO=4-2.5=1.5 cm

△CBD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

CD²=CB²+BD²

বা, CD² =5²+(2.5)²

বা, CD² =25+6.25

বা, CD²=31.25

বা, CD=5.590

△ADO -এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AD²=AO²+DO²

বা, AD²=3²+(1.5)²

বা, AD²=9+2.25

বা, AD²=11.25

বা, AD=3.35

∴ CD+AD=5.590+3.354=8.944

বা, AC=8.944 cm

 ∴ BD=2.5 cm

AC=8.944 cm

৭. প্রমাণ কর যে, কোনো বর্গক্ষেত্র এর কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। এর একটি কর্ণ AC. প্রমাণ করতে হবে যে, AB²=½AC²

প্রমাণঃ

△ABC-এ ∠B=এক সমকোণ [বর্গক্ষেত্রের সকল কোণ সমকোণ]

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AB²+BC²

বা, AC²=AB²+AB² [বর্গের সকল বাহু সমান]

বা, AC²=2AB²

বা, AB²= ½AC² [প্রমাণিত]

৮. ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ।  D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC²+AD²=BD²+AC^2.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ।  D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, BC²+AD²=BD²+AC^2.

প্রমাণঃ

△ABC -এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

BC²=AB²+AC²

△ADB -এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AB²+AD²=BD²

বা, AD²=BD²-AB²

তাহলে,

BC²+AD²= AB²+AC²+ BD²-AB²

বা, BC²+AD²=BD²+AC² [প্রমাণিত]

৯. ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ  D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু হলে, প্রমাণ কর যে, DE²=CE²+BD².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের ∠A= এক সমকোণ  D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, DE²=CE²+BD².

প্রমাণঃ

এখানে, AD=BD এবং AE=CE [D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু]

△ADE-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

DE²=AE²+AD²

বা, DE²=CE²+BD² [প্রমাণিত]

১০. △ABC এ BC এর উপর লম্ব AD এবং AB>AC. প্রমাণ কর যে, AB²-AC²=BD²-CD².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △ABC এ BC এর উপর লম্ব AD এবং AB>AC. প্রমাণ করতে হবে যে, AB²-AC²=BD²-CD².

প্রমাণঃ

△ABC এ BC এর উপর লম্ব AD

∴△ABD ও △ADC উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

△ABD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AB²=BD²+AD²…….(i)

△ADC-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AD²+DC²……(ii)

(i)-(ii) করে পাই,

AB²-AC²= BD²+AD²-(AD²+DC²)

বা, AB²-AC²= BD²+AD²-AD²-DC²

বা, AB²-AC²= BD²-DC² [প্রমাণিত]

১১. △ABC এ BC এর উপর AD লম্ব এবং AD এর উপর P যেকোনো বিন্দু ও  AB>AC. প্রমাণ কর যে, PB²-PC²=AB²-AC².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △ABC এ BC এর উপর AD লম্ব এবং AD এর উপর P যেকোনো বিন্দু ও  AB>AC. প্রমাণ করতে হবে যে, PB²-PC²=AB²-AC².

প্রমাণঃ

যেহেতু AD⊥BC সেহেতু △ABD, △ACD, △BPD, △CPD প্রত্যেকেই সমকোণী ত্রিভুজ।

△ABD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AB²=BD²+AD²

△ACD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

AC²=AD²+CD²

∴ AB²-AC²= BD²+AD²- AD²-CD²=BD²-CD²……(i)

△BPD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

PB²=PD²+BD²

△PCD-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

PC²=PD²+CD²

PB²-PC²= PD²+BD²- PD²-CD²=BD²-CD²……(ii)

(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,

PB²-PC²=AB²-AC² [প্রমাণিত]

১২. একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1:1:√2 হলে এর বৃহত্তম কোনটির মান কত?

ক) 80⁰     খ) 90⁰     গ) 100⁰     ঘ) 120⁰

উত্তরঃ খ

১৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 5⁰ হলে ক্ষুদ্রতম কোনটির মান কত?

ক) 40⁰      খ) 42.5⁰      গ) 47.5⁰       ঘ) 50⁰

উত্তরঃ খ

১৪. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ x একক এবং অপর বাহুদ্বয়ের একটি y একক হলে ৩য় বাহুটির দৈর্ঘ্য কত একক?

ক) x²+y²    খ) √(x²+y²)   

গ) √(x²-y²)    ঘ) x²-y²

উত্তরঃ গ

১৫. পরিমাপটির কোন পরিমাপের জন্য একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

ক) 4, 4, 5    খ) 5, 12, 13

গ) 8, 10, 12    ঘ) 2, 3, 4

উত্তরঃ খ

১৬. △ABC এ ∠A=১ সমকোণ হলে এর

i. অতিভুজ BC

ii. ক্ষেত্রফল=½.AB.AC

iii. BC²=AB²+AC²

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) I ও ii     খ) I ও iii    গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

১৭. সমকোণী ত্রিভুজের-

i. বৃহত্তম বাহুটি অতিভুজ

ii. ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান।

iii. সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পরের পূরক

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) I ও ii     খ) I ও iii    গ) ii ও iii   ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

#নিচের চিত্রের আলোকে ১৮, ১৯ ও ২০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

চিত্রে ∠A=90⁰

১৮.  PQ এর দৈর্ঘ্য কত সেমি?

ক) 6    খ) 6.5    গ) 7     ঘ) 9.5

উত্তরঃ খ

১৯. △ABC=কত বর্গ সেমি?

ক) 39    খ) 32.5    গ) 30    ঘ) 15

উত্তরঃ গ 

২০. △APQ এর পরিসীমা কত সেমি?

ক) 15    খ) 12.5    গ) 10    ঘ) 7.5

উত্তরঃ ক

২১. ABCDE বহুভুজে AE।।BC, CF⊥AE এবং DQ⊥CF.  ED=10 মিমি. EF=2 মিমি. BC=8 মিমি. AB=12 মিমি.

উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের (১-৪) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

(১) ABCF চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ মিমি?

ক) 64     খ) 96    গ) 100    ঘ) 144

উত্তরঃ খ

(২) নিচের কোনটি FPC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে?

ক) 32 বর্গ মিমি খ) 48 বর্গ মিমি গ) 72 বর্গ মিমি ঘ) 60 বর্গ মিমি

উত্তরঃ খ

(৩) CD-এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটিতে প্রকাশ পায়?

ক) 2√2 মিমি    খ) 4মিমি    গ) 4√2 মিমি     ঘ) 8 মিমি

উত্তরঃ ক

(৪) নিচের কোনটিতে △FPC ও △DQC এর ক্ষেত্রফলের অন্তর নির্দেশ করে?

ক) 46 বর্গ মিমি    খ) 48 বর্গ মিমি    গ) 50 বর্গ মিমি   ঘ) 52 বর্গ মিমি

উত্তরঃ ক

২২.

ক. PQST কী ধরনের চতুর্ভুজ? স্বপক্ষে যুক্তি দাও।

সমাধানঃ

PQST চতুর্ভুজটি ট্রাপিজিয়াম। কারণ PQST চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু PQ ও TS বাহুদ্বয় সমান্তরাল এবং অপর বিপরীত PT ও QS বাহুদ্বয় অসমান্তরাল।

খ. দেখাও যে, △PRT সমকোণী।

সমাধানঃ

△PQR ও △RST এ

PQ=RS=b, QR=ST=a এবং ∠PQR=∠RST=90⁰

∴ △PQR≅△RST

তাহলে, PR=RT=c এবং ∠QPR=∠TRS.

আবার, PC⊥QS এবং TS⊥QS বলে, PQ।।TS.

সুতরাং, PQST একটি ট্রাপিজিয়াম।

এখন, ∠PRQ+∠QPR=∠RTS+∠TRS=এক সমকোণ।

∴ ∠PRT=এক সমকোণ। সুতরাং, △PRT সমকোণী ত্রিভুজ।  

গ. প্রমাণ কর PR²=PQ²+QR²

সমাধানঃ

PQST ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= △PQR এর ক্ষেত্র+△RST এর ক্ষেত্র+△PRT এর ক্ষেত্র

বা, ½QS(PQ+TS)=½.ab+½.ab+½c²

বা, ½.(QR+RS)(PQ+TS)=½(2ab+c²)

বা, ½.(a+b)(b+a)= ½(2ab+c²)

বা, a²+2ab+b²=2ab+c²

বা, a²+b²=c²

বা, c²=b²+a^2প

∴ PR²=PQ²+QR² (প্রমাণিত)        

২৩. △PQR এ ∠P=90⁰, PQ এবং PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N।

ক. ত্রিভুজটি আঁক।

সমাধানঃ

প্রদত্ত ত্রিভুজের চিত্র নিন্মরূপঃ

খ. চিত্র থেকে প্রমাণ কর যে, PR²+PQ²=QR².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, PQR এ ∠P=90⁰। প্রমাণ করতে হবে যে, PR²+PQ²=QR².

অঙ্কনঃ

PQ কে S পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন QS=PR হয় এবং S বিন্দুতে ST  লম্ব আঁকি যেন ST=PQ হয়। Q, T; T, R যোগ করি।

প্রমাণঃ

△PQR ও △QST এর মধ্যে,

PQ=ST; PR=QS

∠RPS=∠QST=90⁰

△PQR ≅ △QST

∴ RS=QT এবং ∠PRS=∠TQS.

অতএব, ∠PRQ+∠RQP=∠SQT+∠QTS=90⁰

∴ RQT=90⁰

অতএব, △RQT সমকোণী ত্রিভুজ।

এখন, RP⊥PS ও TS⊥PS; তাহলে RS।।TS.

∴ PSTR একটি ট্রাপিজিয়াম।

PSTR ট্রাপিজিয়াম এর ক্ষেত্রফল=△PQR এর ক্ষেত্রফল+△QST এর ক্ষেত্রফল+△RQT এর ক্ষেত্রফল

বা, ½PS(PR+ST)= ½.PR.PQ+ ½.QS.ST+ ½.RQ.QT

বা, ½.(PQ+QS)(PR+ST)= ½.PR.PQ+ ½.PR.PQ+ ½.RQ.RQ [সর্বসমতা থেকে প্রাপ্ত তথ্য হতে]

বা, ½.(PQ+PR)(PR+PQ)= ½.PR.PQ+ ½.PR.PQ+ ½.RQ²  [সর্বসমতা থেকে প্রাপ্ত তথ্য হতে]

বা, (PQ+PR)²=PR.PQ+PR.PQ+RQ²

বা, (PQ+PR)²=2.PR.PQ+RQ²

বা, PQ²+PR²+2.PR.PQ =2.PR.PQ+RQ²

বা, PQ²+PR²=RQ² [প্রমাণিত]

গ. প্রমাণ কর 5RQ²=4(RM²+NQ²)

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △PQR এ ∠P=90⁰, PQ এবং PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে M ও N।প্রমাণ করতে হবে যে 5RQ²=4(RN²+QM²)

অঙ্কনঃ

Q, N ও R, M যোগ করি।

প্রমাণঃ

△PQR এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

RQ²=PR²+PQ²……..(i)

△PMR-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

RM²=PR²+PM²

বা, RM²=PR²+ (½PQ)² [M, PQ এর মধ্যবিন্দু বলে]

বা, RM²=PR²+ ¼PQ²

বা, 4RM²=4PR²+PQ² [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(ii)    

△PQN-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,

NQ²=PQ²+NP²

বা, NQ²=PQ²+ (½PR)² [N, PR এর মধ্যবিন্দু ]

বা, NQ²=PQ²+ ¼PR²

বা,  4NQ²=4PQ²+PR²  [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]……….(iii)

(ii)+(iii) করে পাই,

4RM²+ 4NQ²=4PR²+PQ²+4PQ²+PR²  

বা,  4(RM²+NQ²)=5PQ²+5PR²

বা,  4(RM²+NQ²)=5RQ²  [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, 5RQ²=4(RM²+NQ²) [প্রমাণিত]